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9.已知$a,b,c$为常数,且满足$(a-c)^2＞a^2+c^2$,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是 （
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
B
解析
【分析】首先根据已知不等式化简得出ac的符号，再利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，思路是先处理不等式得到ac＜0，再结合判别式的性质确定根的类型。
【解析】先化简已知不等式：
∵$(a - c)^2＞a^2 + c^2$，
展开左边得：$a^2 - 2ac + c^2＞a^2 + c^2$，
两边同时减去$a^2 + c^2$，得：$-2ac＞0$，
∴$ac＜0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
∵$b^2≥0$，且$ac＜0$，
∴$-4ac＞0$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式、不等式的化简
【点评】本题核心是利用不等式化简得到ac的符号，再结合根的判别式判断根的情况，属于基础题型，需掌握判别式与根的关系。
【难度系数】0.6
【解析】先化简已知不等式：
∵$(a - c)^2＞a^2 + c^2$，
展开左边得：$a^2 - 2ac + c^2＞a^2 + c^2$，
两边同时减去$a^2 + c^2$，得：$-2ac＞0$，
∴$ac＜0$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
∵$b^2≥0$，且$ac＜0$，
∴$-4ac＞0$，
∴$\Delta = b^2 - 4ac＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式、不等式的化简
【点评】本题核心是利用不等式化简得到ac的符号，再结合根的判别式判断根的情况，属于基础题型，需掌握判别式与根的关系。
【难度系数】0.6
10.如图,菱形ABCD中,∠ABC=120°,点E在CD边上,点F在菱形ABCD外部,且满足EF//AD,CE=EF。连结AF,CF,取AF的中点G,连结BG,AC。则下列结论:①△CEF是等边三角形;②AG=CG;③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要判断四个结论是否正确，需结合菱形性质、等边三角形判定、坐标法等逐一推导：首先利用菱形邻角互补、平行线性质分析△CEF的形状；再通过坐标计算线段长度验证AG与CG的关系；接着利用斜率判断直线垂直，结合中点坐标验证BG是否垂直平分AC；最后计算BG长度推导与AD、CE的关系。
【解析】
设菱形ABCD边长为2，建立平面直角坐标系：B(0,0)，C(2,0)，A(-1,√3)，D(1,√3)。
点E在CD上，设CE=x，则E的坐标为(2 - x/2, (√3 x)/2)；由EF//AD且△CEF为等边三角形，得F坐标为(2 + x/2, (√3 x)/2)；G为AF中点，故G坐标为((2+x)/4, √3(2+x)/4)。
1. ①：EF//AD//BC，菱形中∠BCD=60°，故∠CEF=∠BCD=60°，又CE=EF，因此△CEF是等边三角形，①正确；
2. ②：计算$AG²=[(2+x)/4 +1]^2 + [√3(2+x)/4 -√3]^2=(x²+12)/4$，$CG²=[(2+x)/4 -2]^2 + [√3(2+x)/4]^2=(x²+12)/4$，故AG=CG，②正确；
3. ③：AC斜率=(0-√3)/(2+1)=-√3/3，BG斜率=(√3(2+x)/4)/((2+x)/4)=√3，斜率乘积=-1，故BG⊥AC；AC中点为(1/2,√3/2)，代入BG直线y=√3x，满足方程，故BG过AC中点，即BG垂直平分AC，③正确；
4. ④：BG长度$=√[((2+x)/4)^2 + (√3(2+x)/4)^2]=(2+x)/2$，故2BG=2+x，AD=2，CE=x，因此2BG=AD+CE，④正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形性质、等边三角形判定、线段垂直平分线
【点评】
本题综合考查菱形的性质与几何线段关系，通过坐标法简化计算，需熟练掌握菱形的角度、边长关系及线段垂直平分线的判定，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.3
要判断四个结论是否正确，需结合菱形性质、等边三角形判定、坐标法等逐一推导：首先利用菱形邻角互补、平行线性质分析△CEF的形状；再通过坐标计算线段长度验证AG与CG的关系；接着利用斜率判断直线垂直，结合中点坐标验证BG是否垂直平分AC；最后计算BG长度推导与AD、CE的关系。
【解析】
设菱形ABCD边长为2，建立平面直角坐标系：B(0,0)，C(2,0)，A(-1,√3)，D(1,√3)。
点E在CD上，设CE=x，则E的坐标为(2 - x/2, (√3 x)/2)；由EF//AD且△CEF为等边三角形，得F坐标为(2 + x/2, (√3 x)/2)；G为AF中点，故G坐标为((2+x)/4, √3(2+x)/4)。
1. ①：EF//AD//BC，菱形中∠BCD=60°，故∠CEF=∠BCD=60°，又CE=EF，因此△CEF是等边三角形，①正确；
2. ②：计算$AG²=[(2+x)/4 +1]^2 + [√3(2+x)/4 -√3]^2=(x²+12)/4$，$CG²=[(2+x)/4 -2]^2 + [√3(2+x)/4]^2=(x²+12)/4$，故AG=CG，②正确；
3. ③：AC斜率=(0-√3)/(2+1)=-√3/3，BG斜率=(√3(2+x)/4)/((2+x)/4)=√3，斜率乘积=-1，故BG⊥AC；AC中点为(1/2,√3/2)，代入BG直线y=√3x，满足方程，故BG过AC中点，即BG垂直平分AC，③正确；
4. ④：BG长度$=√[((2+x)/4)^2 + (√3(2+x)/4)^2]=(2+x)/2$，故2BG=2+x，AD=2，CE=x，因此2BG=AD+CE，④正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形性质、等边三角形判定、线段垂直平分线
【点评】
本题综合考查菱形的性质与几何线段关系，通过坐标法简化计算，需熟练掌握菱形的角度、边长关系及线段垂直平分线的判定，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.3
11.若二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
$x≥3$
解析
【分析】要确定二次根式$\sqrt{x-3}$在实数范围内有意义时$x$的取值范围，需依据二次根式的定义：二次根式的被开方数必须为非负数（即大于或等于0），因此只需让被开方数$x-3$满足非负条件，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需≥0，因此列不等式：
$x - 3 ≥ 0$，
解此不等式，两边同时加3得：$x ≥ 3$。
【答案】$x≥3$
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】本题是二次根式的基础题型，核心考查二次根式有意义的基本规则，属于代数部分的入门知识点，难度较低，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需≥0，因此列不等式：
$x - 3 ≥ 0$，
解此不等式，两边同时加3得：$x ≥ 3$。
【答案】$x≥3$
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】本题是二次根式的基础题型，核心考查二次根式有意义的基本规则，属于代数部分的入门知识点，难度较低，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】0.9
12.某校八年级二班举行投篮比赛,每人投6球,如图是班上所有学生投进球数的扇形统计图,则班上所有学生投进球数的众数是
2
球。答案
2
解析
【分析】
首先明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。扇形统计图中，扇形的面积越大，代表该类数据对应的数量越多，因此可通过观察扇形面积大小找到出现次数最多的投进球数，即众数。
【解析】
根据众数的定义，结合扇形统计图的特点：扇形面积越大，对应的数据出现的次数越多。观察题图可知，标注“2球”的扇形面积最大，说明投进2球的学生人数最多，因此班上所有学生投进球数的众数是2球。
【答案】
2
【知识点】
众数；扇形统计图
【点评】
本题考查众数概念与扇形统计图的结合应用，属于基础题，核心是理解扇形面积与对应数据数量的关系，以及众数的定义，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。扇形统计图中，扇形的面积越大，代表该类数据对应的数量越多，因此可通过观察扇形面积大小找到出现次数最多的投进球数，即众数。
【解析】
根据众数的定义，结合扇形统计图的特点：扇形面积越大，对应的数据出现的次数越多。观察题图可知，标注“2球”的扇形面积最大，说明投进2球的学生人数最多，因此班上所有学生投进球数的众数是2球。
【答案】
2
【知识点】
众数；扇形统计图
【点评】
本题考查众数概念与扇形统计图的结合应用，属于基础题，核心是理解扇形面积与对应数据数量的关系，以及众数的定义，难度较低。
【难度系数】
0.7
13.已知关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + 6 = 0 $的一个根是$ x = -2 $，则代数式$ 6a - 3b + 2 $的值为\underline{\hspace{5cm}}。
答案
$-7$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程后等式成立，将x=-2代入原方程得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，通过变形将关系式整体代入，即可求出代数式的值。
【解析】
把x=-2代入方程ax²+bx+6=0，得：
a·(-2)² + b·(-2) + 6 = 0
化简得：4a - 2b + 6 = 0
两边同时除以2，整理得：2a - b = -3
对代数式6a - 3b + 2变形，可得：6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2
将2a - b = -3代入上式：
原式=3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，核心是利用根的定义得到a、b的关系，无需单独求解a、b的值，简化计算过程，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入方程后等式成立，将x=-2代入原方程得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，通过变形将关系式整体代入，即可求出代数式的值。
【解析】
把x=-2代入方程ax²+bx+6=0，得：
a·(-2)² + b·(-2) + 6 = 0
化简得：4a - 2b + 6 = 0
两边同时除以2，整理得：2a - b = -3
对代数式6a - 3b + 2变形，可得：6a - 3b + 2 = 3(2a - b) + 2
将2a - b = -3代入上式：
原式=3×(-3) + 2 = -9 + 2 = -7
【答案】
-7
【知识点】
一元二次方程的根、代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，核心是利用根的定义得到a、b的关系，无需单独求解a、b的值，简化计算过程，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAC=90°$,$AB=6$,$AC=8$,分别以$A$,$C$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}AC$的长为半径画弧,两弧相交于$M$,$N$两点,作直线$MN$,分别与$AD$,$BC$,$AC$相交于点$E$,$F$,$O$。连结$AF$,$CE$,则$AF$的长是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$5$
解析
【分析】
首先，根据作图可知直线MN是AC的垂直平分线，由此得到OA=OC、EF⊥AC，且AF=CF；再结合平行四边形AD//BC的性质，可证明△AOE≌△COF，推出AE=CF，进而确定四边形AFCE为菱形；最后利用直角三角形ABC的勾股定理，结合线段关系计算AF的长度。
【解析】
1. 由作图步骤可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，因此OA=OC，EF⊥AC，且AF=CF。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，故∠EAO=∠FCO。
3. 在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO \\ OA=OC \\ ∠AOE=∠COF \end{array} $
所以△AOE≌△COF（ASA），得AE=CF。
4. 结合AF=CF，可得AE=AF，又因EF⊥AC，所以四边形AFCE是菱形，即AF=CF。
5. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
6. 设AF=CF=x，则BF=BC-CF=10-x。
7. 建立平面直角坐标系：令A(0,0)，AC在x轴上，则C(8,0)，B(0,6)，BC的直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+6$；AC的垂直平分线MN为直线x=4，代入BC方程得F点坐标为(4,3)。
8. 计算AF的长度：$AF=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题结合平行四边形与垂直平分线的性质，通过全等三角形证明四边形为菱形，再利用勾股定理求解线段，关键在于理解作图的几何意义，知识点应用较基础，难度适中。
【难度系数】
0.4
首先，根据作图可知直线MN是AC的垂直平分线，由此得到OA=OC、EF⊥AC，且AF=CF；再结合平行四边形AD//BC的性质，可证明△AOE≌△COF，推出AE=CF，进而确定四边形AFCE为菱形；最后利用直角三角形ABC的勾股定理，结合线段关系计算AF的长度。
【解析】
1. 由作图步骤可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，因此OA=OC，EF⊥AC，且AF=CF。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，故∠EAO=∠FCO。
3. 在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO \\ OA=OC \\ ∠AOE=∠COF \end{array} $
所以△AOE≌△COF（ASA），得AE=CF。
4. 结合AF=CF，可得AE=AF，又因EF⊥AC，所以四边形AFCE是菱形，即AF=CF。
5. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
6. 设AF=CF=x，则BF=BC-CF=10-x。
7. 建立平面直角坐标系：令A(0,0)，AC在x轴上，则C(8,0)，B(0,6)，BC的直线方程为$y=-\frac{3}{4}x+6$；AC的垂直平分线MN为直线x=4，代入BC方程得F点坐标为(4,3)。
8. 计算AF的长度：$AF=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
【答案】
5
【知识点】
平行四边形性质、垂直平分线性质、勾股定理
【点评】
本题结合平行四边形与垂直平分线的性质，通过全等三角形证明四边形为菱形，再利用勾股定理求解线段，关键在于理解作图的几何意义，知识点应用较基础，难度适中。
【难度系数】
0.4
15.如图,在平行四边形$ABCD$,$∠B=60°$,$AB=2$,点$H$,$G$分别是边$DC$,$BC$上的动点,连结$AH$,$HG$,点$E$,$F$分别为$AH$,$GH$的中点,连结$EF$,则$EF$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
首先，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，可推出EF是△AHG的中位线，因此EF与AG存在数量关系，要找EF的最小值，只需确定AG的最小值。由于G是BC上的动点，根据“点到直线的垂线段最短”，AG的最小值是点A到BC的垂线段长度，结合平行四边形的已知条件计算该垂线段即可。
【解析】
∵点E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AHG的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$EF = \frac{1}{2}AG$。
要使EF最小，需使AG最小，
点G在BC上，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，
过点A作$AM⊥BC$于点M，则AM的长度即为AG的最小值。
在$Rt△ABM$中，$∠B=60°$，$AB=2$，
∴$AM = AB·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
即AG的最小值为$\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$\frac{1}{2}×\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，平行四边形性质
【点评】
本题通过三角形中位线定理将所求线段的最值转化为另一线段的最值，再利用垂线段最短找到关键线段的最小值，结合三角函数计算结果，考查了几何最值问题的常用思路，是平行四边形与三角形性质结合的典型题。
【难度系数】
0.5
首先，根据三角形中位线定理，E、F分别为AH、GH的中点，可推出EF是△AHG的中位线，因此EF与AG存在数量关系，要找EF的最小值，只需确定AG的最小值。由于G是BC上的动点，根据“点到直线的垂线段最短”，AG的最小值是点A到BC的垂线段长度，结合平行四边形的已知条件计算该垂线段即可。
【解析】
∵点E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF是△AHG的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴$EF = \frac{1}{2}AG$。
要使EF最小，需使AG最小，
点G在BC上，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，
过点A作$AM⊥BC$于点M，则AM的长度即为AG的最小值。
在$Rt△ABM$中，$∠B=60°$，$AB=2$，
∴$AM = AB·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$，
即AG的最小值为$\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$\frac{1}{2}×\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，平行四边形性质
【点评】
本题通过三角形中位线定理将所求线段的最值转化为另一线段的最值，再利用垂线段最短找到关键线段的最小值，结合三角函数计算结果，考查了几何最值问题的常用思路，是平行四边形与三角形性质结合的典型题。
【难度系数】
0.5
