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13. 如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为
γ+α−β=90°
。答案
13. γ+α−β=90° 【解析】如图，
因为γ+∠1=90°,α+∠2=90°,∠1+β+∠2=90°，
所以γ+∠1+α+∠2−(∠1+β+∠2)=γ+∠1+α+∠2−∠1−β−∠2=90°，
则γ+α−β=90°。
解析
【分析】
已知正方形的每个内角都是90°，要推导α、β、γ的数量关系，直接观察无法直接得出，可先给三个角之间重叠的两个未知角标注为∠1和∠2，结合每个正方形在顶点O处的内角为90°，列出包含α、β、γ、∠1、∠2的等式，再通过等式加减消去∠1和∠2，即可得到三个角的数量关系。
【解析】
标注两个重叠的角为∠1、∠2，如图
∵正方形的内角为90°，
∴$\gamma + ∠1 = 90°$ ①，
$α + ∠2 = 90°$ ②，
$∠1 + β + ∠2 = 90°$ ③。
将①+②可得：$\gamma + α + ∠1 + ∠2 = 180°$，
用上述等式减去③，得：
$\gamma + α + ∠1 + ∠2 - (∠1 + β + ∠2) = 180° - 90°$，
化简后得：$\gamma + α - β = 90°$。
【答案】
$\gamma+α−β=90°$
【知识点】
正方形内角性质，角的和差计算，等式的性质
【点评】
本题解题的关键是合理标注中间重叠的未知角，结合正方形的直角特征列出角的和差等式，再通过消去未知量推导得到所求角的数量关系，侧重考查对图形中角的位置关系的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
已知正方形的每个内角都是90°，要推导α、β、γ的数量关系，直接观察无法直接得出，可先给三个角之间重叠的两个未知角标注为∠1和∠2，结合每个正方形在顶点O处的内角为90°，列出包含α、β、γ、∠1、∠2的等式，再通过等式加减消去∠1和∠2，即可得到三个角的数量关系。
【解析】
标注两个重叠的角为∠1、∠2，如图
∵正方形的内角为90°，
∴$\gamma + ∠1 = 90°$ ①，
$α + ∠2 = 90°$ ②，
$∠1 + β + ∠2 = 90°$ ③。
将①+②可得：$\gamma + α + ∠1 + ∠2 = 180°$，
用上述等式减去③，得：
$\gamma + α + ∠1 + ∠2 - (∠1 + β + ∠2) = 180° - 90°$，
化简后得：$\gamma + α - β = 90°$。
【答案】
$\gamma+α−β=90°$
【知识点】
正方形内角性质，角的和差计算，等式的性质
【点评】
本题解题的关键是合理标注中间重叠的未知角，结合正方形的直角特征列出角的和差等式，再通过消去未知量推导得到所求角的数量关系，侧重考查对图形中角的位置关系的观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共35分)
14. (11分)如图,平面上有三个点A,B,C。
(1)根据下列语句画图:作出射线AC,CB,直线AB。
(2)在射线CB上取一点D(不与点C重合),使$BD=BC$(尺规作图,保留作图痕迹)。
(3)在(1)(2)的条件下,回答下列问题:
①用适当的语句表述点D与直线AB的位置关系:
②若$BD=1.5$,则$CD=$
A·
·B
C·
14. (11分)如图,平面上有三个点A,B,C。
(1)根据下列语句画图:作出射线AC,CB,直线AB。
(2)在射线CB上取一点D(不与点C重合),使$BD=BC$(尺规作图,保留作图痕迹)。
(3)在(1)(2)的条件下,回答下列问题:
①用适当的语句表述点D与直线AB的位置关系:
点D在直线AB外部
。②若$BD=1.5$,则$CD=$
3
。A·
·B
C·
答案
14. 解:(1)作射线AC,CB,直线AB，如图所示。
(2)在射线CB上取一点D(不与点C重合),使BD=BC,如图所示。
①用适当的语句表述点D与直线AB的位置关系:点D在直线AB外部，故答案为点D在直线AB外部。
②若BD=1.5,则CD=2BD=3。
故答案为3。
解析
【分析】
解决本题需要结合几何基本概念和基础作图方法逐步分析：首先回忆直线、射线的定义完成第(1)问作图，再依据尺规作等长线段的方法完成第(2)问，最后结合点与直线的位置关系、线段和差规则解决第(3)问。第(1)问作图时需注意：直线无端点，要向两端无限延伸；射线有1个端点，仅向端点外的方向延伸。第(2)问作BD=BC，只需以B为圆心、BC长为半径画弧，和射线CB的另一个交点就是D。第(3)问①点和直线的位置只有“在直线上”“在直线外”两种，观察图形即可判断；②由BD=BC可知CD是两段等长线段的和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 按定义作图：①画直线AB：连接A、B两点，将线段AB向两端无限延伸；②画射线AC：以A为端点，过点C向远离A的方向延伸；③画射线CB：以C为端点，过点B向远离C的方向延伸，即完成作图。
(2) 尺规作图步骤：将圆规两脚间距调整为BC的长度，以点B为圆心、BC长为半径画弧，弧线与射线CB交于C和另一个点，该点即为符合要求的D，保留画弧的作图痕迹即可。
(3) ①观察所作图形，直线AB仅经过A、B两点，D不在直线AB上，因此点D在直线AB外部。
②由题可知BD=BC，已知BD=1.5，因此BC=1.5；又因为C、B、D在射线CB上顺次排列，所以CD=CB+BD=1.5+1.5=3。
【答案】
(1)作射线AC,CB,直线AB，如图所示。
(2)在射线CB上取一点D(不与点C重合),使BD=BC,如图所示。
①点D在直线AB外部
②3
【知识点】
直线射线线段的概念、尺规作图、点与直线的位置关系
【点评】
本题是几何入门基础题，重点考查基础作图能力和核心概念的掌握程度，作图时需注意区分直线、射线的延伸方向，尺规作图要保留规定痕迹，概念类问题要准确记忆定义，规范表述结论。
【难度系数】
0.85
解决本题需要结合几何基本概念和基础作图方法逐步分析：首先回忆直线、射线的定义完成第(1)问作图，再依据尺规作等长线段的方法完成第(2)问，最后结合点与直线的位置关系、线段和差规则解决第(3)问。第(1)问作图时需注意：直线无端点，要向两端无限延伸；射线有1个端点，仅向端点外的方向延伸。第(2)问作BD=BC，只需以B为圆心、BC长为半径画弧，和射线CB的另一个交点就是D。第(3)问①点和直线的位置只有“在直线上”“在直线外”两种，观察图形即可判断；②由BD=BC可知CD是两段等长线段的和，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 按定义作图：①画直线AB：连接A、B两点，将线段AB向两端无限延伸；②画射线AC：以A为端点，过点C向远离A的方向延伸；③画射线CB：以C为端点，过点B向远离C的方向延伸，即完成作图。
(2) 尺规作图步骤：将圆规两脚间距调整为BC的长度，以点B为圆心、BC长为半径画弧，弧线与射线CB交于C和另一个点，该点即为符合要求的D，保留画弧的作图痕迹即可。
(3) ①观察所作图形，直线AB仅经过A、B两点，D不在直线AB上，因此点D在直线AB外部。
②由题可知BD=BC，已知BD=1.5，因此BC=1.5；又因为C、B、D在射线CB上顺次排列，所以CD=CB+BD=1.5+1.5=3。
【答案】
(1)作射线AC,CB,直线AB，如图所示。
(2)在射线CB上取一点D(不与点C重合),使BD=BC,如图所示。
①点D在直线AB外部
②3
【知识点】
直线射线线段的概念、尺规作图、点与直线的位置关系
【点评】
本题是几何入门基础题，重点考查基础作图能力和核心概念的掌握程度，作图时需注意区分直线、射线的延伸方向，尺规作图要保留规定痕迹，概念类问题要准确记忆定义，规范表述结论。
【难度系数】
0.85
15. (12分)如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，AB=12，CD=4BD。
(1)若BC=20，求AD的长。
(2)若AB=2BD，E为线段AC的中点，求BE的长。
(1)若BC=20，求AD的长。
(2)若AB=2BD，E为线段AC的中点，求BE的长。
答案
15. 解:(1)因为CD=4BD,BC=20，
所以BD=4,CD=16。
又因为AB=12，
所以AD=AB+BD=12+4=16。
(2)因为AB=12,AB=2BD，
所以BD=6，
所以CD=4BD=4×6=24，
所以AC=AB+BD+CD=12+6+24=42。
因为E为线段AC的中点，
所以CE=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×42=21$。
又因为BC=6+24=30，
所以BE=BC−CE=30−21=9。
所以BD=4,CD=16。
又因为AB=12，
所以AD=AB+BD=12+4=16。
(2)因为AB=12,AB=2BD，
所以BD=6，
所以CD=4BD=4×6=24，
所以AC=AB+BD+CD=12+6+24=42。
因为E为线段AC的中点，
所以CE=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×42=21$。
又因为BC=6+24=30，
所以BE=BC−CE=30−21=9。
解析
【分析】
本题是线段和差的计算问题，解题思路如下：
(1) 首先根据CD=4BD，可知BC=BD+CD=5BD，结合已知BC的长度可求出BD的长，再根据AD=AB+BD，代入AB、BD的长度即可得到AD的长。
(2) 先根据AB=2BD求出BD的长度，再结合CD=4BD求出CD的长，进而求出AC的总长度；利用线段中点的性质得到CE的长度，再算出BC的长度，最后通过BE=BC-CE即可求出BE的长。
【解析】
(1) 已知CD=4BD，BC=BD+CD，代入CD=4BD可得：
$BC=BD+4BD=5BD$
∵ $BC=20$
∴ $BD=20÷5=4$
又
∵ $AB=12$，且$AD=AB+BD$
∴ $AD=12+4=16$
(2)
∵ $AB=12$，$AB=2BD$
∴ $BD=12÷2=6$
∵ $CD=4BD$
∴ $CD=4×6=24$
∴ $AC=AB+BD+CD=12+6+24=42$
∵ E是线段AC的中点
∴ $CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×42=21$
又
∵ $BC=BD+CD=6+24=30$
∴ $BE=BC-CE=30-21=9$
【答案】
(1) AD的长为16；(2) BE的长为9
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，线段倍分关系
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的和差、倍分关系，结合已知条件逐步推导即可，注意计算过程中不要混淆各线段的位置关系。
【难度系数】
0.8
本题是线段和差的计算问题，解题思路如下：
(1) 首先根据CD=4BD，可知BC=BD+CD=5BD，结合已知BC的长度可求出BD的长，再根据AD=AB+BD，代入AB、BD的长度即可得到AD的长。
(2) 先根据AB=2BD求出BD的长度，再结合CD=4BD求出CD的长，进而求出AC的总长度；利用线段中点的性质得到CE的长度，再算出BC的长度，最后通过BE=BC-CE即可求出BE的长。
【解析】
(1) 已知CD=4BD，BC=BD+CD，代入CD=4BD可得：
$BC=BD+4BD=5BD$
∵ $BC=20$
∴ $BD=20÷5=4$
又
∵ $AB=12$，且$AD=AB+BD$
∴ $AD=12+4=16$
(2)
∵ $AB=12$，$AB=2BD$
∴ $BD=12÷2=6$
∵ $CD=4BD$
∴ $CD=4×6=24$
∴ $AC=AB+BD+CD=12+6+24=42$
∵ E是线段AC的中点
∴ $CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×42=21$
又
∵ $BC=BD+CD=6+24=30$
∴ $BE=BC-CE=30-21=9$
【答案】
(1) AD的长为16；(2) BE的长为9
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，线段倍分关系
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题的核心是理清各线段之间的和差、倍分关系，结合已知条件逐步推导即可，注意计算过程中不要混淆各线段的位置关系。
【难度系数】
0.8
16. (12分)已知直线AB,CD都经过点O,∠AOD=90°,射线OF在∠BOD内部。
(1)如图1,若射线OE在∠AOD内部,∠DOE=∠BOF=40°,请比较∠AOE和∠DOF的大小,并说明理由。
(2)如图2,小亮将∠BOF沿射线OH折叠,使OF与OD重合,OB与∠AOD内部的射线OG重合。小亮提出了以下问题,请你解决:
①∠BOG与∠COF相等吗?请说明理由。
②现有一条射线OM在∠AOD内部,若∠BOF=50°,∠MOG=15°,请求出∠MOH的度数。
(1)如图1,若射线OE在∠AOD内部,∠DOE=∠BOF=40°,请比较∠AOE和∠DOF的大小,并说明理由。
(2)如图2,小亮将∠BOF沿射线OH折叠,使OF与OD重合,OB与∠AOD内部的射线OG重合。小亮提出了以下问题,请你解决:
①∠BOG与∠COF相等吗?请说明理由。
②现有一条射线OM在∠AOD内部,若∠BOF=50°,∠MOG=15°,请求出∠MOH的度数。
答案
16. 解:(1)∠AOE=∠DOF。理由如下：
因为∠AOD=90°,所以∠BOD=90°。
因为∠DOE=∠BOF=40°，
所以∠AOE=50°,∠DOF=50°，
所以∠AOE=∠DOF。
(2)①∠BOG=∠COF。理由如下：
因为∠BOD=90°，
所以∠BOF+∠DOF=90°。
因为∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
所以∠BOF=∠GOD，
所以∠GOD+∠DOF = 90°,即∠GOF=90°。
因为∠COB=90°，
所以∠COB=∠GOF，
所以∠COB+∠BOF=∠GOF+∠BOF，
所以∠BOG=∠COF。
②因为∠BOF=50°，
所以∠DOF=40°。
因为沿射线OH折叠,OF与OD重合，
所以OH平分∠DOF，
所以∠DOH=∠FOH=20°。
因为∠GOD = ∠BOF = 50° 且∠MOG=15°，
所以∠MOH的度数为85°或55°。
因为∠AOD=90°,所以∠BOD=90°。
因为∠DOE=∠BOF=40°，
所以∠AOE=50°,∠DOF=50°，
所以∠AOE=∠DOF。
(2)①∠BOG=∠COF。理由如下：
因为∠BOD=90°，
所以∠BOF+∠DOF=90°。
因为∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
所以∠BOF=∠GOD，
所以∠GOD+∠DOF = 90°,即∠GOF=90°。
因为∠COB=90°，
所以∠COB=∠GOF，
所以∠COB+∠BOF=∠GOF+∠BOF，
所以∠BOG=∠COF。
②因为∠BOF=50°，
所以∠DOF=40°。
因为沿射线OH折叠,OF与OD重合，
所以OH平分∠DOF，
所以∠DOH=∠FOH=20°。
因为∠GOD = ∠BOF = 50° 且∠MOG=15°，
所以∠MOH的度数为85°或55°。
解析
【分析】
(1) 首先由∠AOD=90°可得AB与CD互相垂直，因此∠AOD、∠BOD均为90°，再分别用90°减去已知的∠DOE、∠BOF，即可算出∠AOE和∠DOF的度数，进而比较大小。
(2) ① 折叠前后对应角相等，可得∠GOD=∠BOF，结合∠BOD=90°可推出∠GOF=90°，再结合∠COB=90°，给两个相等的直角同时加上公共角∠BOF，即可推出∠BOG和∠COF相等；② 先根据∠BOF的度数求出∠DOF的度数，由折叠性质可知OH平分∠DOF，可求出∠DOH的度数，再结合∠GOD=∠BOF，注意射线OM的位置有两种可能：在OG的左侧或右侧，分别计算即可得到∠MOH的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AOE=∠ DOF}$，理由如下：
$\because ∠ AOD=90°$，AB为直线，
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=90°$，
$\because ∠ DOE=40°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD-∠ DOE=90°-40°=50°$，
$\because ∠ BOF=40°$，
$\therefore ∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ DOF$。
(2) ① $\boldsymbol{∠ BOG=∠ COF}$，理由如下：
$\because ∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ BOF+∠ DOF=90°$，
$\because ∠ BOF$沿射线OH折叠，OF与OD重合，
$\therefore ∠ GOD=∠ BOF$，
$\therefore ∠ GOD+∠ DOF=90°$，即$∠ GOF=90°$，
$\because $ CD为直线，$∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ COB=180°-∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ COB=∠ GOF$，
$\therefore ∠ COB+∠ BOF=∠ GOF+∠ BOF$，即$∠ BOG=∠ COF$。
② $\because ∠ BOF=50°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ DOF=90°-∠ BOF=40°$，
由折叠性质可知，OH平分$∠ DOF$，$∠ GOD=∠ BOF=50°$，
$\therefore ∠ DOH=∠ FOH=\frac{1}{2}∠ DOF=\frac{1}{2}×40°=20°$，
分两种情况讨论：
情况1：当OM在OG左侧时，$∠ MOG=15°$，则$∠ MOD=∠ GOD+∠ MOG=50°+15°=65°$，$∠ MOH=∠ MOD+∠ DOH=65°+20°=85°$；
情况2：当OM在OG右侧时，$∠ MOG=15°$，则$∠ MOD=∠ GOD-∠ MOG=50°-15°=35°$，$∠ MOH=∠ MOD+∠ DOH=35°+20°=55°$。
【答案】
(1) $∠ AOE=∠ DOF$；
(2) ①$∠ BOG=∠ COF$；②$∠ MOH$的度数为$85°$或$55°$。
【知识点】
垂直的定义，折叠的性质，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，结合垂直、折叠的性质设置问题，解题时要注意折叠前后对应角相等的隐含条件，遇到射线位置不明确的情况需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先由∠AOD=90°可得AB与CD互相垂直，因此∠AOD、∠BOD均为90°，再分别用90°减去已知的∠DOE、∠BOF，即可算出∠AOE和∠DOF的度数，进而比较大小。
(2) ① 折叠前后对应角相等，可得∠GOD=∠BOF，结合∠BOD=90°可推出∠GOF=90°，再结合∠COB=90°，给两个相等的直角同时加上公共角∠BOF，即可推出∠BOG和∠COF相等；② 先根据∠BOF的度数求出∠DOF的度数，由折叠性质可知OH平分∠DOF，可求出∠DOH的度数，再结合∠GOD=∠BOF，注意射线OM的位置有两种可能：在OG的左侧或右侧，分别计算即可得到∠MOH的度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AOE=∠ DOF}$，理由如下：
$\because ∠ AOD=90°$，AB为直线，
$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=90°$，
$\because ∠ DOE=40°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOD-∠ DOE=90°-40°=50°$，
$\because ∠ BOF=40°$，
$\therefore ∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ DOF$。
(2) ① $\boldsymbol{∠ BOG=∠ COF}$，理由如下：
$\because ∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ BOF+∠ DOF=90°$，
$\because ∠ BOF$沿射线OH折叠，OF与OD重合，
$\therefore ∠ GOD=∠ BOF$，
$\therefore ∠ GOD+∠ DOF=90°$，即$∠ GOF=90°$，
$\because $ CD为直线，$∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ COB=180°-∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ COB=∠ GOF$，
$\therefore ∠ COB+∠ BOF=∠ GOF+∠ BOF$，即$∠ BOG=∠ COF$。
② $\because ∠ BOF=50°$，$∠ BOD=90°$，
$\therefore ∠ DOF=90°-∠ BOF=40°$，
由折叠性质可知，OH平分$∠ DOF$，$∠ GOD=∠ BOF=50°$，
$\therefore ∠ DOH=∠ FOH=\frac{1}{2}∠ DOF=\frac{1}{2}×40°=20°$，
分两种情况讨论：
情况1：当OM在OG左侧时，$∠ MOG=15°$，则$∠ MOD=∠ GOD+∠ MOG=50°+15°=65°$，$∠ MOH=∠ MOD+∠ DOH=65°+20°=85°$；
情况2：当OM在OG右侧时，$∠ MOG=15°$，则$∠ MOD=∠ GOD-∠ MOG=50°-15°=35°$，$∠ MOH=∠ MOD+∠ DOH=35°+20°=55°$。
【答案】
(1) $∠ AOE=∠ DOF$；
(2) ①$∠ BOG=∠ COF$；②$∠ MOH$的度数为$85°$或$55°$。
【知识点】
垂直的定义，折叠的性质，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的运算展开，结合垂直、折叠的性质设置问题，解题时要注意折叠前后对应角相等的隐含条件，遇到射线位置不明确的情况需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
