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5. 张老师将－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片. 除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数的和写在黑板上，结果如下表所示. 则甲拿的两张卡片上的数的积为
0
，乙拿的两张卡片上的数的积为-2
.答案
5. 0 -2
解析
【分析】
解题时先计算出十张卡片上所有数的总和，再计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和之和，两者的差就是甲的两张卡片的和。优先分析和的组合唯一的丙的卡片，确定丙的卡片后，再依次推导戊、丁、乙的卡片，排除不符合的组合后即可得到甲、乙的卡片，最后计算对应乘积即可。
【解析】
1. 计算十张卡片的数字总和：
$\begin{split}&-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4\\=&-5+(-4+4)+(-3+3)+(-2+2)+(-1+1)+0\\=&-5\end{split}$
2. 计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和之和：
$1+(-8)+2+4=-1$
3. 甲的两张卡片的和为总总和减去四人的和：$-5-(-1)=-4$
4. 分析丙的卡片：和为$-8$，在给出的数中仅$-5+(-3)=-8$，因此丙拿的是$-5$和$-3$。
5. 剩余的数为：$-4、-2、-1、0、1、2、3、4$。
6. 分析戊的卡片：和为$4$，可能的组合为$1+3=4$、$0+4=4$：
若戊拿$0$和$4$，剩余数为$-4、-2、-1、1、2、3$，丁的和为$2$，仅$-1+3=2$，此时剩余数为$-4、-2、1、2$，无法找到两个数的和为$1$（乙的和），该情况排除。
因此戊拿的是$1$和$3$，和为$4$。
7. 此时剩余数为$-4、-2、-1、0、2、4$，丁的和为$2$，仅$-2+4=2$，因此丁拿的是$-2$和$4$。
8. 剩余数为$-4、-1、0、2$，乙的和为$1$，仅$-1+2=1$，因此乙拿的是$-1$和$2$。
9. 最后剩余的$-4$和$0$就是甲的卡片。
10. 计算乘积：甲的两张卡片的积为$(-4)×0=0$，乙的两张卡片的积为$(-1)×2=-2$。
【答案】
$0$；$-2$
【知识点】
有理数的加法，有理数的乘法，逻辑推理
【点评】
本题需要从唯一确定的和入手逐步推导，解题时要注意排除不符合条件的组合，既考查了有理数的运算能力，也考查了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先计算出十张卡片上所有数的总和，再计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和之和，两者的差就是甲的两张卡片的和。优先分析和的组合唯一的丙的卡片，确定丙的卡片后，再依次推导戊、丁、乙的卡片，排除不符合的组合后即可得到甲、乙的卡片，最后计算对应乘积即可。
【解析】
1. 计算十张卡片的数字总和：
$\begin{split}&-5+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4\\=&-5+(-4+4)+(-3+3)+(-2+2)+(-1+1)+0\\=&-5\end{split}$
2. 计算乙、丙、丁、戊四人的卡片和之和：
$1+(-8)+2+4=-1$
3. 甲的两张卡片的和为总总和减去四人的和：$-5-(-1)=-4$
4. 分析丙的卡片：和为$-8$，在给出的数中仅$-5+(-3)=-8$，因此丙拿的是$-5$和$-3$。
5. 剩余的数为：$-4、-2、-1、0、1、2、3、4$。
6. 分析戊的卡片：和为$4$，可能的组合为$1+3=4$、$0+4=4$：
若戊拿$0$和$4$，剩余数为$-4、-2、-1、1、2、3$，丁的和为$2$，仅$-1+3=2$，此时剩余数为$-4、-2、1、2$，无法找到两个数的和为$1$（乙的和），该情况排除。
因此戊拿的是$1$和$3$，和为$4$。
7. 此时剩余数为$-4、-2、-1、0、2、4$，丁的和为$2$，仅$-2+4=2$，因此丁拿的是$-2$和$4$。
8. 剩余数为$-4、-1、0、2$，乙的和为$1$，仅$-1+2=1$，因此乙拿的是$-1$和$2$。
9. 最后剩余的$-4$和$0$就是甲的卡片。
10. 计算乘积：甲的两张卡片的积为$(-4)×0=0$，乙的两张卡片的积为$(-1)×2=-2$。
【答案】
$0$；$-2$
【知识点】
有理数的加法，有理数的乘法，逻辑推理
【点评】
本题需要从唯一确定的和入手逐步推导，解题时要注意排除不符合条件的组合，既考查了有理数的运算能力，也考查了逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6. 计算：
(1) $(-24) × (-\dfrac{5}{6}) - (-25) × (+2\dfrac{1}{5})$；
(2) $(-2\dfrac{1}{3}) × (+\dfrac{2}{3}) × (+\dfrac{3}{10}) × (-1\dfrac{5}{6}) × (-2\dfrac{1}{4})$。
(1) $(-24) × (-\dfrac{5}{6}) - (-25) × (+2\dfrac{1}{5})$；
(2) $(-2\dfrac{1}{3}) × (+\dfrac{2}{3}) × (+\dfrac{3}{10}) × (-1\dfrac{5}{6}) × (-2\dfrac{1}{4})$。
答案
6. (1) 75 (2) $-\dfrac{77}{40}$
解析
【分析】
（1）本题是有理数乘法与减法的混合运算，解题思路为先算乘法，再算减法。计算乘法时先根据“同号得正，异号得负”确定符号，再计算绝对值，最后按照减法法则计算即可。
（2）本题是多个有理数连乘运算，解题思路为先根据负因数的个数确定最终乘积的符号（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再把所有带分数化为假分数，通过约分简化绝对值的计算，最后结合符号得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算两个乘法项：
$(-24) × (-\dfrac{5}{6})$：同号相乘得正，$24×\dfrac{5}{6}=20$，所以该项结果为$20$；
$(-25) × (+2\dfrac{1}{5})$：先把带分数化为假分数$2\dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{5}$，异号相乘得负，$25×\dfrac{11}{5}=55$，所以该项结果为$-55$；
代入原式计算：
原式$=20 - (-55) = 20 + 55 = 75$。
(2) 先确定符号：式子中共有3个负因数，负因数个数为奇数，所以最终结果为负；
再把所有带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$，$1\dfrac{5}{6}=\dfrac{11}{6}$，$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$；
计算绝对值的乘积，约分简化：
$\dfrac{7}{3} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{10} × \dfrac{11}{6} × \dfrac{9}{4}$
$=\dfrac{7}{\cancel{3}} × \dfrac{2}{\cancel{3}} × \dfrac{\cancel{3}}{10} × \dfrac{11}{6} × \dfrac{\cancel{9}^3}{4}$
$=\dfrac{77}{40}$
结合符号得最终结果：原式$=-\dfrac{77}{40}$。
【答案】
(1) $75$；(2) $-\dfrac{77}{40}$
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 乘积符号确定规则
3. 有理数混合运算
【点评】
本题核心考察有理数乘法的运算规则，解题的易错点是符号判断错误，计算时先定符号再算绝对值，带分数化为假分数后约分可大幅降低计算量，平时练习要注重培养先判断符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
（1）本题是有理数乘法与减法的混合运算，解题思路为先算乘法，再算减法。计算乘法时先根据“同号得正，异号得负”确定符号，再计算绝对值，最后按照减法法则计算即可。
（2）本题是多个有理数连乘运算，解题思路为先根据负因数的个数确定最终乘积的符号（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再把所有带分数化为假分数，通过约分简化绝对值的计算，最后结合符号得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算两个乘法项：
$(-24) × (-\dfrac{5}{6})$：同号相乘得正，$24×\dfrac{5}{6}=20$，所以该项结果为$20$；
$(-25) × (+2\dfrac{1}{5})$：先把带分数化为假分数$2\dfrac{1}{5}=\dfrac{11}{5}$，异号相乘得负，$25×\dfrac{11}{5}=55$，所以该项结果为$-55$；
代入原式计算：
原式$=20 - (-55) = 20 + 55 = 75$。
(2) 先确定符号：式子中共有3个负因数，负因数个数为奇数，所以最终结果为负；
再把所有带分数化为假分数：$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$，$1\dfrac{5}{6}=\dfrac{11}{6}$，$2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$；
计算绝对值的乘积，约分简化：
$\dfrac{7}{3} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{10} × \dfrac{11}{6} × \dfrac{9}{4}$
$=\dfrac{7}{\cancel{3}} × \dfrac{2}{\cancel{3}} × \dfrac{\cancel{3}}{10} × \dfrac{11}{6} × \dfrac{\cancel{9}^3}{4}$
$=\dfrac{77}{40}$
结合符号得最终结果：原式$=-\dfrac{77}{40}$。
【答案】
(1) $75$；(2) $-\dfrac{77}{40}$
【知识点】
1. 有理数乘法法则
2. 乘积符号确定规则
3. 有理数混合运算
【点评】
本题核心考察有理数乘法的运算规则，解题的易错点是符号判断错误，计算时先定符号再算绝对值，带分数化为假分数后约分可大幅降低计算量，平时练习要注重培养先判断符号再计算的习惯。
【难度系数】
0.7
7. 已知$|a|=5$，$|b|=2$，且$ab＜0$，求$3a-b$的值.
答案
7. $\pm17$
解析
【分析】
解题第一步先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值；再结合条件ab＜0（即两个有理数相乘结果为负），可知a与b符号相反，因此需要分两种情况分类讨论；最后将符合条件的a、b取值代入3a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a|=5，
∴a=5或a=-5
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2
∵ab＜0，
∴a和b异号，分两种情况计算：
① 当a=5时，b=-2，代入得：
3a-b=3×5 - (-2)=15+2=17
② 当a=-5时，b=2，代入得：
3a-b=3×(-5) - 2=-15-2=-17
综上，3a-b的值为±17。
【答案】
±17
【知识点】
绝对值的性质、有理数乘法符号规则、有理数加减运算
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时要根据ab＜0的约束条件筛选a、b的取值组合，避免出现漏解的情况，计算过程中要注意有理数减法的符号处理。
【难度系数】
0.7
解题第一步先根据绝对值的性质确定a、b的所有可能取值；再结合条件ab＜0（即两个有理数相乘结果为负），可知a与b符号相反，因此需要分两种情况分类讨论；最后将符合条件的a、b取值代入3a-b计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵|a|=5，
∴a=5或a=-5
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2
∵ab＜0，
∴a和b异号，分两种情况计算：
① 当a=5时，b=-2，代入得：
3a-b=3×5 - (-2)=15+2=17
② 当a=-5时，b=2，代入得：
3a-b=3×(-5) - 2=-15-2=-17
综上，3a-b的值为±17。
【答案】
±17
【知识点】
绝对值的性质、有理数乘法符号规则、有理数加减运算
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时要根据ab＜0的约束条件筛选a、b的取值组合，避免出现漏解的情况，计算过程中要注意有理数减法的符号处理。
【难度系数】
0.7
8. 定义一种新运算“⊕”，其规则如下：$a \oplus b = a × b + 4$. 根据此定义，求：
(1) $2 \oplus (-3)$的值；
(2) $-5 \oplus (-25 \oplus \frac{1}{5})$的值.
(1) $2 \oplus (-3)$的值；
(2) $-5 \oplus (-25 \oplus \frac{1}{5})$的值.
答案
8. (1) 原式$=2×(-3)+4=-6+4=-2$；
(2) $-5\oplus(-25\oplus\dfrac{1}{5})=-5\oplus(-25×\dfrac{1}{5}+4)=-5\oplus(-5+4)=-5\oplus(-1)=-5×(-1)+4=5+4=9$.
(2) $-5\oplus(-25\oplus\dfrac{1}{5})=-5\oplus(-25×\dfrac{1}{5}+4)=-5\oplus(-5+4)=-5\oplus(-1)=-5×(-1)+4=5+4=9$.
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“⊕”的运算规则：两个数做⊕运算，结果等于这两个数的乘积再加4。计算时遵循常规四则运算的顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，每一步只需把参与⊕运算的两个数对应替换规则里的a和b，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则，对应a=2，b=-3，代入公式得：
原式$=2×(-3)+4$
$=-6+4$
$=-2$
(2) 先计算括号内的$-25 \oplus \frac{1}{5}$，此处对应a=-25，b=$\frac{1}{5}$：
$-25 \oplus \frac{1}{5}=-25×\frac{1}{5}+4=-5+4=-1$
再计算括号外的$-5 \oplus (-1)$，此处对应a=-5，b=-1：
原式$=-5 \oplus (-1)=-5×(-1)+4=5+4=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法运算，有理数加减运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数四则运算的计算熟练度，计算时遵循运算顺序、注意负号的处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“⊕”的运算规则：两个数做⊕运算，结果等于这两个数的乘积再加4。计算时遵循常规四则运算的顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的运算，每一步只需把参与⊕运算的两个数对应替换规则里的a和b，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则，对应a=2，b=-3，代入公式得：
原式$=2×(-3)+4$
$=-6+4$
$=-2$
(2) 先计算括号内的$-25 \oplus \frac{1}{5}$，此处对应a=-25，b=$\frac{1}{5}$：
$-25 \oplus \frac{1}{5}=-25×\frac{1}{5}+4=-5+4=-1$
再计算括号外的$-5 \oplus (-1)$，此处对应a=-5，b=-1：
原式$=-5 \oplus (-1)=-5×(-1)+4=5+4=9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法运算，有理数加减运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解应用能力和有理数四则运算的计算熟练度，计算时遵循运算顺序、注意负号的处理即可避免出错。
【难度系数】
0.8
9. 已知有理数$ m $所表示的点与－1表示的点距离4个单位长度，$ a,b $互为相反数，且都不为零，$ c,d $互为倒数. 求$ 2a+2b+(a+b-3cd)-m $的值.
答案
9. 因为有理数$m$所表示的点与$-1$表示的点距离4个单位长度,所以$m=-5$或$m=3$,因为$a,b$互为相反数,且都不为零,$c,d$互为倒数,所以$a+b=0,cd=1$.当$m=-5$时,原式$=2(a+b)+(a+b)-3cd-m=-3-(-5)=2$;当$m=3$时,原式$=2(a+b)+(a+b)-3cd-m=-3-3=-6$.综上所述,原式的值为2或$-6$.
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，根据数轴上两点间距离的定义，到-1对应点距离为4个单位长度的点有两个，分别在-1的左侧和右侧，据此求出m的两个可能取值；第二步，回忆相反数、倒数的基本性质，得到a+b与cd的值；第三步，先将原式化简，再把a+b、cd的值整体代入化简后的式子，最后分两种情况代入m的值计算即可，注意不要漏算m的其中一种取值。
【解析】
1. 求m的取值：
∵ 有理数m所表示的点与-1表示的点距离4个单位长度
∴ |m - (-1)|=4，即m+1=4或m+1=-4
解得 m=3或m=-5
2. 根据相反数、倒数的性质求对应值：
∵ a,b互为相反数，且都不为零
∴ a+b=0
∵ c,d互为倒数
∴ cd=1
3. 化简并计算原式：
先化简原式：
$2a+2b+(a+b-3cd)-m=2(a+b)+(a+b)-3cd-m=3(a+b)-3cd-m$
将$a+b=0$，$cd=1$代入，得：
原式$=3×0 -3×1 -m=-3 -m$
分情况计算：
① 当$m=-5$时，原式$=-3 - (-5)=2$
② 当$m=3$时，原式$=-3 - 3=-6$
【答案】
2或$-6$
【知识点】
数轴上两点的距离；相反数的性质；倒数的性质
【点评】
本题是基础综合题，核心易错点是忽略数轴上到定点距离为定值的点有两个，容易漏解；解题时运用整体代入的方法代入a+b、cd的值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，根据数轴上两点间距离的定义，到-1对应点距离为4个单位长度的点有两个，分别在-1的左侧和右侧，据此求出m的两个可能取值；第二步，回忆相反数、倒数的基本性质，得到a+b与cd的值；第三步，先将原式化简，再把a+b、cd的值整体代入化简后的式子，最后分两种情况代入m的值计算即可，注意不要漏算m的其中一种取值。
【解析】
1. 求m的取值：
∵ 有理数m所表示的点与-1表示的点距离4个单位长度
∴ |m - (-1)|=4，即m+1=4或m+1=-4
解得 m=3或m=-5
2. 根据相反数、倒数的性质求对应值：
∵ a,b互为相反数，且都不为零
∴ a+b=0
∵ c,d互为倒数
∴ cd=1
3. 化简并计算原式：
先化简原式：
$2a+2b+(a+b-3cd)-m=2(a+b)+(a+b)-3cd-m=3(a+b)-3cd-m$
将$a+b=0$，$cd=1$代入，得：
原式$=3×0 -3×1 -m=-3 -m$
分情况计算：
① 当$m=-5$时，原式$=-3 - (-5)=2$
② 当$m=3$时，原式$=-3 - 3=-6$
【答案】
2或$-6$
【知识点】
数轴上两点的距离；相反数的性质；倒数的性质
【点评】
本题是基础综合题，核心易错点是忽略数轴上到定点距离为定值的点有两个，容易漏解；解题时运用整体代入的方法代入a+b、cd的值，可简化计算过程。
【难度系数】
0.7
