1.先化简,再求值:$(x-2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2$,其中$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2},y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

解:$(x-2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2 = x^2+4y^2-4xy-x^2+5xy-4y^2 = xy.$
当$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2},y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,原式$=xy=\frac{\sqrt{5}+1}{2}×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{4}=\frac{(\sqrt{5})^2-1^2}{4}=\frac{4}{4}=1.$

【分析】
拿到这类整式化简求值题，首先不要直接代入x、y的数值计算，因为带根号的分式直接运算步骤繁琐容易出错。正确的解题思路是：①先利用整式运算法则化简原式：用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，用单项式乘多项式法则展开$x(5y-x)$，再合并同类项得到最简结果；②将x、y代入最简式，观察到两个因式的形式符合平方差公式特征，利用平方差公式快速计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(x-2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2&=x^2 - 4xy + 4y^2 + 5xy - x^2 - 4y^2\\&=xy\end{aligned}$
再代入$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2},y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式&=xy\\&=\frac{\sqrt{5}+1}{2} × \frac{\sqrt{5}-1}{2}\\&=\frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}\\&=\frac{5-1}{4}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
整式的混合运算，乘法公式，二次根式求值
【点评】
本题属于基础类化简求值题，核心考查整式运算和乘法公式的掌握程度，先化简后代值的解题思路能有效减少计算量，熟练运用完全平方公式、平方差公式可提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8

2. 已知$x=2-\sqrt{3}, y=2+\sqrt{3}$，求下列代数式的值：
(1)$x^2 + 2xy + y^2$；
(2)$\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$。

(1)解:原式$=(x+y)^2=(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3})^2=4^2=16.$
(2)原式$=\frac{y^2+x^2}{xy}=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}=\frac{(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3})^2-2(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{16-2}{1}=14.$

【分析】
解题时无需直接将x、y的数值代入代数式硬算，先观察代数式结构，借助整式乘法公式变形简化：(1)第一个代数式符合完全平方和的结构，可变形为$(x+y)^2$，先计算$x+y$的值再整体代入即可；(2)第二个代数式是异分母分式相加，通分后可得$\frac{x^2+y^2}{xy}$，再将分子用完全平方公式变形为$(x+y)^2-2xy$，只需提前算出$x+y$、$xy$的值，整体代入就能大幅降低运算难度。
【解析】
(1) 利用完全平方和公式因式分解：
原式$=(x+y)^2$
计算$x+y$的值：$x+y=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$
代入得：原式$=4^2=16$
(2) 先对分式通分化简：
原式$=\frac{y^2}{xy}+\frac{x^2}{xy}=\frac{x^2+y^2}{xy}$
将分子用完全平方公式变形：$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
利用平方差公式计算$xy$的值：$xy=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
结合$x+y=4$、$xy=1$代入得：
原式$=\frac{4^2-2×1}{1}=\frac{16-2}{1}=14$
【答案】
(1)16；(2)14
【知识点】
二次根式化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题属于二次根式化简求值的基础题型，核心解题技巧是先对代数式变形，再整体代入计算，可避免直接代入复杂的根式运算，有效降低出错率。
【难度系数】
0.85

3. 琪琪在解题“计算：$\sqrt{3}+(1-2\sqrt{3})^2 -▲(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}})$”时，发现“▲”处的数字印刷不清楚。
（1）若“▲”处的数字是$-\frac{9}{5}$，请计算结果；
（2）若该题的答案是$8-3\sqrt{3}$，通过计算说明
原题中的“▲”是几。

(1)解:由题意,得$\sqrt{3}+(1-2\sqrt{3})^2 -(-\frac{9}{5})×(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}})=13.$
(2)由题意,得$▲=[\sqrt{3}+(1-2\sqrt{3})^2-(8-3\sqrt{3})]÷(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}})=\sqrt{3}.$

【分析】
（1）第一问已知▲的数值，直接代入原式，按照二次根式混合运算顺序计算即可：先算乘方，再化简二次根式、计算乘法，最后合并同类二次根式得到结果。
（2）第二问可将▲设为未知数，结合题目给出的最终答案列等式，先化简已知部分，再通过移项、系数化为1求出▲的值。
【解析】
（1）将▲=$-\frac{9}{5}$代入原式计算：
第一步：计算乘方，由完全平方公式得$(1-2\sqrt{3})^2=1^2-2×1×2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2=1-4\sqrt{3}+12=13-4\sqrt{3}$；
第二步：化简括号内的二次根式，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
第三步：代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{3}+13-4\sqrt{3} -(-\frac{9}{5})×\frac{5\sqrt{3}}{3}\\&=13-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\&=13\end{aligned}$
（2）设▲的数值为$x$，根据题意列等式：
$\sqrt{3}+(1-2\sqrt{3})^2 -x(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}})=8-3\sqrt{3}$
第一步：化简已知部分，$\sqrt{3}+(13-4\sqrt{3})=13-3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$，代入等式得：
$13-3\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x=8-3\sqrt{3}$
第二步：移项化简，两边同时加$3\sqrt{3}$得$13-\frac{5\sqrt{3}}{3}x=8$，整理得$\frac{5\sqrt{3}}{3}x=5$；
第三步：系数化为1求$x$：
$x=5÷\frac{5\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{13}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
二次根式的化简，完全平方公式，二次根式混合运算
【点评】
本题围绕二次根式运算设置，第一问考查正向运算能力，第二问考查逆向推导能力，解题核心是熟练掌握二次根式化简、合并同类二次根式的方法，运算时注意符号变化即可。
【难度系数】
0.8

4. 观察下列等式,并解答下列问题:
第1个等式: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}$;
第2个等式: $\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}$;
第3个等式: $\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}$;
…
(1)王老师给出了第3个等式的推导过程:
$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{①} × \sqrt{②} = \sqrt{\frac{4}{3×4^2×5}} = \sqrt{\frac{1}{3×4×5}}=\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}$请你写出①,②所代表的数;
(2)请根据上面各个等式的规律,写出第10个等式;
(3)根据你观察到的规律,写出第n个等式,并写出推导过程.

(1)解:①所代表的数为$\frac{1}{4^2}$,②所代表的数为$\frac{4}{15}.$
(2)第10个等式为$\frac{1}{11}\sqrt{\frac{11}{120}}=\sqrt{\frac{1}{10}(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})}.$
(3)第n个等式为$\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}$, 左边$=\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2}·\frac{n+1}{n^2+2n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=$右边.

【分析】
(1) 依据二次根式的性质：当$a≥0$时，$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2· b}$，要把根号外的$\frac{1}{4}$移入根号内，需先对其平方，因此拆分的两个根号内分别是$\frac{1}{4}$的平方和原式根号内的$\frac{4}{15}$，即可求出①②的内容。
(2) 先观察前3个等式的结构规律：第$k$个等式中，左边系数分母为$k+1$，根号内分子为$k+1$，分母为$(k+1)^2-1$；右边根号内为$\frac{1}{k}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})$，将$k=10$代入规律即可得到第10个等式。
(3) 把序号$k$替换为$n$，总结出第$n$个等式的通用形式，再利用二次根式的性质将左边根号外的部分移入根号内化简，结合分式拆分的方法验证左右两边相等即可。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{(\frac{1}{4})^2} × \sqrt{\frac{4}{15}}$，因此①为$\frac{1}{4^2}$，②为$\frac{4}{15}$。
(2) 观察已知等式的规律：
第1个等式对应$k=1$，第2个对应$k=2$，第3个对应$k=3$，则第$k$个等式左边为$\frac{1}{k+1}\sqrt{\frac{k+1}{(k+1)^2-1}}$，右边为$\sqrt{\frac{1}{k}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}$。
当$k=10$时，代入得左边为$\frac{1}{11}\sqrt{\frac{11}{11^2-1}}=\frac{1}{11}\sqrt{\frac{11}{120}}$，右边为$\sqrt{\frac{1}{10}(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})}$，即得第10个等式。
(3) 第$n$个等式为$\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}$（$n$为正整数），推导如下：
左边$=\sqrt{(\frac{1}{n+1})^2 · \frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=\sqrt{\frac{1}{(n+1)^2} · \frac{n+1}{n^2+2n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$
右边$=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\sqrt{\frac{1}{n} · \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$
左边=右边，等式成立。
【答案】
(1)①所代表的数为$\frac{1}{4^2}$，②所代表的数为$\frac{4}{15}$；
(2)第10个等式为$\frac{1}{11}\sqrt{\frac{11}{120}}=\sqrt{\frac{1}{10}(\frac{1}{11}-\frac{1}{12})}$；
(3)第n个等式为$\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}=\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}$，推导过程见解析。
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分式运算
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的基础题型，既考查了二次根式的运算性质，也考查了观察归纳的能力，解题时需先从已知等式中提取共性得到通用规律，再通过运算验证规律的正确性，细心分析即可顺利解答。
【难度系数】
0.7