8.(2025·湖南长沙中考)如图1-4-8,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.

8.(1)证明:在正方形ABCD中，
$AB=CD,AB// CD$.
$\because BE=DF,\therefore AB-BE=CD-DF$.
$\therefore AE=CF$.
又$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形.
(2)解:过点E作$EH⊥ CD$于点H,如图所示，

$\therefore ∠ EHC=∠ EHF=90°$.
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$BC=12$,
$\therefore AB=BC=CD=AD=12,∠ B=∠ BCD=90°$.
$\therefore ∠ EHC=∠ B=∠ BCD=90°$.
$\therefore$ 四边形EBCH是矩形.
$\therefore EH=BC=12,CH=BE=5$.
$\therefore DH=CD-CH=12-5=7$.
$\because BE=DF=5$,
$\therefore HF=DH-DF=7-5=2$.
在$\mathrm{Rt}△ EFH$中,由勾股定理得$EF=\sqrt{EH^2+HF^2}=\sqrt{12^2+2^2}=2\sqrt{37}$.

9.如图1-4-9，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足.连接EF，AG，并延长AG，交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH；
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由.

解：(1)证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD⊥CD，
∵ GE⊥CD，
∴ AD//GE，
∴ ∠DAG=∠EGH（两直线平行，内错角相等）。
(2) AH⊥EF，理由如下：
连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠ADG=∠CDG=45°，
在△ADG和△CDG中，
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ADG=∠CDG \\DG=DG\end{array} $
∴ △ADG≌△CDG（SAS），
∴ ∠DAG=∠DCG。
∵ GE⊥CD，GF⊥BC，∠ECF=90°，
∴ 四边形GFCE是矩形，
∴ OE=OC（矩形对角线相等且互相平分），
∴ ∠CEF=∠DCG。
由(1)知∠DAG=∠EGH，
∴ ∠EGH=∠CEF。
∵ GE⊥CD，
∴ ∠CEF + ∠GEH = 90°，
∴ ∠EGH + ∠GEH = 90°，
∴ 在△GHE中，∠GHE = 180° - (∠EGH + ∠GEH) = 90°，
∴ AH⊥EF。

1.定义法:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2.正方形的判定方法：
(1)的矩形是正方形。
(2)的矩形是正方形。
(3)的菱形是正方形。
(4)的菱形是正方形。
3.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图1-4-10.


4.将矩形、菱形、正方形分别填在图1-4-11的横线上。

2. (1) 有一组邻边相等
(2) 对角线互相垂直
(3) 有一个角是直角
(4) 对角线相等
3. 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如[图1]所示
4. 对应横线上依次填入菱形、矩形、正方形[图2]