【典例1】如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=90°，∠APB=150°，求证：PC=2PB.


备用图

证明:方法一:在BP下方,以BP为边作等边△BPM,连接CM，
在△ABP和△CBM 中，
$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ ABP=∠ CBM, \\ BP=BM, \end{cases}$
∴△ABP≌△CBM(SAS),
∴∠BMC=∠APB=150°,
∴∠CMP=90°,
∴∠MCP=30°,
∴CP=2PM=2PB.
方法二:在AB的左侧,作等边△APM,连接BM，
在△ABM和△ACP中，
$\begin{cases} AM=AP, \\ ∠ BAM=∠ CAP, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABM≌△ACP(SAS),
∴BM=PC,
∠AMB=∠APC=90°,
∴∠BMP=30°,
而∠BPM=150°-60°=90°,
∴BM=2BP,
∴PC=2BP.

【典例2】在等边△ABC中，D，E分别在BC，AB上，连接AD，CE交于点M，BE＝CD.连接BM，若BM⊥AM，求证：AM＝2CM.


备用图

证明:方法一:作AN⊥CE,垂足为N，
证△EBC≌△DCA，
证∠BAM=∠ACN，
证明△CAN≌△ABM，
∴AM=CN,又AM=2MN，
∴CM=MN，
∴AM=2CM.
方法二:在AM上取点G,使AG=CM,连接CG，
∴△ACG≌△CBM，
∴∠AGC=∠BMC=150°,
MG=CM,
∴AM=2CM.

【典例3】如图，$△ ABC$，$△ DPC$都是等边三角形.点$P$在$△ ABC$内，$M$为$AC$的中点，连接$PM$，$PA$，$PB$，若$PA⊥ PM$，且$PB=2PM$.
(1)求证:$BP⊥ BD$；
(2)求证:$PC=2PA$.

证明:(1)△CAP≌△CBD⇒AP=BD，
∠BDC=120°,
∴∠BDP=60°.
延长PM至N使MN=PM,连接AN,CN，
∴△APM≌△CNM，
∴∠PNC=90°,CN=AP，
∠PCN=60°,
∴△PCN≌△PDB(SAS),
∴∠PBD=∠PNC=90°,
∴BP⊥BD；
(2)在Rt△PBD中,∠BPD=30°,
PD=2BD=2PA,
∴PC=2PA.