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9. (2026青岛莱西市一模)
新房装修时,门窗的倾斜角度、吊顶的拼接角度、精准度直接关系到居住安全。工人常用的普通量角器读数模糊、误差大,既增加工作负担,也暗藏安全风险。小明利用“半圆弧电阻的接入阻值与指针旋转角度成正比”的规律,设计了如图所示的电子量角器,它让角度测量更精准、更便捷——这既是物理规律的实用之美,也是用知识守护生活安全的体现。O为半圆弧电阻MN的圆心、金属滑片OP为半径,与半圆弧接触良好,接入电路的电阻$ R_{MP} $与指针旋转角度$ θ $成正比,$ θ $可调节的范围为0～180°,电源电压保持不变,$ R_0 $的阻值为30 Ω。现将量程0～3 V的电压表改装为显示角度的仪器,当角度$ θ $为45°时,电压表的示数为0.9 V;角度$ θ $为90°时,电压表的示数为1.5 V。求:
(1)电源电压$ U $和$ R_{MP} $最大阻值;
(2)当角度$ θ $为120°时,电压表的示数;
(3)若将电压表的3 V处标注为180°,需将$ R_0 $更换为阻值为多大的电阻。
新房装修时,门窗的倾斜角度、吊顶的拼接角度、精准度直接关系到居住安全。工人常用的普通量角器读数模糊、误差大,既增加工作负担,也暗藏安全风险。小明利用“半圆弧电阻的接入阻值与指针旋转角度成正比”的规律,设计了如图所示的电子量角器,它让角度测量更精准、更便捷——这既是物理规律的实用之美,也是用知识守护生活安全的体现。O为半圆弧电阻MN的圆心、金属滑片OP为半径,与半圆弧接触良好,接入电路的电阻$ R_{MP} $与指针旋转角度$ θ $成正比,$ θ $可调节的范围为0～180°,电源电压保持不变,$ R_0 $的阻值为30 Ω。现将量程0～3 V的电压表改装为显示角度的仪器,当角度$ θ $为45°时,电压表的示数为0.9 V;角度$ θ $为90°时,电压表的示数为1.5 V。求:
(1)电源电压$ U $和$ R_{MP} $最大阻值;
(2)当角度$ θ $为120°时,电压表的示数;
(3)若将电压表的3 V处标注为180°,需将$ R_0 $更换为阻值为多大的电阻。
答案
解：
(1) 由题意可知，接入电路的电阻$R_{MP}$与指针旋转角度$θ$成正比，设$R_{MP}=kθ$。
电路中$R_0$与$R_{MP}$串联，电压表测量$R_{MP}$两端的电压，由串联电路规律和欧姆定律得：
当$θ_1=45°$时，$U_1=\frac{U}{R_0 + kθ_1}· kθ_1$，代入数据得：
$0.9\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 45° · k}× 45° · k$ ①
当$θ_2=90°$时，$U_2=\frac{U}{R_0 + kθ_2}· kθ_2$，代入数据得：
$1.5\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 90° · k}× 90° · k$ ②
联立①②解得：$U=4.5\ \mathrm{V}$，$k=\frac{1}{6}\ \Omega/°$。
当$θ_{\mathrm{max}}=180°$时，$R_{MP}$最大，$R_{\mathrm{max}}=kθ_{\mathrm{max}}=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 180°=30\ \Omega$。
(2) 当$θ_3=120°$时，$R_{MP3}=kθ_3=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 120°=20\ \Omega$，
电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=R_0 + R_{MP3}=30\ \Omega + 20\ \Omega=50\ \Omega$，
电路电流$I=\frac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\frac{4.5\ \mathrm{V}}{50\ \Omega}=0.09\ \mathrm{A}$，
电压表示数$U_3=I· R_{MP3}=0.09\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=1.8\ \mathrm{V}$。
(3) 当$θ=180°$时，$R_{MP}=R_{\mathrm{max}}=30\ \Omega$，此时电压表示数为$3\ \mathrm{V}$，
电路电流$I'=\frac{U_V'}{R_{\mathrm{max}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A}$，
替换后$R_0'$两端的电压$U_0'=U - U_V'=4.5\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V}$，
则更换后的电阻$R_0'=\frac{U_0'}{I'}=\frac{1.5\ \mathrm{V}}{0.1\ \mathrm{A}}=15\ \Omega$。
答：(1) 电源电压为$4.5\ \mathrm{V}$，$R_{MP}$最大阻值为$30\ \Omega$；
(2) 角度为$120°$时电压表的示数为$1.8\ \mathrm{V}$；
(3) 需将$R_0$更换为阻值为$15\ \Omega$的电阻。
(1) 由题意可知，接入电路的电阻$R_{MP}$与指针旋转角度$θ$成正比，设$R_{MP}=kθ$。
电路中$R_0$与$R_{MP}$串联，电压表测量$R_{MP}$两端的电压，由串联电路规律和欧姆定律得：
当$θ_1=45°$时，$U_1=\frac{U}{R_0 + kθ_1}· kθ_1$，代入数据得：
$0.9\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 45° · k}× 45° · k$ ①
当$θ_2=90°$时，$U_2=\frac{U}{R_0 + kθ_2}· kθ_2$，代入数据得：
$1.5\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 90° · k}× 90° · k$ ②
联立①②解得：$U=4.5\ \mathrm{V}$，$k=\frac{1}{6}\ \Omega/°$。
当$θ_{\mathrm{max}}=180°$时，$R_{MP}$最大，$R_{\mathrm{max}}=kθ_{\mathrm{max}}=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 180°=30\ \Omega$。
(2) 当$θ_3=120°$时，$R_{MP3}=kθ_3=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 120°=20\ \Omega$，
电路总电阻$R_{\mathrm{总}}=R_0 + R_{MP3}=30\ \Omega + 20\ \Omega=50\ \Omega$，
电路电流$I=\frac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\frac{4.5\ \mathrm{V}}{50\ \Omega}=0.09\ \mathrm{A}$，
电压表示数$U_3=I· R_{MP3}=0.09\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=1.8\ \mathrm{V}$。
(3) 当$θ=180°$时，$R_{MP}=R_{\mathrm{max}}=30\ \Omega$，此时电压表示数为$3\ \mathrm{V}$，
电路电流$I'=\frac{U_V'}{R_{\mathrm{max}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A}$，
替换后$R_0'$两端的电压$U_0'=U - U_V'=4.5\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V}$，
则更换后的电阻$R_0'=\frac{U_0'}{I'}=\frac{1.5\ \mathrm{V}}{0.1\ \mathrm{A}}=15\ \Omega$。
答：(1) 电源电压为$4.5\ \mathrm{V}$，$R_{MP}$最大阻值为$30\ \Omega$；
(2) 角度为$120°$时电压表的示数为$1.8\ \mathrm{V}$；
(3) 需将$R_0$更换为阻值为$15\ \Omega$的电阻。
解析
【分析】
本题为串联电路的欧姆定律应用问题，首先明确电路结构：定值电阻$ R_0 $与半圆弧电阻$ R_{MP} $串联，电压表测量$ R_{MP} $两端的电压。根据题意，$ R_{MP} $与指针旋转角度$ θ $成正比，设$ R_{MP}=kθ $（$ k $为比例系数）。结合串联电路的电流、电压规律和欧姆定律，电压表的示数可表示为$ U_V = \frac{U}{R_0 + kθ} · kθ $。代入已知的两组$ θ $和对应电压值，联立方程即可求解电源电压$ U $和比例系数$ k $，进而解决后续问题。
【解析】
解：
(1) 设$ R_{MP}=kθ $，电路中$ R_0 $与$ R_{MP} $串联，电压表测$ R_{MP} $两端电压，根据欧姆定律和串联电路规律：
当$ θ_1=45° $时，$ U_1=\frac{U}{R_0 + kθ_1} · kθ_1 $，代入数据得：
$ 0.9\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 45° · k} × 45° · k $ ①
当$ θ_2=90° $时，$ U_2=\frac{U}{R_0 + kθ_2} · kθ_2 $，代入数据得：
$ 1.5\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 90° · k} × 90° · k $ ②
联立①②，解得：$ U=4.5\ \mathrm{V} $，$ k=\frac{1}{6}\ \Omega/° $。
当$ θ_{\mathrm{max}}=180° $时，$ R_{MP} $最大，$ R_{\mathrm{max}}=kθ_{\mathrm{max}}=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 180°=30\ \Omega $。
(2) 当$ θ_3=120° $时，$ R_{MP3}=kθ_3=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 120°=20\ \Omega $，
电路总电阻$ R_{\mathrm{总}}=R_0 + R_{MP3}=30\ \Omega + 20\ \Omega=50\ \Omega $，
电路电流$ I=\frac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\frac{4.5\ \mathrm{V}}{50\ \Omega}=0.09\ \mathrm{A} $，
电压表示数$ U_3=I · R_{MP3}=0.09\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=1.8\ \mathrm{V} $。
(3) 当$ θ=180° $时，$ R_{MP}=R_{\mathrm{max}}=30\ \Omega $，此时电压表示数为$ 3\ \mathrm{V} $，
电路电流$ I'=\frac{U_V'}{R_{\mathrm{max}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A} $，
替换后$ R_0' $两端的电压$ U_0'=U - U_V'=4.5\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V} $，
则更换后的电阻$ R_0'=\frac{U_0'}{I'}=\frac{1.5\ \mathrm{V}}{0.1\ \mathrm{A}}=15\ \Omega $。
【答案】
(1) 电源电压为$ 4.5\ \mathrm{V} $，$ R_{MP} $最大阻值为$ 30\ \Omega $；
(2) 角度为$ 120° $时电压表的示数为$ 1.8\ \mathrm{V} $；
(3) 需将$ R_0 $更换为阻值为$ 15\ \Omega $的电阻。
【知识点】
欧姆定律、串联电路电压规律、电阻与角度的正比关系
【点评】
本题结合实际应用场景，将角度测量转化为电学问题，利用电阻与角度的正比关系，结合串联电路欧姆定律进行多步计算，需要学生理清电路结构，正确应用公式，是物理知识在生活中的典型应用，考查了学生的综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.5
本题为串联电路的欧姆定律应用问题，首先明确电路结构：定值电阻$ R_0 $与半圆弧电阻$ R_{MP} $串联，电压表测量$ R_{MP} $两端的电压。根据题意，$ R_{MP} $与指针旋转角度$ θ $成正比，设$ R_{MP}=kθ $（$ k $为比例系数）。结合串联电路的电流、电压规律和欧姆定律，电压表的示数可表示为$ U_V = \frac{U}{R_0 + kθ} · kθ $。代入已知的两组$ θ $和对应电压值，联立方程即可求解电源电压$ U $和比例系数$ k $，进而解决后续问题。
【解析】
解：
(1) 设$ R_{MP}=kθ $，电路中$ R_0 $与$ R_{MP} $串联，电压表测$ R_{MP} $两端电压，根据欧姆定律和串联电路规律：
当$ θ_1=45° $时，$ U_1=\frac{U}{R_0 + kθ_1} · kθ_1 $，代入数据得：
$ 0.9\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 45° · k} × 45° · k $ ①
当$ θ_2=90° $时，$ U_2=\frac{U}{R_0 + kθ_2} · kθ_2 $，代入数据得：
$ 1.5\ \mathrm{V}=\frac{U}{30\ \Omega + 90° · k} × 90° · k $ ②
联立①②，解得：$ U=4.5\ \mathrm{V} $，$ k=\frac{1}{6}\ \Omega/° $。
当$ θ_{\mathrm{max}}=180° $时，$ R_{MP} $最大，$ R_{\mathrm{max}}=kθ_{\mathrm{max}}=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 180°=30\ \Omega $。
(2) 当$ θ_3=120° $时，$ R_{MP3}=kθ_3=\frac{1}{6}\ \Omega/° × 120°=20\ \Omega $，
电路总电阻$ R_{\mathrm{总}}=R_0 + R_{MP3}=30\ \Omega + 20\ \Omega=50\ \Omega $，
电路电流$ I=\frac{U}{R_{\mathrm{总}}}=\frac{4.5\ \mathrm{V}}{50\ \Omega}=0.09\ \mathrm{A} $，
电压表示数$ U_3=I · R_{MP3}=0.09\ \mathrm{A} × 20\ \Omega=1.8\ \mathrm{V} $。
(3) 当$ θ=180° $时，$ R_{MP}=R_{\mathrm{max}}=30\ \Omega $，此时电压表示数为$ 3\ \mathrm{V} $，
电路电流$ I'=\frac{U_V'}{R_{\mathrm{max}}}=\frac{3\ \mathrm{V}}{30\ \Omega}=0.1\ \mathrm{A} $，
替换后$ R_0' $两端的电压$ U_0'=U - U_V'=4.5\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V}=1.5\ \mathrm{V} $，
则更换后的电阻$ R_0'=\frac{U_0'}{I'}=\frac{1.5\ \mathrm{V}}{0.1\ \mathrm{A}}=15\ \Omega $。
【答案】
(1) 电源电压为$ 4.5\ \mathrm{V} $，$ R_{MP} $最大阻值为$ 30\ \Omega $；
(2) 角度为$ 120° $时电压表的示数为$ 1.8\ \mathrm{V} $；
(3) 需将$ R_0 $更换为阻值为$ 15\ \Omega $的电阻。
【知识点】
欧姆定律、串联电路电压规律、电阻与角度的正比关系
【点评】
本题结合实际应用场景，将角度测量转化为电学问题，利用电阻与角度的正比关系，结合串联电路欧姆定律进行多步计算，需要学生理清电路结构，正确应用公式，是物理知识在生活中的典型应用，考查了学生的综合分析和计算能力。
【难度系数】
0.5
10.(2026济宁一模)某科技小组要设计冬季植物大棚控温系统。
【任务与要求】
当环境温度$t≤20°C$，加热设备开启工作；温度$t≥30°C$，停止工作，大棚内的温度维持在一定范围。
【设计与实施】
①器材有：电压为6 V的电源、可控加热设备、热敏电阻$R_1$（阻值随温度变化的关系如图甲）、定值电阻$R_2$等。
②设计的电路如图乙，加热设备是否工作由其两端的电压$U_{AB}$来控制，当$U_{AB}≥4 V$时，加热设备开启工作，当$U_{AB}≤U_0$时，加热设备不工作。（不考虑加热设备对电路的影响）
【分析与思考】
求：(1)定值电阻的阻值。
(2)$U_0$的大小。
【任务与要求】
当环境温度$t≤20°C$，加热设备开启工作；温度$t≥30°C$，停止工作，大棚内的温度维持在一定范围。
【设计与实施】
①器材有：电压为6 V的电源、可控加热设备、热敏电阻$R_1$（阻值随温度变化的关系如图甲）、定值电阻$R_2$等。
②设计的电路如图乙，加热设备是否工作由其两端的电压$U_{AB}$来控制，当$U_{AB}≥4 V$时，加热设备开启工作，当$U_{AB}≤U_0$时，加热设备不工作。（不考虑加热设备对电路的影响）
【分析与思考】
求：(1)定值电阻的阻值。
(2)$U_0$的大小。
答案
解：
(1) 由图甲可知，当温度$t=20°\mathrm{C}$时，热敏电阻的阻值$R_1=150\,\Omega$。
图乙中$R_1$与$R_2$串联，不考虑加热设备对电路的影响，电源总电压$U=6\,\mathrm{V}$。
$t=20°\mathrm{C}$时加热设备刚好开启，$U_{AB}=4\,\mathrm{V}$，即$R_1$两端电压$U_1=4\,\mathrm{V}$，
定值电阻$R_2$两端的电压：
$U_2 = U - U_1 = 6\,\mathrm{V} - 4\,\mathrm{V} = 2\,\mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，此时电路电流：
$I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{4\,\mathrm{V}}{150\,\Omega} = \frac{2}{75}\,\mathrm{A}$
定值电阻的阻值：
$R_2 = \frac{U_2}{I} = \frac{2\,\mathrm{V}}{\frac{2}{75}\,\mathrm{A}} = 75\,\Omega$
(2) 由图甲可知，当温度$t=30°\mathrm{C}$时，热敏电阻的阻值$R_1'=75\,\Omega$，
此时电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}} = R_1' + R_2 = 75\,\Omega + 75\,\Omega = 150\,\Omega$
电路中的电流：
$I' = \frac{U}{R_{\mathrm{总}}} = \frac{6\,\mathrm{V}}{150\,\Omega} = 0.04\,\mathrm{A}$
加热设备刚好停止工作时，$U_0$等于此时$R_1$两端的电压：
$U_0 = I' R_1' = 0.04\,\mathrm{A} × 75\,\Omega = 3\,\mathrm{V}$
答：(1) 定值电阻的阻值为$75\,\Omega$；(2) $U_0$的大小为$3\,\mathrm{V}$。
(1) 由图甲可知，当温度$t=20°\mathrm{C}$时，热敏电阻的阻值$R_1=150\,\Omega$。
图乙中$R_1$与$R_2$串联，不考虑加热设备对电路的影响，电源总电压$U=6\,\mathrm{V}$。
$t=20°\mathrm{C}$时加热设备刚好开启，$U_{AB}=4\,\mathrm{V}$，即$R_1$两端电压$U_1=4\,\mathrm{V}$，
定值电阻$R_2$两端的电压：
$U_2 = U - U_1 = 6\,\mathrm{V} - 4\,\mathrm{V} = 2\,\mathrm{V}$
串联电路电流处处相等，此时电路电流：
$I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{4\,\mathrm{V}}{150\,\Omega} = \frac{2}{75}\,\mathrm{A}$
定值电阻的阻值：
$R_2 = \frac{U_2}{I} = \frac{2\,\mathrm{V}}{\frac{2}{75}\,\mathrm{A}} = 75\,\Omega$
(2) 由图甲可知，当温度$t=30°\mathrm{C}$时，热敏电阻的阻值$R_1'=75\,\Omega$，
此时电路总电阻：
$R_{\mathrm{总}} = R_1' + R_2 = 75\,\Omega + 75\,\Omega = 150\,\Omega$
电路中的电流：
$I' = \frac{U}{R_{\mathrm{总}}} = \frac{6\,\mathrm{V}}{150\,\Omega} = 0.04\,\mathrm{A}$
加热设备刚好停止工作时，$U_0$等于此时$R_1$两端的电压：
$U_0 = I' R_1' = 0.04\,\mathrm{A} × 75\,\Omega = 3\,\mathrm{V}$
答：(1) 定值电阻的阻值为$75\,\Omega$；(2) $U_0$的大小为$3\,\mathrm{V}$。
解析
【分析】
本题需结合热敏电阻的阻值随温度变化的图像，利用串联电路的特点和欧姆定律解题。首先根据加热开启的温度（20℃），从图甲中获取对应R₁的阻值，结合串联电路电压规律算出R₂两端电压，再通过串联电路电流相等，用欧姆定律求出定值电阻R₂的阻值；再根据加热停止的温度（30℃），从图甲获取对应R₁的阻值，计算此时电路电流，进而求出停止工作时的电压U₀。
【解析】
(1) 由图甲可知，当温度t=20℃时，热敏电阻的阻值R₁=150Ω。图乙中R₁与R₂串联，电源电压U=6V。
当t=20℃时，加热设备刚好开启，此时R₁两端电压U₁=U_AB=4V，根据串联电路电压规律，R₂两端的电压：
U₂ = U - U₁ = 6V - 4V = 2V
串联电路电流处处相等，此时电路电流：
I = U₁/R₁ = 4V / 150Ω = 2/75 A
定值电阻R₂的阻值：
R₂ = U₂ / I = 2V / (2/75 A) = 75Ω
(2) 由图甲可知，当温度t=30℃时，热敏电阻的阻值R₁'=75Ω。
此时电路总电阻：
R总 = R₁' + R₂ = 75Ω + 75Ω = 150Ω
电路中的电流：
I' = U / R总 = 6V / 150Ω = 0.04A
加热设备刚好停止工作时，U₀等于此时R₁两端的电压：
U₀ = I' R₁' = 0.04A × 75Ω = 3V
【答案】
(1) 定值电阻的阻值为75Ω；(2) U₀的大小为3V
【知识点】
串联电路特点、欧姆定律应用、热敏电阻特性
【点评】
本题结合图像信息与串联电路知识，考查欧姆定律的应用，需要准确从图像中读取对应温度下的电阻值，步骤清晰，属于中等难度的电学应用题。
【难度系数】
0.6
本题需结合热敏电阻的阻值随温度变化的图像，利用串联电路的特点和欧姆定律解题。首先根据加热开启的温度（20℃），从图甲中获取对应R₁的阻值，结合串联电路电压规律算出R₂两端电压，再通过串联电路电流相等，用欧姆定律求出定值电阻R₂的阻值；再根据加热停止的温度（30℃），从图甲获取对应R₁的阻值，计算此时电路电流，进而求出停止工作时的电压U₀。
【解析】
(1) 由图甲可知，当温度t=20℃时，热敏电阻的阻值R₁=150Ω。图乙中R₁与R₂串联，电源电压U=6V。
当t=20℃时，加热设备刚好开启，此时R₁两端电压U₁=U_AB=4V，根据串联电路电压规律，R₂两端的电压：
U₂ = U - U₁ = 6V - 4V = 2V
串联电路电流处处相等，此时电路电流：
I = U₁/R₁ = 4V / 150Ω = 2/75 A
定值电阻R₂的阻值：
R₂ = U₂ / I = 2V / (2/75 A) = 75Ω
(2) 由图甲可知，当温度t=30℃时，热敏电阻的阻值R₁'=75Ω。
此时电路总电阻：
R总 = R₁' + R₂ = 75Ω + 75Ω = 150Ω
电路中的电流：
I' = U / R总 = 6V / 150Ω = 0.04A
加热设备刚好停止工作时，U₀等于此时R₁两端的电压：
U₀ = I' R₁' = 0.04A × 75Ω = 3V
【答案】
(1) 定值电阻的阻值为75Ω；(2) U₀的大小为3V
【知识点】
串联电路特点、欧姆定律应用、热敏电阻特性
【点评】
本题结合图像信息与串联电路知识，考查欧姆定律的应用，需要准确从图像中读取对应温度下的电阻值，步骤清晰，属于中等难度的电学应用题。
【难度系数】
0.6
