8. 如图，在$Rt△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，AN是过点A的一条直线，$BD⊥ AN$于点D，$CE⊥ AN$于点E. 当AN与边BC相交时，线段DE、BD与CE的数量关系是.

8. $BD−CE=DE$

9. (2025·江苏连云港二模)如图,在$△ ABC$中,D为BC的中点,$△ AEF$的边EF过点C,且$AE=EF$,$AB// EF$,AD平分$∠ BAE$,$CE=2$,$AB=9$,则CF的长为.

9. 5 解析:延长 FE 交 AD 的延长线于点 H,过点 E 作 $EG⊥AH$ 于点 G,则$∠AGE=∠HGE=90°$. 因为 AD 平分$∠BAE$,所以$∠BAD=∠EAG$. 因为 $AB// EF$,所以$∠H=∠BAD$,即$∠H=∠EAG$. 又 $GE=GE$, 所以$△ AGE≌△ HGE$ (AAS). 所以 $AE = HE$. 因为 $AE=EF$,所以 $EF=HE$. 因为 D 为 BC 的中点, 所以 $DC=DB$. 又$∠HDC=∠ADB$,所以$△ HDC≌△ ADB(\mathrm{AAS})$. 所以 $CH=BA$. 因为 $AB=9$,所以 $CH=9$,即 $HE+CE=9$. 又 $CE=2$,所以 $HE=7$. 所以 $EF=7$. 所以 $CF=EF−CE=5$.

10. 如图，△ACB与△ADE都是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接BE，CD，F是BE上一点，连接CF，DF。若∠CDF=45°，则∠CFD=。

10. $90°$ 解析:过点 C 作 $CM⊥CD$,交 DF 的延长线于点 M,连接 BM,则$∠DCM=90°$. 因为$△ ACB$ 与$△ ADE$ 都是等腰直角三角形,$∠ACB=∠ADE=90°$,所以 $AD = ED$, $AC = BC$. 又$∠CDF = 45°$, $∠CDF + ∠CMD = 90°$, 所以 $∠CMD = 90°−∠CDF=45°$,即$∠CMD=∠CDF$. 过点 C 作 $CK⊥DM$ 于点 K,则$∠CKD=∠CKM=90°$. 又 $CK = CK$, 所以$△ CKD≌△ CKM(\mathrm{AAS})$. 所以 $DK=MK$, $CD=CM$. 又$∠ACB=∠DCM=90°$,所以$∠ACB−∠DCB=∠DCM−∠DCB$,即$∠ACD=∠BCM$. 所以$△ ACD≌△ BCM(\mathrm{SAS})$. 所以 $AD=BM$,$∠ADC=∠BMC$. 所以 $ED = BM$. 又$∠EDF = ∠ADC + ∠CDF − ∠ADE = ∠ADC − 45°$, $∠BMF = ∠BMC − ∠CMD = ∠BMC − 45°$, 所以 $∠EDF = ∠BMF$. 又$∠EFD=∠BFM$,所以$△ EDF≌△ BMF(\mathrm{AAS})$. 所以 $DF=MF$,即 K,F 两点重合. 所以 $CF⊥DM$,即$∠CFD=90°$.

11. 如图,在等腰直角三角形ACB与等腰直角三角形DCE中,∠ACB=∠DCE=90°.连接AD,BE,点I在AD上,连接IC.
(1)若IC⊥BE,求证:I为AD的中点;
(2)若AI=DI,求证:IC⊥BE.

11. (1) 延长 IC 交 BE 于点 J,分别过 A,D 两点作直线 IC 的垂线,垂足分别为 M,N,则$∠M=∠DNC=∠DNI=90°$. 因为 $IC⊥BE$,所以$∠CJB=∠CJE=90°$,即$∠M=∠CJB$,$∠DNC=∠CJE$. 因为$△ ACB$为等腰直角三角形,$∠ACB=90°$,所以 $AC=CB$,$∠ACM+∠BCJ=180°−∠ACB=90°$. 又$∠CBJ+∠BCJ=90°$,所以$∠CBJ=∠ACM$. 所以$△ ACM≌△ CBJ$ (AAS). 所以 $AM = CJ$. 同理,得 $DN = CJ$. 所以 $AM = DN$. 又$∠AIM = ∠DIN$, 所以$△ AMI≌△ DNI(\mathrm{AAS})$. 所以 $AI=DI$,即 I 为 AD 的中点.
(2) 延长 CI 至点 F,使 $IF = IC$,连接 AF. 因为 $AI = DI$,$∠AIF = ∠DIC$,所以$△ AIF≌△ DIC(\mathrm{SAS})$. 所以 $AF=DC$,$∠F=∠DCI$. 所以$∠ACD=∠ACF + ∠DCI = ∠ACF + ∠F = 180°−∠FAC$. 因为$△ ACB$ 和$△ DCE$ 都是等腰直角三角形,$∠ACB=∠DCE=90°$,所以 $AC=CB$,$CE=DC$. 所以 $AF=CE$. 又$∠ACD=360°−∠ACB−∠DCE−∠ECB=180°−∠ECB$,所以$∠FAC=∠ECB$. 所以 $△ FAC ≌ △ ECB$ (SAS). 所以 $∠ACF = ∠CBE$. 延长 IC 交 BE 于点 K,则$∠ACF + ∠BCK = 180°−∠ACB = 90°$. 所以$∠CBE+∠BCK=90°$. 所以$∠CKE=∠CBE+∠BCK=90°$,即 $IC⊥BE$.
易错警示
解决这类问题的关键在于正确作出辅助线构造全等三角形,不能正确作出辅助线是造成错误的原因.

12. (1) 如图①，$∠ MAN=90°$，射线AE在这个角的内部，B，C两点分别在$∠ MAN$的边AM，AN上，且$AB=AC$，$CF ⊥ AE$于点F，$BD ⊥ AE$于点D. 求证：$△ ABD ≌ △ CAF$；
(2) 如图②，B，C两点分别在$∠ MAN$的边AM，AN上，E，F两点都在$∠ MAN$内部的射线AD上，$∠ 1$，$∠ 2$分别是$△ BAE$，$△ ACF$的外角，且$AB=AC$，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$. 求证：$△ BAE ≌ △ ACF$；
(3) 如图③，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点D在边BC上，$CD=2BD$，E，F两点在线段AD上，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$. 若$△ ABC$的面积为15，求$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和.

12. (1) 因为$∠MAN=90°$,$CF⊥AE$,$BD⊥AE$,所以$∠BAD + ∠CAF = 90°$,$∠ADB = ∠CFA = 90°$. 所以 $∠ABD + ∠BAD = 90°$. 所以 $∠ABD = ∠CAF$. 又 $AB=CA$,所以$△ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$.
(2) 因为$∠1=∠2=∠BAC$,$∠1=∠BAE + ∠ABE$,$∠BAC=∠BAE+∠CAF$,$∠1+∠AEB=180°$,$∠2+∠CFA=180°$,所以$∠ABE=∠CAF$,$∠AEB = ∠CFA$. 又 $AB = CA$, 所以 $△ BAE ≌ △ ACF(\mathrm{AAS})$.
(3) 因为$△ ABC$ 的面积为 15, $CD = 2BD$, 所以$△ ABD$ 的面积为 $\frac{1}{3} × 15=5$. 由(2),得$△ BAE≌△ ACF$,所以 $S_{△ BAE} = S_{△ ACF}$. 所以 $S_{△ ACF} + S_{△ BDE} = S_{△ BAE} + S_{△ BDE} = S_{△ ABD} =5$. 所以$△ ACF$ 与$△ BDE$ 的面积之和为 5.