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7.判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)无理数的相反数一定是无理数 （
(2)无理数包括正无理数和负无理数 （
(3)无限小数一定是无理数 （
(1)无理数的相反数一定是无理数 （
√
）(2)无理数包括正无理数和负无理数 （
√
）(3)无限小数一定是无理数 （
×
）答案
(1)√ (2)√ (3)×
解析
【分析】
本题考查无理数的相关概念，解题时结合无理数的定义、分类及相反数的性质逐一判断即可：①判断无理数的相反数属性时，可通过举例或者逻辑推导验证；②判断无理数的分类时，要明确0属于有理数，不属于无理数范畴；③判断无限小数和无理数的关系时，先明确无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数两类，再分别对应数的属性判断。
【解析】
(1) 若a是无理数，假设其相反数-a是有理数，那么有理数的相反数-a的相反数a也为有理数，和a是无理数矛盾，因此无理数的相反数一定是无理数，该说法正确。
(2) 无理数是无限不循环小数，按正负划分可分为正无理数和负无理数，0是有理数，不属于无理数，因此该说法正确。
(3) 无限小数分为两类：无限循环小数、无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，是有理数），只有无限不循环小数才是无理数，因此无限小数不一定是无理数，该说法错误。
【答案】
(1)√ (2)√ (3)×
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是易混淆无限小数和无理数的关系，解题时要牢牢抓住“无限不循环”这一无理数的核心属性即可快速判断。
【难度系数】
0.85
本题考查无理数的相关概念，解题时结合无理数的定义、分类及相反数的性质逐一判断即可：①判断无理数的相反数属性时，可通过举例或者逻辑推导验证；②判断无理数的分类时，要明确0属于有理数，不属于无理数范畴；③判断无限小数和无理数的关系时，先明确无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数两类，再分别对应数的属性判断。
【解析】
(1) 若a是无理数，假设其相反数-a是有理数，那么有理数的相反数-a的相反数a也为有理数，和a是无理数矛盾，因此无理数的相反数一定是无理数，该说法正确。
(2) 无理数是无限不循环小数，按正负划分可分为正无理数和负无理数，0是有理数，不属于无理数，因此该说法正确。
(3) 无限小数分为两类：无限循环小数、无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$，是有理数），只有无限不循环小数才是无理数，因此无限小数不一定是无理数，该说法错误。
【答案】
(1)√ (2)√ (3)×
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是易混淆无限小数和无理数的关系，解题时要牢牢抓住“无限不循环”这一无理数的核心属性即可快速判断。
【难度系数】
0.85
8. 找近似值：
(1) $\because 1.7^2=2.89,1.8^2=3.24,\therefore 1.7^2＜(\sqrt{3})^2＜1.8^2,\therefore \sqrt{3}=1.7···,$
又$\because 1.73^2＜(\sqrt{3})^2＜1.74^2,\therefore \sqrt{3}=$
(2)类比上述方法找$\sqrt{6}$的近似值(一直找到千分位上的数字).
(1) $\because 1.7^2=2.89,1.8^2=3.24,\therefore 1.7^2＜(\sqrt{3})^2＜1.8^2,\therefore \sqrt{3}=1.7···,$
又$\because 1.73^2＜(\sqrt{3})^2＜1.74^2,\therefore \sqrt{3}=$
1.73…
.(2)类比上述方法找$\sqrt{6}$的近似值(一直找到千分位上的数字).
答案
(1)1.73… (2)2.449…
解析
【分析】
本题采用“夹逼法”（平方法）估算算术平方根的近似值，核心思路是通过计算相邻有理数的平方，将待估算的无理数限制在两个相邻有理数之间，从而确定无理数各数位上的数字，逐位推导得到对应精度的近似值。
(1) 已知$\sqrt{3}$介于1.73和1.74之间，可直接确定其百分位数字，得到对应近似值；
(2) 类比第一问的方法，先确定$\sqrt{6}$的整数部分，再依次推导十分位、百分位、千分位的数字，逐步缩小范围即可得到千分位精度的近似值。
【解析】
(1) 由$1.73^2＜(\sqrt{3})^2＜1.74^2$，可得$1.73＜\sqrt{3}＜1.74$，因此$\sqrt{3}$的百分位数字为3，即$\sqrt{3}=1.73···$。
(2) 估算$\sqrt{6}$的近似值步骤如下：
① 确定整数部分：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜6＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，即$\sqrt{6}=2···$；
② 确定十分位：
$\because 2.4^2=5.76$，$2.5^2=6.25$，$5.76＜6＜6.25$，
$\therefore 2.4＜\sqrt{6}＜2.5$，即$\sqrt{6}=2.4···$；
③ 确定百分位：
$\because 2.44^2=5.9536$，$2.45^2=6.0025$，$5.9536＜6＜6.0025$，
$\therefore 2.44＜\sqrt{6}＜2.45$，即$\sqrt{6}=2.44···$；
④ 确定千分位：
$\because 2.449^2=5.997601$，$2.450^2=6.0025$，$5.997601＜6＜6.0025$，
$\therefore 2.449＜\sqrt{6}＜2.450$，即$\sqrt{6}=2.449···$。
【答案】
(1) $1.73···$；(2) $2.449···$
【知识点】
算术平方根估算；平方法比较大小；实数大小比较
【点评】
平方法（夹逼法）是估算无理数近似值的常用基础方法，通过逐位缩小范围可以得到任意精度的近似值，熟练掌握该方法有助于加深对无理数大小的理解，也是后续实数运算的重要基础。
【难度系数】
0.75
本题采用“夹逼法”（平方法）估算算术平方根的近似值，核心思路是通过计算相邻有理数的平方，将待估算的无理数限制在两个相邻有理数之间，从而确定无理数各数位上的数字，逐位推导得到对应精度的近似值。
(1) 已知$\sqrt{3}$介于1.73和1.74之间，可直接确定其百分位数字，得到对应近似值；
(2) 类比第一问的方法，先确定$\sqrt{6}$的整数部分，再依次推导十分位、百分位、千分位的数字，逐步缩小范围即可得到千分位精度的近似值。
【解析】
(1) 由$1.73^2＜(\sqrt{3})^2＜1.74^2$，可得$1.73＜\sqrt{3}＜1.74$，因此$\sqrt{3}$的百分位数字为3，即$\sqrt{3}=1.73···$。
(2) 估算$\sqrt{6}$的近似值步骤如下：
① 确定整数部分：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜6＜9$，
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$，即$\sqrt{6}=2···$；
② 确定十分位：
$\because 2.4^2=5.76$，$2.5^2=6.25$，$5.76＜6＜6.25$，
$\therefore 2.4＜\sqrt{6}＜2.5$，即$\sqrt{6}=2.4···$；
③ 确定百分位：
$\because 2.44^2=5.9536$，$2.45^2=6.0025$，$5.9536＜6＜6.0025$，
$\therefore 2.44＜\sqrt{6}＜2.45$，即$\sqrt{6}=2.44···$；
④ 确定千分位：
$\because 2.449^2=5.997601$，$2.450^2=6.0025$，$5.997601＜6＜6.0025$，
$\therefore 2.449＜\sqrt{6}＜2.450$，即$\sqrt{6}=2.449···$。
【答案】
(1) $1.73···$；(2) $2.449···$
【知识点】
算术平方根估算；平方法比较大小；实数大小比较
【点评】
平方法（夹逼法）是估算无理数近似值的常用基础方法，通过逐位缩小范围可以得到任意精度的近似值，熟练掌握该方法有助于加深对无理数大小的理解，也是后续实数运算的重要基础。
【难度系数】
0.75
9. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究已知$\sqrt{2}=1.414···$，它是一个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用$\sqrt{2}-1$来表示它的小数部分。”老师肯定了他的说法。请你根据小明的说法解答：若$\sqrt{5}$的小数部分是$a$，$\sqrt{37}$的整数部分是$b$，求$a+b-\sqrt{5}$的值。
答案
4
解析
【分析】
要解决本题，首先需要掌握无理数的估算方法：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个相邻整数之间，即可得到无理数的整数部分，再用无理数减去它的整数部分得到小数部分。接下来分别求出$\sqrt{5}$的小数部分$a$和$\sqrt{37}$的整数部分$b$，最后代入代数式化简计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的小数部分$a$
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$
由此可知$\sqrt{5}$的整数部分为2，因此小数部分$a=\sqrt{5}-2$
2. 求$\sqrt{37}$的整数部分$b$
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，所以$6＜\sqrt{37}＜7$
因此$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$
3. 代入代数式计算
将$a=\sqrt{5}-2$、$b=6$代入$a+b-\sqrt{5}$得：
$\begin{aligned}a+b-\sqrt{5}&=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}\\&=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查无理数的大小估算方法，解题关键是通过相邻整数的平方确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，代入计算时注意抵消同类项即可，掌握估算技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要掌握无理数的估算方法：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数介于哪两个相邻整数之间，即可得到无理数的整数部分，再用无理数减去它的整数部分得到小数部分。接下来分别求出$\sqrt{5}$的小数部分$a$和$\sqrt{37}$的整数部分$b$，最后代入代数式化简计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的小数部分$a$
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$
由此可知$\sqrt{5}$的整数部分为2，因此小数部分$a=\sqrt{5}-2$
2. 求$\sqrt{37}$的整数部分$b$
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜37＜49$，所以$6＜\sqrt{37}＜7$
因此$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$
3. 代入代数式计算
将$a=\sqrt{5}-2$、$b=6$代入$a+b-\sqrt{5}$得：
$\begin{aligned}a+b-\sqrt{5}&=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}\\&=\sqrt{5}-2+6-\sqrt{5}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 代数式化简求值
【点评】
本题核心考查无理数的大小估算方法，解题关键是通过相邻整数的平方确定无理数的取值范围，进而得到其整数部分和小数部分，代入计算时注意抵消同类项即可，掌握估算技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.8
