【例1】 把下列各式分解因式：
(1)$2a^3 - 2a(a+1)^2$；
(2)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$；
(3)$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$；
(4)$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$.
思路分析:第(1)题先提公因式,再用平方差公式;第(2)题先用平方差公式,再用完全平方公式;第(3)题先用完全平方公式,再用平方差公式;第(4)题观察发现:$(x+1)(x+4)=x^2+5x+4,(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$,这两者有明显的数量关系,因此可用换元法分解.
解:(1)$2a^3 - 2a(a+1)^2 = 2a[a^2 - (a+1)^2] = 2a(a+a+1)(a - a - 1) = -2a(2a+1)$.
(2)$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy) = (x+y)^2(x-y)^2$.
(3)$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2)^2 - 2· a^2· b^2 + (b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 = (a+b)^2(a - b)^2$.
(4)$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 = [(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)] + 1 = (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$.
设$x^2+5x+4=a$,则$x^2+5x+6=a+2$,
$\therefore$原式$=a(a+2)+1=(a+1)^2=(x^2+5x+5)^2$.

(1)$-2a(2a+1)$
(2)$(x+y)^2(x-y)^2$
(3)$(a+b)^2(a-b)^2$
(4)$(x^2+5x+5)^2$

【例2】 已知$2x-y=8$，$xy=3$，求$2x^2y+8x^2y^2-xy^2$的值.
思路分析:由已知，我们可以建立起关于$x,y$的方程组，但此类方程组我们并未学习研究过，因此可以考虑暂时放弃此路径. 我们还可以从$2x-y,xy$的整体去考虑，因此先分解因式，再代入求值即可.
解:原式$=xy(2x+8xy-y)=xy(2x-y+8xy)$，
当$2x-y=8,xy=3$时，原式$=3×(8+8×3)=96$.

96

【例3】 根据题中条件求值：
(1)已知 $ x+y=1 $，求 $ \frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 $ 的值；
(2)已知 $ x-y=-\frac{2}{3} $，求 $ (x^2+y^2)^2 -4xy · (x^2+y^2)+4x^2y^2 $ 的值.
思路分析:通过把要求的代数式进行变形,变成只含有已知的式子的形式,然后用整体思想来解决问题,这是数学中常用的一种重要的思想方法.
解:(1)∵ $ x+y=1 $,
∴ $ \frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) = \frac{1}{2}(x+y)^2 = \frac{1}{2} × 1^2 = \frac{1}{2} $.
(2)∵ $ x-y=-\frac{2}{3} $,
∴ $ (x^2+y^2)^2 -4xy(x^2+y^2)+4x^2y^2 = (x^2+y^2 -2xy)^2 = (x-y)^4 = (-\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81} $.

(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{16}{81}$