1.淘气和笑笑玩游戏,下面四种游戏规则中,不公平的是 ()

A.掷正六面体骰子,奇数淘气先走,偶数笑笑先走
B.“剪刀、石头、布”,赢方先走,输方后走,如果相同则重来
C.抛硬币,正面朝上淘气先走,反面朝上笑笑先走
D.掷正六面体骰子,点数比3大淘气先走,点数比3小笑笑先走

1.D 选项A,掷骰子,奇数有1,3,5,偶数有2,4,6,
∴淘气先走的概率 = 3/6 = 1/2,笑笑先走的概率 = 3/6 = 1/2,
∴淘气先走的概率=笑笑先走的概率,
∴游戏规则公平,故选项A不符合题意.
选项B,“剪刀、石头、布”,画树状图如下：

可知淘气赢的概率=笑笑赢的概率=1/3,每个人赢的概率相同,
∴游戏规则公平,故选项B不符合题意.
选项C,抛硬币,正面朝上的概率=反面朝上的概率,
∴游戏规则公平,故选项C不符合题意.
选项D,掷骰子,点数比3大的数是4,5,6,点数比3小的数是1,2,
∴淘气先走的概率 = 3/6 = 1/2,笑笑先走的概率 = 2/6 = 1/3,
∵1/2 ≠ 1/3,
∴淘气先走的概率≠笑笑先走的概率,
∴游戏规则不公平,故选项D符合题意.故选D.

【分析】
判断游戏规则是否公平的核心是看双方获得先走权的概率是否相等，若概率相等则规则公平，若概率不等则规则不公平。解题时我们需要分别计算四个选项中淘气、笑笑先走的概率，对比二者概率大小，即可选出不公平的规则。
【解析】
选项A：掷正六面体骰子，奇数点为1、3、5共3种，偶数点为2、4、6共3种，
∴淘气先走的概率 = 3/6 = 1/2，笑笑先走的概率 = 3/6 = 1/2，
二者概率相等，规则公平，故A不符合题意。
选项B：“剪刀、石头、布”游戏，画树状图如下：

由树状图可知，总共有9种等可能的情况，其中淘气赢的情况有3种，笑笑赢的情况有3种，
∴淘气赢的概率=笑笑赢的概率=3/9=1/3，二者概率相等，规则公平，故B不符合题意。
选项C：抛硬币只有正面、反面两种等可能的结果，
∴正面朝上和反面朝上的概率均为1/2，二者概率相等，规则公平，故C不符合题意。
选项D：掷正六面体骰子，点数比3大的数是4、5、6共3种，点数比3小的数是1、2共2种，
∴淘气先走的概率 = 3/6 = 1/2，笑笑先走的概率 = 2/6 = 1/3，
∵1/2 ≠ 1/3，二者概率不相等，规则不公平，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
简单概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题属于基础题型，考查游戏公平性的判断方法，解题关键是准确计算双方对应事件发生的概率，明确只有双方概率相等时游戏规则才公平。
【难度系数】
0.8

2.「2026浙江温州永嘉月考」小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏.三人同时各投出一枚质地均匀的硬币,若出现三枚正面向上或三枚反面向上,则小强赢;若出现两枚正面向上、一枚反面向上,则小亮赢;若出现一枚正面向上、两枚反面向上,则小文赢.下面说法正确的是 ()

A.三人赢的概率都相等
B.小文赢的概率最小
C.小亮赢的概率最小
D.小强赢的概率最小

2.D 画树状图如图：

由树状图可知,共有8种等可能的结果,则P(三枚正面向上或三枚反面向上)=2/8=1/4,即小强赢的概率是1/4;P(两枚正面向上、一枚反面向上)=3/8,即小亮赢的概率是3/8;P(一枚正面向上、两枚反面向上)=3/8,即小文赢的概率是3/8.
则小强赢的概率最小,小亮和小文赢的概率相等.故正确的答案只有D.故选D.

【分析】
要解决这道题，需先分别计算三位同学赢的概率再比较大小。三人同时投质地均匀的硬币，每枚硬币出现正、反面的概率相等，所有投币结果都是等可能的。我们可以通过画树状图列举出所有等可能的结果，再分别找出符合小强、小亮、小文赢的条件的结果数量，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果总数”的公式计算三人赢的概率，比较大小后就能得出正确结论。
【解析】
画树状图如图：

由树状图可知，三人投硬币共有8种等可能的结果：
1. 小强赢的情况为三枚正面向上或三枚反面向上，共2种结果，因此$P(\mathrm{小强赢})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
2. 小亮赢的情况为两枚正面向上、一枚反面向上，共3种结果，因此$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{3}{8}$；
3. 小文赢的情况为一枚正面向上、两枚反面向上，共3种结果，因此$P(\mathrm{小文赢})=\frac{3}{8}$。
比较概率大小可得：$\frac{1}{4}＜\frac{3}{8}$，即小强赢的概率最小，小亮和小文赢的概率相等，因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
树状图求概率、概率公式、概率大小比较
【点评】
本题是概率应用的基础题型，核心是通过列举法找出所有等可能结果，再计算对应事件的概率判断大小，解题时要注意不重不漏地列举所有结果，准确匹配对应事件的符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7

3.「2026浙江舟山普陀期中」小明和小亮玩一个游戏:三张大小、质地都相同的卡片的正面上分别标有数字2,3,4(背面完全相同),现将正面朝下.小明从中任意抽取一张,记下数字后放回、摇匀,然后小亮从中任意抽取一张,计算小明和小亮抽得的两个数字之和.若和为奇数,则小明胜;若和为偶数,则小亮胜.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求出小明和小亮各自获胜的概率.
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗?说说你的理由.

3.解析 (1)列出表格如下：
|小明\小亮|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|2|4|5|6|
|3|5|6|7|
|4|6|7|8|
共有9种等可能的结果,和为奇数的有4种,和为偶数的有5种,
所以P(小明胜)=4/9,P(小亮胜)=5/9.
(2)这个游戏规则对双方不公平,理由如下:
由(1)得P(小明胜)=4/9,P(小亮胜)=5/9,
∵4/9 ≠ 5/9,
∴这个游戏规则对双方不公平.

【分析】
（1）本题属于有放回的两次抽取卡片的两步等可能事件问题，可通过列表法罗列出所有等可能的结果，再分别统计和为奇数、和为偶数的结果数，最后根据“概率=所求事件包含的结果数÷所有等可能结果数”的公式，分别计算小明和小亮获胜的概率。（2）判断游戏公平性的依据是双方获胜的概率是否相等，若概率相等则游戏公平，否则不公平，只需比较（1）中求得的两个概率即可得出结论。
【解析】
（1）根据题意列表如下：
|小明\小亮|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|2|4|5|6|
|3|5|6|7|
|4|6|7|8|
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有5种。
所以$P(\mathrm{小明胜})=\frac{4}{9}$，$P(\mathrm{小亮胜})=\frac{5}{9}$。
（2）这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由（1）的计算结果可知，$P(\mathrm{小明胜})=\frac{4}{9}$，$P(\mathrm{小亮胜})=\frac{5}{9}$，
∵$\frac{4}{9} ≠ \frac{5}{9}$，即双方获胜的概率不相等，
∴这个游戏规则对双方不公平。
【答案】
（1）$P(\mathrm{小明胜})=\dfrac{4}{9}$，$P(\mathrm{小亮胜})=\dfrac{5}{9}$；（2）不公平，双方获胜的概率不相等。
【知识点】
列表法求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率应用类基础题型，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，再结合概率公式计算比较双方获胜概率，掌握列表法或树状图法求概率是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

4.「2026浙江杭州西湖期中，★☆」如图所示的是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成4份，分别标有0，-1，-2，-3四个数，乙转盘被等分成3份，分别标有1，2，3三个数。自由转动两个转盘，转盘停止后，计算两个转盘指针所指区域内的两数之和。如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向一个数为止。

(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数之和为0的概率。
(2)小明和小亮想用以上两个转盘做游戏，若两数之和为1，则小明赢；若两数之和为-1，则小亮赢。你认为游戏公平吗？请说明理由。

4.解析 (1)列表如下：
|甲\乙|1|2|3|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|0|(0,1)|(0,2)|(0,3)|
|-1|(-1,1)|(-1,2)|(-1,3)|
|-2|(-2,1)|(-2,2)|(-2,3)|
|-3|(-3,1)|(-3,2)|(-3,3)|
共有12种结果,每种结果出现的可能性相同,其中两数之和为0的结果有3种:(-1,1),(-2,2),(-3,3),
∴P(两数之和为0)=3/12=1/4.
(2)不公平.理由:由(1)中表格可知:
P(两数之和为1)=3/12=1/4,即P(小明赢)=1/4,
P(两数之和为-1)=2/12=1/6,即P(小亮赢)=1/6,
∵P(小明赢)≠P(小亮赢)
∴游戏不公平.

【分析】
(1)求解两数之和为0的概率时，首先需要通过列表法列举出两个转盘指针所指数字组合的所有等可能结果，再从中筛选出两数之和为0的结果数，最后根据概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算对应概率即可。
(2)判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜的概率是否相等，因此只需分别计算出小明赢（两数之和为1）、小亮赢（两数之和为-1）的概率，若两个概率相等则游戏公平，否则不公平。
【解析】
(1)列表如下：
|甲\乙|1|2|3|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|0|(0,1)|(0,2)|(0,3)|
|-1|(-1,1)|(-1,2)|(-1,3)|
|-2|(-2,1)|(-2,2)|(-2,3)|
|-3|(-3,1)|(-3,2)|(-3,3)|
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两数之和为0的结果有3种：$(-1,1)$、$(-2,2)$、$(-3,3)$，
∴$P(\mathrm{两数之和为0})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
(2)游戏不公平，理由如下：
由(1)中表格可得，两数之和为1的结果有3种：$(0,1)$、$(-1,2)$、$(-2,3)$，
∴$P(\mathrm{小明赢})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$；
两数之和为-1的结果有2种：$(-2,1)$、$(-3,2)$，
∴$P(\mathrm{小亮赢})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
∵$\frac{1}{4}≠\frac{1}{6}$，即小明和小亮获胜的概率不相等，
∴该游戏不公平。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)游戏不公平，理由见解析
【知识点】
列表法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题关键是准确列举所有等可能事件，熟练运用概率公式计算对应事件的概率，判断游戏公平性的核心是比较参与双方的获胜概率是否相等。
【难度系数】
0.75