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12 计算:(1)$(-3)^2 - (-1)^4 × |-3| ÷ \dfrac{3}{13}$；
(2)$-4^2 - 16 ÷ (-2) × \dfrac{1}{2} - (-1)^{2023}$。
(2)$-4^2 - 16 ÷ (-2) × \dfrac{1}{2} - (-1)^{2023}$。
答案
12.【解】(1)$\mathrm{原式}=9-1×3×\frac{13}{3}=9-13=-4$.
(2)$\mathrm{原式}=-16-(-8)×\frac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11$.
(2)$\mathrm{原式}=-16-(-8)×\frac{1}{2}-(-1)=-16+4+1=-11$.
13[2025江苏苏州期中]某校七年级1班至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划购书量有出入，具体情况如下表：
(1)求每个班的计划购书量；
(2)a=
(3)书店给出一种优惠方案：一次购书量达到15本及以上，则其中2本书免费。若平均每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用。
(1)求每个班的计划购书量；
(2)a=
45
,b=-7
,c=+2
；(3)书店给出一种优惠方案：一次购书量达到15本及以上，则其中2本书免费。若平均每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用。
答案
13.【解】(1)由题表可知七年级4班实际购书量为22本,与计划购书量的差为-8本,所以每个班的计划购书量为$22-(-8)=30$(本).
(2)$a=30+15=45$,$b=23-30=-7$,$c=32-30=+2$,故答案为45,-7,+2.
(3)由(2)可得4个班团体购书总量为$45+23+32+22=122$(本). 因为$122÷15=8……2$,所以如果每次购买15本,则可以购买8次,且最后还剩2本书需单独购买.又因为一次购书量达到15本及以上,则其中2本书免费,所以一次购买15本,只需要花(15-2)本书的钱,所以最低费用为$30×(15-2)×8+30×2=3\ 180$(元),所以这4个班团体购书的最低费用为3 180元.
(2)$a=30+15=45$,$b=23-30=-7$,$c=32-30=+2$,故答案为45,-7,+2.
(3)由(2)可得4个班团体购书总量为$45+23+32+22=122$(本). 因为$122÷15=8……2$,所以如果每次购买15本,则可以购买8次,且最后还剩2本书需单独购买.又因为一次购书量达到15本及以上,则其中2本书免费,所以一次购买15本,只需要花(15-2)本书的钱,所以最低费用为$30×(15-2)×8+30×2=3\ 180$(元),所以这4个班团体购书的最低费用为3 180元.
14[2025陕西西安质检]如图是一个“有理数转换器”(箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器).
(1)当小明分别输入$3,\frac{9}{5},-2027$这三个数时，三次输出的结果分别是
(2)当输入什么数时，其输出的结果是0？
(3)这个“有理数转换器”输出的结果不可能是什么数？
(1)当小明分别输入$3,\frac{9}{5},-2027$这三个数时，三次输出的结果分别是
$\frac{1}{2}$
，$\frac{9}{5}$
，$\frac{1}{2027}$
.(2)当输入什么数时，其输出的结果是0？
(3)这个“有理数转换器”输出的结果不可能是什么数？
答案
14.【解】(1)当输入3时,输出的结果是$\frac{1}{-[3+(-5)]}=\frac{1}{2}$;当输入$\frac{9}{5}$时,输出的结果是$\left|-\frac{9}{5}\right|=\frac{9}{5}$;当输入-2 027时,输出的结果是$\frac{1}{-(-2\ 027)}=\frac{1}{2\ 027}$. 故答案为$\frac{1}{2}$,$\frac{9}{5}$,$\frac{1}{2\ 027}$.
(2)由题图可知当输入5的非负整数倍数时,输出的结果是0.
(3)由题图知,不管输入正数、0还是负数,输出的结果都是非负数,所以输出的结果不可能是负数.
(2)由题图可知当输入5的非负整数倍数时,输出的结果是0.
(3)由题图知,不管输入正数、0还是负数,输出的结果都是非负数,所以输出的结果不可能是负数.
15[2026江苏宿迁期中]材料一:我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点O的距离.这个结论可以推广为MN=|m-n|的几何意义是在数轴上数m,n对应点M,N之间的距离,例如在数轴上点A表示数1,点B表示数-3,则AB=|1-(-3)|=|4|=4.
材料二:在数轴上,对于点P与线段MN的距离,我们给出如下定义:对于该数轴上的一点P与线段MN上一点Q,如果PQ有最小值,那么称这个最小值为点P与线段MN的距离.显然,若点P落在线段MN上(含端点),则点P与线段MN的距离为0.
【简单应用】(1)在数轴上数2和5的对应点之间的距离为
(2)在数轴上点M,N,P分别表示数-1,2,4,则若点P与线段MN的距离为
(3)在数轴上点M,N,P分别表示数-1,2,x,若点P与线段MN的距离为2,则x=
【关联应用】(4)|x-1|+|x+4|的最小值为
(5)若(|x-2|+|x-6|)·(|y+2|+|y-1|)·(|z+5|+|z+6|)的值为12,求xyz的最大值.
【实际应用】(6)如图,某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位A,B,C,D和一个中控中心O,A,B分别位于中控中心O点左侧8米,左侧3米,C,D分别位于中控中心O右侧2米,右侧5米,工位A,C分别需要2个机器人同时操作,工位B,D分别需要1个机器人操作,现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区MN,供6个机器人取用,要求6个机器人到物料区MN的距离之和最小,请直接写出距离之和最小值.
材料二:在数轴上,对于点P与线段MN的距离,我们给出如下定义:对于该数轴上的一点P与线段MN上一点Q,如果PQ有最小值,那么称这个最小值为点P与线段MN的距离.显然,若点P落在线段MN上(含端点),则点P与线段MN的距离为0.
【简单应用】(1)在数轴上数2和5的对应点之间的距离为
3
;(2)在数轴上点M,N,P分别表示数-1,2,4,则若点P与线段MN的距离为
2
;(3)在数轴上点M,N,P分别表示数-1,2,x,若点P与线段MN的距离为2,则x=
-3或4
.【关联应用】(4)|x-1|+|x+4|的最小值为
5
;(5)若(|x-2|+|x-6|)·(|y+2|+|y-1|)·(|z+5|+|z+6|)的值为12,求xyz的最大值.
【实际应用】(6)如图,某工厂自动化直线型流水线上设有4个工位A,B,C,D和一个中控中心O,A,B分别位于中控中心O点左侧8米,左侧3米,C,D分别位于中控中心O右侧2米,右侧5米,工位A,C分别需要2个机器人同时操作,工位B,D分别需要1个机器人操作,现要在直线型流水线上设置一个长度为2米的可移动的物料区MN,供6个机器人取用,要求6个机器人到物料区MN的距离之和最小,请直接写出距离之和最小值.
答案
15.【解】【简单应用】(1)在数轴上数2和5的对应点之间的距离为3. 故答案为3.
(2)利用题中定义可得点P与线段MN的距离为4-2=2. 故答案为2.
(3)当点P在点N的右边时,$x-2=2$,所以$x=4$,当点P在点M的左边时,$-1-x=2$,所以$x=-3$. 故答案为-3或4.
【关联应用】(4)$|x-1|+|x+4|$表示x对应的点到1对应的点的距离加上x对应的点到-4对应的点的距离,当$-4≤x≤1$时,x对应的点到1对应的点的距离加上x对应的点到-4对应的点的距离最小,最小值为5,故$|x-1|+|x+4|$的最小值为5,故答案为5.
(5)根据(1)可得$|x-2|+|x-6|$在$2≤x≤6$时,取最小值为4,$|y+2|+|y-1|$在$-2≤y≤1$时,取最小值为3,$|z+5|+|z+6|$在$-6≤z≤-5$时,取最小值为1.
因为$(|x-2|+|x-6|)·(|y+2|+|y-1|)·(|z+5|+|z+6|)=12$,所以$|x-2|+|x-6|=4$,$|y+2|+|y-1|=3$,$|z+5|+|z+6|=1$,
所以$-6≤z≤-5,2≤x≤6,-2≤y≤1$,所以xyz的最大值为$6×(-2)×(-6)=72$.
【实际应用】(6)距离之和最小值为22. 设点O为原点,向右为正方向,则可得A,B,C,D表示的数分别为-8,-3,2,5.
由题意可得MN在点B,C之间时,距离之和最小. 设M表示的数为m,则N表示的数为m+2.
当$-3≤m≤0$时,6个机器人到物料区MN的距离之和为$2|m+8|+|m+3|+2|m+2-2|+|m+2-5|$,即$2|m+8|+|m+3|+2|m|+|m-3|=(|m+8|+|m+3|+|m|+|m-3|)+(|m+8|+|m|)$,$|m+8|+|m+3|+|m|+|m-3|$在$-3≤m≤0$时,取最小值,$|m+8|+|m|$在$-8≤m≤0$时,取最小值,所以$2|m+8|+|m+3|+2|m|+|m-3|$的最小值为$2×|0+8|+|0+3|+2×|0|+|0-3|=22$.
所以距离之和最小值为22.
(2)利用题中定义可得点P与线段MN的距离为4-2=2. 故答案为2.
(3)当点P在点N的右边时,$x-2=2$,所以$x=4$,当点P在点M的左边时,$-1-x=2$,所以$x=-3$. 故答案为-3或4.
【关联应用】(4)$|x-1|+|x+4|$表示x对应的点到1对应的点的距离加上x对应的点到-4对应的点的距离,当$-4≤x≤1$时,x对应的点到1对应的点的距离加上x对应的点到-4对应的点的距离最小,最小值为5,故$|x-1|+|x+4|$的最小值为5,故答案为5.
(5)根据(1)可得$|x-2|+|x-6|$在$2≤x≤6$时,取最小值为4,$|y+2|+|y-1|$在$-2≤y≤1$时,取最小值为3,$|z+5|+|z+6|$在$-6≤z≤-5$时,取最小值为1.
因为$(|x-2|+|x-6|)·(|y+2|+|y-1|)·(|z+5|+|z+6|)=12$,所以$|x-2|+|x-6|=4$,$|y+2|+|y-1|=3$,$|z+5|+|z+6|=1$,
所以$-6≤z≤-5,2≤x≤6,-2≤y≤1$,所以xyz的最大值为$6×(-2)×(-6)=72$.
【实际应用】(6)距离之和最小值为22. 设点O为原点,向右为正方向,则可得A,B,C,D表示的数分别为-8,-3,2,5.
由题意可得MN在点B,C之间时,距离之和最小. 设M表示的数为m,则N表示的数为m+2.
当$-3≤m≤0$时,6个机器人到物料区MN的距离之和为$2|m+8|+|m+3|+2|m+2-2|+|m+2-5|$,即$2|m+8|+|m+3|+2|m|+|m-3|=(|m+8|+|m+3|+|m|+|m-3|)+(|m+8|+|m|)$,$|m+8|+|m+3|+|m|+|m-3|$在$-3≤m≤0$时,取最小值,$|m+8|+|m|$在$-8≤m≤0$时,取最小值,所以$2|m+8|+|m+3|+2|m|+|m-3|$的最小值为$2×|0+8|+|0+3|+2×|0|+|0-3|=22$.
所以距离之和最小值为22.
