1. 已知有理数 $ a,b,c $ 满足 $ \sqrt{a+b+c} + \sqrt{(a^2 + 2005)(b - 6)} + |10 - 2c| = 0 $，则代数式 $ ab + bc $ 的值为（）

A.36
B.-36
C.6
D.-6
对点专练 P69

1. B 解析:$\because \sqrt{a+b+c} + \sqrt{(a^2+2005)(b-6)} + |10-2c| = 0$, $\sqrt{a+b+c}≥0$, $\sqrt{(a^2+2005)(b-6)}≥0$, $|10-2c|≥0$, $\therefore \sqrt{a+b+c}=0$, $\sqrt{(a^2+2005)(b-6)}=0$, $|10-2c|=0$. $\because a^2+2005＞0$, $\therefore a+b+c=0$,$b-6=0$,$10-2c=0$,解得$c=5$,$b=6$,$a=-11$, $\therefore ab+bc=-11×6+6×5=-36$.故选B.

2. 四个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，形成两个正方形，正方形 $ABCD$ 和正方形 $EFGH$。将图①中的直角三角形分别沿着斜边往里翻折，形成如图②所示的更小的正方形 $KITP$，若正方形 $EFGH$ 的边长为 4，正方形 $ABCD$ 的边长为正整数，则正方形 $KITP$ 的边长为 ______。

2. $\sqrt{7}$ 解析:$\because$ 正方形$EFGH$的边长为4,$\therefore$ 正方形$EFGH$的面积为16.设正方形$KITP$的边长为$a$,则正方形$KITP$的面积为$a^2$,四个全等的直角三角形的面积和为$16-a^2$,正方形$ABCD$的面积为$2(16-a^2)+a^2=32-a^2$.$\because$ 正方形$ABCD$的边长为正整数,$\therefore \sqrt{32-a^2}$是正整数,且$4＜\sqrt{32-a^2}＜6$,$\therefore \sqrt{32-a^2}=5$,解得$a=\sqrt{7}$.

3. 设 $ x,y,z $ 是两两不等的有理数,且满足下列等式: $ \sqrt{x^3(y-x)^3} - \sqrt{x^3(z-x)^3} = \sqrt{y-x} - \sqrt{x-z} $,则 $ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz $ 的值为 ______.

3. 0 解析:$\because x,y,z$是两两不等的有理数,$\therefore y-x＞0$且$x-z＞0$,$\therefore y＞x＞z$.$\because x^3(y-x)^3≥0$,$x^3(z-x)^3≥0$,$\therefore x$与$(y-x)$、$(z-x)$均同号,或$x=0$.又$\because y-x＞0$,$z-x＜0$,故$(y-x)$、$(z-x)$不同号,$\therefore x=0$,$\therefore \sqrt{x^3(y-x)^3} - \sqrt{x^3(z-x)^3} = 0 = \sqrt{y-x} - \sqrt{x-z} = \sqrt{y} - \sqrt{-z}$,$\therefore y=-z$,$\therefore x^3+y^3+z^3-3xyz=0+y^3+(-y)^3-0=0$.

4. | 新方法 如何迅速准确地计算出四位整数的算术平方根呢？
(1) 以下是小明探究整数$\sqrt{1\;849}$的过程,请补充完整:
① 由$10^2 = 100,100^2 = 10\;000$可以确定$\sqrt{1\;849}$是________位数；
② 由 1 849 的个位上的数是 9,可以确定$\sqrt{1\;849}$的个位上的数是________或________；
③ 如果划去 1 849 后面的两位 49 得到数 18,而$4^2 = 16,5^2 = 25$,可以确定$\sqrt{1\;849}$的十位上的数是4；因为$4×(4+1)=20$,而$18＜20$,所以选择较小的个位数,则$\sqrt{1\;849} = \_\_\_\_\_\_$.
(2) 已知 3 136 也是一个整数的平方,请根据(1)的方法求出$\sqrt{3\;136}$,并写出过程.

4. (1)①两 ②3 7 ③43
(2) 求$\sqrt{3\;136}$的过程如下:
① 由$10^2=100$,$100^2=10\;000$可以确定$\sqrt{3\;136}$是两位数;
② 由3 136的个位上的数是6,可以确定$\sqrt{3\;136}$的个位上的数是4或6;
③ 如果划去3 136后面的两位36得到数31,而$5^2=25$,$6^2=36$,可以确定$\sqrt{3\;136}$的十位上的数是5;$\because 5×(5+1)=30$,而$31＞30$,$\therefore$ 选择较大的个位数,则$\sqrt{3\;136}=56$.

5. |代数推理（2025·南京期中）已知$a＞0,b＞0,\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，求证：$a＞b$.（试用2种不同的方法）

5. 方法一:$\because a＞0,b＞0$,$\therefore \sqrt{a}＞0$,$\sqrt{b}＞0$.
$\because \sqrt{a}＞\sqrt{b}$,$\therefore (\sqrt{a})^2＞\sqrt{a}×\sqrt{b}$,$\sqrt{a}×\sqrt{b}＞(\sqrt{b})^2$.
$\therefore (\sqrt{a})^2＞(\sqrt{b})^2$,即$a＞b$.
方法二:$\because a＞0,b＞0$,
$\therefore a-b=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.
$\because \sqrt{a}＞\sqrt{b}$,$\therefore \sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$.
$\because \sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$,$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,$\therefore a-b＞0$,即$a＞b$.