4.如下图,已知$AB // ED$,$α = ∠ A + ∠ E$,$β = ∠ B + ∠ C + ∠ D$.试探索$β$与$2α$的数量关系,并说明你的理由.

小明:今天学到了好多知识,看我大展身手,对下面几道题来个风卷残云,尽收囊中.

4. 解:猜想$β=2α$.
理由:过点C作$CF// AB$.
$\because AB// ED$,
$\therefore α=∠ A+∠ E=180°$.
又$\because AB// ED,\therefore CF// DE$,
则$(∠ B+∠ 1)+(∠ 2+∠ D)=180°+180°=360°$.
$\therefore β=∠ B+∠ C+∠ D=∠ B+∠ 1+∠ 2+∠ D=360°$.
故$β=2α$.

有10条公路(假设公路是笔直的,并且可以无限延伸),无任何三条公路交于同一个岔口.现有31名交警,刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤,请你画出公路示意图.
【思维导航】我们可以把公路想象成直线,岔口想象成交点.由警察的人数及题意可知,10条直线刚好有31个交点.根据所学知识,平面上的10条直线,若两两相交,最多出现45个交点,现在只要求出现31个交点,就要减去14个交点,这种情况下,通常采取两种办法:①多条直线共点;②出现平行线.
根据题意,方法①不能实现,所以想到使用平行线.在某一方向上有5条直线互相平行,则减少10个交点;若6条直线平行,则可减少15个交点,所以这个方向上最多可取5条平行线.这时还有4个点要去掉,换一个方向取3条平行线,即可再减少3个交点.这时还剩下2条直线与1个要减去的点,只需让其在第三个方向上互相平行即可,如右图所示.
【建议】本题考查我们对知识的综合应用能力,在做题时,要牢牢把握平行线的性质,与图形结合,从简单的图形推理找出问题的入手点.

解：
平面内10条直线两两相交且无任意三条共点时，最多交点总数为：
$\frac{10×9}{2}=45$
题目要求总交点数为31，因此需要减少的交点数量为：
$45-31=14$
根据题意不存在三条公路交于同一岔口，因此仅能通过设置平行线来减少交点：
1. 在第一个方向上绘制5条互相平行的直线：原本这5条直线两两相交可产生$\frac{5×4}{2}=10$个交点，平行后这10个交点全部消失，共减少10个交点，此时还需减少$14-10=4$个交点。
2. 在与第一组直线不平行的第二个方向上绘制3条互相平行的直线：原本这3条直线两两相交可产生$\frac{3×2}{2}=3$个交点，平行后这3个交点全部消失，共减少3个交点，此时还需减少$4-3=1$个交点。
3. 将剩余的2条直线绘制在与前两组方向均不相同的第三个方向上，且二者互相平行：原本这2条直线相交会产生1个交点，平行后该交点消失，刚好减少1个交点。
验证总交点数：不同组平行线之间两两相交的交点数为$5×3 + 5×2 + 3×2 = 31$，满足要求，且不存在任意三条直线共点。
公路示意图绘制方法：在三个互不相同的方向上，分别画出5条、3条、2条互相平行的直线，保证不同组的直线互不平行，任意三条直线不经过同一点，所得图形即为符合要求的公路示意图。