1 下列结论正确的是()

A.若 $ a^{2}=b^{2} $，则 $ a = b $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ a^{2} ＞ b^{2} $
C.若 $ a ≠ 0 $，$ b ≠ 0 $，则 $ a^{2}+b^{2} ＞ 0 $
D.若 $ a ≠ b $，则 $ a^{2} ≠ b^{2} $

1. C 【解析】A 选项，若 $ a^{2}=b^{2} $，则 $ a = b $ 或 $ a = -b $，故本选项错误；B 选项，例如 $ 2 ＞ -3 $，但 $ 2^{2} ＜ (-3)^{2} $，故本选项错误；C 选项，若 $ a ≠ 0 $，$ b ≠ 0 $，则 $ a^{2}+b^{2} ＞ 0 $，故本选项正确；D 选项，例如 $ 1 ≠ -1 $，但 $ 1^{2}=(-1)^{2} $，故本选项错误. 故选 C.

2 甲、乙、丙共 3 人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为 10，5，3. 竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是()

A.第二名、第三名的总分之和为 29 分或 31 分
B.第二名的总分可能超过 18 分
C.第三名的总分共有 3 种情形
D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

2. C 【解析】依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5 或 10，10，3，显然 3 人的总得分为 54 分. 当甲得分为 10，10，5 时，第二名、第三名的总分之和为 29 分；当甲得分为 10，10，3 时，第二名、第三名的总分之和为 31 分，故 A 正确. 当甲得分为 10，10，5 时，第二名得分有 3 种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为 20 分，18 分，16 分. 第三名得分对应有 3 种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为 9 分，11 分，13 分. 当甲得分为 10，10，3 时，第二名得分有 3 种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为 20 分，18 分，16 分；第三名得分对应有 3 种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为 11 分，13 分，15 分. 故 B、D 正确. 第三名总分有 4 种情况，故 C 不正确. 故选 C.

3 [2024 江苏宿迁期末]观察下列各个等式：
第 1 个等式：$\frac{1^{2}+1}{2^{2}} ÷ \frac{1}{2} - 0 = 1$；
第 2 个等式：$\frac{2^{2}+1}{3^{2}} ÷ \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3}$；
第 3 个等式：$\frac{3^{2}+1}{4^{2}} ÷ \frac{1}{4} - 2 = \frac{2}{4}$；
……
请根据上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1) 直接写出第 5 个等式；
(2) 写出你猜想的第 $ n $ 个等式（用含 $ n $ 的代数式表示），并证明你的猜想.

3. 【解】(1)观察等式发现规律如下：等式中第一个数的分子是序号数字的平方加 1，分母是序号数字加 1 的平方，第二个数的分子是 1，分母为序号数字加 1，第三个数是序号数字减 1，第四个数的分子为 2，分母是序号数字加 1. 故第 5 个等式为 $ \dfrac{5^{2}+1}{(5+1)^{2}}÷ \dfrac{1}{5+1}-(5 - 1)=\dfrac{2}{5+1} $，即 $ \dfrac{5^{2}+1}{6^{2}}÷ \dfrac{1}{6}-4=\dfrac{2}{6} $. (2)依据(1)得出的规律可得第 $ n $ 个等式为 $ \dfrac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}}÷ \dfrac{1}{n+1}-(n - 1)=\dfrac{2}{n+1} $. 证明：$ \because $ 左边 $ =\dfrac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}}× (n + 1)-(n - 1)=\dfrac{n^{2}+1-(n+1)(n - 1)}{n+1}=\dfrac{n^{2}+1 - n^{2}+1}{n+1}=\dfrac{2}{n+1}= $ 右边，$ \therefore $ 等式成立.

4 [2024 江苏盐城东台期末]如图，从①$ ∠ 1 = ∠ 2 $；②$ ∠ C = ∠ D $；③$ DF // AC $三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，真命题的个数为()


A.0
B.1
C.2
D.3

4. D 【解析】命题 1：如果① $ ∠ 1=∠ 2 $，② $ ∠ C=∠ D $，那么③ $ DF// AC $. 证明：$ \because ∠ 1=∠ 2 $，$ ∠ 1=∠ 3 $，$ \therefore ∠ 3=∠ 2 $，$ \therefore DB// EC $，$ \therefore ∠ ABD=∠ C $. $ \because ∠ C=∠ D $，$ \therefore ∠ ABD=∠ D $，$ \therefore DF// AC $. 故命题 1 为真命题. 命题 2：如果① $ ∠ 1=∠ 2 $，③ $ DF// AC $，那么② $ ∠ C=∠ D $. 证明方法同上，故命题 2 为真命题. 命题 3：如果③ $ DF// AC $，② $ ∠ C=∠ D $，那么① $ ∠ 1=∠ 2 $. 证明方法同上，故命题 3 为真命题. 故选 D.

5 [2025 山东济宁期中]将证明过程补充完整：如图，已知 $ ∠ B = ∠ CGF $，$ ∠ BGC = ∠ F $.
求证：$ ∠ B + ∠ F = 180^{\circ} $，$ ∠ F + ∠ BGD = 180^{\circ} $.
证明：

$ \because ∠ B = ∠ CGF $（已知），
$ \therefore AB // CD $（ ）.
$ \because ∠ BGC = ∠ F $（已知），
$ \therefore CD // EF$$$（ ），
$ \therefore AB // EF$$$（ ），
$ \therefore ∠ B + ∠ F = 180^{\circ} $（ ）.
又$ \because ∠ BGC + ∠ BGD = 180^{\circ}\_\_\_\_\_\_$（ ），
$ ∠ BGC = ∠ F $（已知），
$ \therefore ∠ F + ∠ BGD = 180^{\circ} $（ ）.

5. 【证明】$ \because ∠ B=∠ CGF $（已知），$ \therefore AB// CD $（同位角相等，两直线平行）. $ \because ∠ BGC=∠ F $（已知），$ \therefore CD// EF $（同位角相等，两直线平行），$ \therefore AB// EF $（平行于同一条直线的两条直线平行），$ \therefore ∠ B+∠ F=180^{\circ} $（两直线平行，同旁内角互补）. 又 $ \because ∠ BGC+∠ BGD=180^{\circ} $（平角的定义），$ ∠ BGC=∠ F $（已知），$ \therefore ∠ F+∠ BGD=180^{\circ} $（等量代换）.

6 [2025 江苏南京期中]证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行.

6. 【证明】已知：如图，已知 $ AB// CD $，直线 $ EF $ 分别交直线 $ AB $，$ CD $ 于点 $ M $，$ N $，$ MG $ 平分 $ ∠ AMN $，$ NH $ 平分 $ ∠ END $.
求证：$ MG// NH $. 证明：$ \because MG $ 平分 $ ∠ AMN $，$ NH $ 平分 $ ∠ END $，$ \therefore 2∠ GMN=∠ AMN $，$ 2∠ MNH=∠ END $. $ \because AB// CD $，$ \therefore ∠ AMN=∠ END=2∠ GMN=2∠ MNH $，$ \therefore ∠ GMN=∠ MNH $，$ \therefore MG// NH $.