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8. [2026亳州模拟] 如图，BP为∠ABC的平分线，作AP⊥BP于点P，△PBC的面积为15 cm²，则△ABC的面积为（
A.25 cm²
B.30 cm²
C.32.5 cm²
D.35 cm²
B
）A.25 cm²
B.30 cm²
C.32.5 cm²
D.35 cm²
答案
8. B 【点拨】延长$AP$ 交$BC$ 于点$D$. $\because BP$ 为$∠ ABC$ 的平分线, $\therefore ∠ ABP = ∠ CBP$. $\because AP ⊥ BP, \therefore ∠ APB = ∠ BPD = 90°$. 又$\because BP=BP, \therefore △ ABP ≌ △ DBP(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AP=DP, S_{△ ABP}=S_{△ DBP}, \therefore S_{△ ACP}=S_{△ DCP}, \therefore S_{△ ABP}+S_{△ ACP}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}, \therefore S_{△ ABC}=2S_{△ BCP}$. $\because △ PBC$ 的面积为$15\ \mathrm{cm}^2, \therefore S_{△ ABC}=15 × 2=30(\mathrm{cm}^2)$. 故选 B.
$\therefore AP=DP, S_{△ ABP}=S_{△ DBP}, \therefore S_{△ ACP}=S_{△ DCP}, \therefore S_{△ ABP}+S_{△ ACP}=S_{△ DBP}+S_{△ DCP}, \therefore S_{△ ABC}=2S_{△ BCP}$. $\because △ PBC$ 的面积为$15\ \mathrm{cm}^2, \therefore S_{△ ABC}=15 × 2=30(\mathrm{cm}^2)$. 故选 B.
解析
【分析】
遇到角平分线+过角边上一点垂直于角平分线的线段时，通常采用延长垂线段的方法构造全等三角形。本题中BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，我们可以延长AP交BC于点D，先证明△ABP和△DBP全等，得到AP=DP，再利用等底同高的三角形面积相等，推导△ABC的面积和△PBC面积的关系，即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABP = ∠CBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA）
∴ AP = DP，$S_{△ABP}=S_{△DBP}$。
∵ △ACP和△DCP等底（AP=DP）同高（C到AD的距离为公共高），
∴ $S_{△ACP}=S_{△DCP}$。
∴ $S_{△ABP}+S_{△ACP}=S_{△DBP}+S_{△DCP}$，即$S_{△ABC}=2S_{△PBC}$。
已知$S_{△PBC}=15\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ABC}=2×15=30\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】B
【知识点】
1. 角平分线定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形全等的典型应用类题目，核心是掌握“角平分线+垂线”的常规辅助线构造方法，通过全等转化线段关系，再利用等底同高的三角形面积相等建立两个三角形的面积联系即可求解。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线+过角边上一点垂直于角平分线的线段时，通常采用延长垂线段的方法构造全等三角形。本题中BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，我们可以延长AP交BC于点D，先证明△ABP和△DBP全等，得到AP=DP，再利用等底同高的三角形面积相等，推导△ABC的面积和△PBC面积的关系，即可求解。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP为∠ABC的平分线，
∴ ∠ABP = ∠CBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB = ∠DPB = 90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP ≌ △DBP（ASA）
∴ AP = DP，$S_{△ABP}=S_{△DBP}$。
∵ △ACP和△DCP等底（AP=DP）同高（C到AD的距离为公共高），
∴ $S_{△ACP}=S_{△DCP}$。
∴ $S_{△ABP}+S_{△ACP}=S_{△DBP}+S_{△DCP}$，即$S_{△ABC}=2S_{△PBC}$。
已知$S_{△PBC}=15\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ABC}=2×15=30\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】B
【知识点】
1. 角平分线定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是三角形全等的典型应用类题目，核心是掌握“角平分线+垂线”的常规辅助线构造方法，通过全等转化线段关系，再利用等底同高的三角形面积相等建立两个三角形的面积联系即可求解。
【难度系数】
0.7
9. ★★ 跨学科题 如图，一束光线从点$A(4,4)$出发，经$y$轴上的点$C$反射后经过点$B(1,0)$，则点$C$的坐标是（
A.$(0,\frac{1}{2})$
B.$(0,\frac{4}{5})$
C.$(0,1)$
D.$(0,2)$
B
）A.$(0,\frac{1}{2})$
B.$(0,\frac{4}{5})$
C.$(0,1)$
D.$(0,2)$
答案
9. B 【点拨】如图所示, 延长$AC$ 交$x$ 轴于点$D$.
$\because$ 这束光线从点$A(4,4)$出发, 经$y$ 轴上的点$C$ 反射后经过点$B(1,0), \therefore$ 由光的反射规律, 易得$∠ 1 = ∠ OCB$. $\because ∠ 1 = ∠ OCD, \therefore ∠ OCB = ∠ OCD$.$\because CO ⊥ DB, \therefore ∠ COD = ∠ COB = 90°$.
在$△ COD$ 和$△ COB$ 中,$\begin{cases} ∠ OCD=∠ OCB, \\ OC=OC, \\ ∠ COD=∠ COB, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{ASA}), \therefore OD=OB=1$,
$\therefore D(-1,0)$. 设直线$AD$ 的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$. 将点$A(4,4)$, 点$D(-1,0)$ 的坐标代入, 得$\begin{cases} 4=4k+b, \\ 0=-k+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\frac{4}{5}, \\ b=\frac{4}{5}, \end{cases}$ $\therefore$ 直线$AD$ 的表达式为$y=\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}$. 令$x=0$, 则$y=\frac{4}{5}, \therefore$ 点$C$ 的坐标为$(0,\frac{4}{5})$.
解析
【分析】
遇到光线反射类问题，可结合光的反射定律（入射角等于反射角）构造全等三角形，将折线路径转化为直线路径求解。本题可先延长AC交x轴于点D，通过证明△COD和△COB全等得到点D的坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，直线AD与y轴的交点即为所求点C。
【解析】
如图，延长$AC$ 交$x$ 轴于点$D$.
$\because$ 光线从点$A(4,4)$出发，经$y$ 轴上的点$C$ 反射后经过点$B(1,0)$，根据光的反射规律可得$∠ 1 = ∠ OCB$.
又$\because ∠ 1 = ∠ OCD$（对顶角相等），$\therefore ∠ OCB = ∠ OCD$.
$\because CO ⊥ DB$，$\therefore ∠ COD = ∠ COB = 90°$.
在$△ COD$ 和$△ COB$ 中：
$\begin{cases} ∠ OCD=∠ OCB, \\ OC=OC, \\ ∠ COD=∠ COB, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{ASA})$，$\therefore OD=OB=1$，即点$D$的坐标为$(-1,0)$.
设直线$AD$ 的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$，将$A(4,4)$、$D(-1,0)$代入得：
$\begin{cases} 4=4k+b, \\ 0=-k+b, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{4}{5}, \\ b=\frac{4}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AD$ 的表达式为$y=\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}$.
令$x=0$，得$y=\frac{4}{5}$，即点$C$的坐标为$(0,\frac{4}{5})$.
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，光的反射定律
【点评】
本题是跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学的几何证明、函数知识，解题核心是利用反射性质构造全等三角形，将折线问题转化为直线解析式求解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到光线反射类问题，可结合光的反射定律（入射角等于反射角）构造全等三角形，将折线路径转化为直线路径求解。本题可先延长AC交x轴于点D，通过证明△COD和△COB全等得到点D的坐标，再用待定系数法求出直线AD的解析式，直线AD与y轴的交点即为所求点C。
【解析】
如图，延长$AC$ 交$x$ 轴于点$D$.
$\because$ 光线从点$A(4,4)$出发，经$y$ 轴上的点$C$ 反射后经过点$B(1,0)$，根据光的反射规律可得$∠ 1 = ∠ OCB$.
又$\because ∠ 1 = ∠ OCD$（对顶角相等），$\therefore ∠ OCB = ∠ OCD$.
$\because CO ⊥ DB$，$\therefore ∠ COD = ∠ COB = 90°$.
在$△ COD$ 和$△ COB$ 中：
$\begin{cases} ∠ OCD=∠ OCB, \\ OC=OC, \\ ∠ COD=∠ COB, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{ASA})$，$\therefore OD=OB=1$，即点$D$的坐标为$(-1,0)$.
设直线$AD$ 的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$，将$A(4,4)$、$D(-1,0)$代入得：
$\begin{cases} 4=4k+b, \\ 0=-k+b, \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{4}{5}, \\ b=\frac{4}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AD$ 的表达式为$y=\frac{4}{5}x+\frac{4}{5}$.
令$x=0$，得$y=\frac{4}{5}$，即点$C$的坐标为$(0,\frac{4}{5})$.
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，光的反射定律
【点评】
本题是跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学的几何证明、函数知识，解题核心是利用反射性质构造全等三角形，将折线问题转化为直线解析式求解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10. ★★ 新考法特殊位置法 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作$CG// AB$,交HM的延长线于点G,若$AC=8$,$AB=6$,则四边形ACGH周长的最小值是
22
.答案
10. 22 【点拨】由题意, 易得$△ CGM ≌ △ BHM$. $\therefore CG=BH$. 又$\because$ 四边形$ACGH$ 的周长为$AC+CG+GH+HA=AC+BH+GH+HA=AC+AB+GH$, 且$AC=8, AB=6, \therefore$ 当$GH$ 的长最小时, 四边形$ACGH$ 的周长最小. 易知当$GH ⊥ AB$ 时, $GH$ 的长最小, 此时$GH=AC=8$, 即$GH$ 的长的最小值为$8, \therefore$ 四边形$ACGH$ 周长的最小值为$8+6+8=22$.
解析
【分析】
要求四边形ACGH的周长最小值，首先结合已知条件分析：已知CG//AB，M是BC中点，可先通过全等三角形将CG转化为AB上的BH，简化周长表达式；其次观察简化后的周长，发现AC、AB为固定值，周长大小仅由GH的长度决定；最后根据平行线间垂线段最短的性质，找到GH的最小值，代入计算即可得到周长最小值。
【解析】
∵$CG// AB$，
∴$∠ GCM=∠ B$，
∵M为BC的中点，
∴$CM=BM$，
在$△ CGM$和$△ BHM$中：
$\begin{cases}∠ GCM=∠ B \\CM=BM \\∠ CMG=∠ BMH\end{cases}$
∴$△ CGM≌△ BHM(\mathrm{ASA})$，
∴$CG=BH$，
则四边形$ACGH$的周长为：
$AC+CG+GH+HA=AC+BH+HA+GH=AC+(BH+HA)+GH=AC+AB+GH$，
已知$AC=8$，$AB=6$，故$AC+AB=14$为固定值，因此要使周长最小，只需$GH$的长度最小。
∵$CG// AB$，根据平行线间垂线段最短，当$GH⊥ AB$时，$GH$长度最小，
又
∵$∠ A=90°$即$AC⊥ AB$，此时$GH=AC=8$，即$GH$的最小值为8，
∴四边形$ACGH$周长的最小值为$14+8=22$。
【答案】
22
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；最短路径问题
【点评】
本题将全等三角形的线段转化与几何最值问题结合，解题核心是通过全等把周长中的未知线段转化为固定值，仅保留单一变量线段，再利用平行线垂线段最短的性质求解，是几何最值类的典型基础题，需要熟练掌握线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
要求四边形ACGH的周长最小值，首先结合已知条件分析：已知CG//AB，M是BC中点，可先通过全等三角形将CG转化为AB上的BH，简化周长表达式；其次观察简化后的周长，发现AC、AB为固定值，周长大小仅由GH的长度决定；最后根据平行线间垂线段最短的性质，找到GH的最小值，代入计算即可得到周长最小值。
【解析】
∵$CG// AB$，
∴$∠ GCM=∠ B$，
∵M为BC的中点，
∴$CM=BM$，
在$△ CGM$和$△ BHM$中：
$\begin{cases}∠ GCM=∠ B \\CM=BM \\∠ CMG=∠ BMH\end{cases}$
∴$△ CGM≌△ BHM(\mathrm{ASA})$，
∴$CG=BH$，
则四边形$ACGH$的周长为：
$AC+CG+GH+HA=AC+BH+HA+GH=AC+(BH+HA)+GH=AC+AB+GH$，
已知$AC=8$，$AB=6$，故$AC+AB=14$为固定值，因此要使周长最小，只需$GH$的长度最小。
∵$CG// AB$，根据平行线间垂线段最短，当$GH⊥ AB$时，$GH$长度最小，
又
∵$∠ A=90°$即$AC⊥ AB$，此时$GH=AC=8$，即$GH$的最小值为8，
∴四边形$ACGH$周长的最小值为$14+8=22$。
【答案】
22
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；最短路径问题
【点评】
本题将全等三角形的线段转化与几何最值问题结合，解题核心是通过全等把周长中的未知线段转化为固定值，仅保留单一变量线段，再利用平行线垂线段最短的性质求解，是几何最值类的典型基础题，需要熟练掌握线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
11. :: 一题多解 如图，$AD// BC$，$BE$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$，连接$AE$，恰有$AE⊥ BE$，求证：$AD+BC=AB$.
答案
11. 【证明】解法1: 如图①, 延长$AE, BC$ 交于点$H$.
$\because AE ⊥ BE, \therefore ∠ AEB = ∠ HEB = 90°$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABE = ∠ CBE$.
在$△ ABE$ 和$△ HBE$ 中,$\begin{cases} ∠ AEB=∠ HEB, \\ BE=BE, \\ ∠ ABE=∠ HBE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ HBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB=BH, AE=EH$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ DAE = ∠ CHE$.
在$△ ADE$ 和$△ HCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ CHE, \\ AE=HE, \\ ∠ AED=∠ HEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ HCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CH, \therefore AB=BH=BC+CH=BC+AD$.
解法2: 如图②, 在$AB$ 上取一点$F$, 连接$EF$, 使$∠ FEB = ∠ CEB$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ FBE = ∠ CBE$.在$△ FBE$ 与$△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ FEB=∠ CEB, \end{cases}$
$\therefore △ FBE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BF=BC$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBA + ∠ BAD = 180°$,
即$∠ CBE + ∠ EBA + ∠ BAE + ∠ EAD = 180°$.
$\because AE ⊥ EB, \therefore ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ EBA + ∠ BAE = 90°$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DAE = 90°$.
$\because ∠ CBE = ∠ EBA, \therefore ∠ FAE = ∠ DAE$.
同理得$∠ FEA = ∠ DEA$.
在$△ AEF$ 与$△ AED$ 中,$\begin{cases} ∠ FAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \\ ∠ FEA=∠ DEA, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AED(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AD$.
$\therefore AB=BF+AF=BC+AD$.
解析
【分析】
要证明AD+BC=AB这类线段和的等式，通常采用“截长补短”的思路：
1. 补短思路：将较短的两条线段拼接成一条长线段，证明拼接后的线段等于最长的线段。本题可延长AE交BC的延长线于H，先利用BE垂直AE、BE平分∠ABC的条件证明△ABE和△HBE全等，得到AB=BH且AE=HE；再结合AD//BC的条件证明△ADE和△HCE全等，将AD转化为CH，即可通过BH=BC+CH得到结论。
2. 截长思路：在最长的线段AB上截取一段等于BC，证明剩余的一段等于AD。本题可在AB上取点F使∠FEB=∠CEB，先证明△FBE和△CBE全等得BF=BC，再通过角度推导证明△AEF和△AED全等得AF=AD，即可通过AB=BF+AF得到结论。
【解析】
解法1：如图①，延长$AE, BC$ 交于点$H$.
$\because AE ⊥ BE, \therefore ∠ AEB = ∠ HEB = 90°$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABE = ∠ CBE$.
在$△ ABE$ 和$△ HBE$ 中,$\begin{cases} ∠ AEB=∠ HEB, \\ BE=BE, \\ ∠ ABE=∠ HBE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ HBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB=BH, AE=EH$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ DAE = ∠ CHE$.
在$△ ADE$ 和$△ HCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ CHE, \\ AE=HE, \\ ∠ AED=∠ HEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ HCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CH, \therefore AB=BH=BC+CH=BC+AD$.
解法2: 如图②, 在$AB$ 上取一点$F$, 连接$EF$, 使$∠ FEB = ∠ CEB$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ FBE = ∠ CBE$.
在$△ FBE$ 与$△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ FEB=∠ CEB, \end{cases}$
$\therefore △ FBE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BF=BC$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBA + ∠ BAD = 180°$,
即$∠ CBE + ∠ EBA + ∠ BAE + ∠ EAD = 180°$.
$\because AE ⊥ EB, \therefore ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ EBA + ∠ BAE = 90°$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DAE = 90°$.
$\because ∠ CBE = ∠ EBA, \therefore ∠ FAE = ∠ DAE$.
同理得$∠ FEA = ∠ DEA$.
在$△ AEF$ 与$△ AED$ 中,$\begin{cases} ∠ FAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \\ ∠ FEA=∠ DEA, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AED(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AD$.
$\therefore AB=BF+AF=BC+AD$.
【答案】
【证明】解法1: 如图①, 延长$AE, BC$ 交于点$H$.
$\because AE ⊥ BE, \therefore ∠ AEB = ∠ HEB = 90°$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABE = ∠ CBE$.
在$△ ABE$ 和$△ HBE$ 中,$\begin{cases} ∠ AEB=∠ HEB, \\ BE=BE, \\ ∠ ABE=∠ HBE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ HBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB=BH, AE=EH$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ DAE = ∠ CHE$.
在$△ ADE$ 和$△ HCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ CHE, \\ AE=HE, \\ ∠ AED=∠ HEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ HCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CH, \therefore AB=BH=BC+CH=BC+AD$.
解法2: 如图②, 在$AB$ 上取一点$F$, 连接$EF$, 使$∠ FEB = ∠ CEB$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ FBE = ∠ CBE$.
在$△ FBE$ 与$△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ FEB=∠ CEB, \end{cases}$
$\therefore △ FBE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BF=BC$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBA + ∠ BAD = 180°$,
即$∠ CBE + ∠ EBA + ∠ BAE + ∠ EAD = 180°$.
$\because AE ⊥ EB, \therefore ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ EBA + ∠ BAE = 90°$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DAE = 90°$.
$\because ∠ CBE = ∠ EBA, \therefore ∠ FAE = ∠ DAE$.
同理得$∠ FEA = ∠ DEA$.
在$△ AEF$ 与$△ AED$ 中,$\begin{cases} ∠ FAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \\ ∠ FEA=∠ DEA, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AED(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AD$.
$\therefore AB=BF+AF=BC+AD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法为截长补短法，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，解题过程中需结合已知的平行、角平分线、垂直条件推导角度相等关系，进而找到全等三角形的判定依据，一题多解的形式有助于拓展解题思路。
【难度系数】
0.6
要证明AD+BC=AB这类线段和的等式，通常采用“截长补短”的思路：
1. 补短思路：将较短的两条线段拼接成一条长线段，证明拼接后的线段等于最长的线段。本题可延长AE交BC的延长线于H，先利用BE垂直AE、BE平分∠ABC的条件证明△ABE和△HBE全等，得到AB=BH且AE=HE；再结合AD//BC的条件证明△ADE和△HCE全等，将AD转化为CH，即可通过BH=BC+CH得到结论。
2. 截长思路：在最长的线段AB上截取一段等于BC，证明剩余的一段等于AD。本题可在AB上取点F使∠FEB=∠CEB，先证明△FBE和△CBE全等得BF=BC，再通过角度推导证明△AEF和△AED全等得AF=AD，即可通过AB=BF+AF得到结论。
【解析】
解法1：如图①，延长$AE, BC$ 交于点$H$.
$\because AE ⊥ BE, \therefore ∠ AEB = ∠ HEB = 90°$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABE = ∠ CBE$.
在$△ ABE$ 和$△ HBE$ 中,$\begin{cases} ∠ AEB=∠ HEB, \\ BE=BE, \\ ∠ ABE=∠ HBE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ HBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB=BH, AE=EH$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ DAE = ∠ CHE$.
在$△ ADE$ 和$△ HCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ CHE, \\ AE=HE, \\ ∠ AED=∠ HEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ HCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CH, \therefore AB=BH=BC+CH=BC+AD$.
解法2: 如图②, 在$AB$ 上取一点$F$, 连接$EF$, 使$∠ FEB = ∠ CEB$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ FBE = ∠ CBE$.
在$△ FBE$ 与$△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ FEB=∠ CEB, \end{cases}$
$\therefore △ FBE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BF=BC$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBA + ∠ BAD = 180°$,
即$∠ CBE + ∠ EBA + ∠ BAE + ∠ EAD = 180°$.
$\because AE ⊥ EB, \therefore ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ EBA + ∠ BAE = 90°$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DAE = 90°$.
$\because ∠ CBE = ∠ EBA, \therefore ∠ FAE = ∠ DAE$.
同理得$∠ FEA = ∠ DEA$.
在$△ AEF$ 与$△ AED$ 中,$\begin{cases} ∠ FAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \\ ∠ FEA=∠ DEA, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AED(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AD$.
$\therefore AB=BF+AF=BC+AD$.
【答案】
【证明】解法1: 如图①, 延长$AE, BC$ 交于点$H$.
$\because AE ⊥ BE, \therefore ∠ AEB = ∠ HEB = 90°$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABE = ∠ CBE$.
在$△ ABE$ 和$△ HBE$ 中,$\begin{cases} ∠ AEB=∠ HEB, \\ BE=BE, \\ ∠ ABE=∠ HBE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ HBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AB=BH, AE=EH$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ DAE = ∠ CHE$.
在$△ ADE$ 和$△ HCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ DAE=∠ CHE, \\ AE=HE, \\ ∠ AED=∠ HEC, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ HCE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AD=CH, \therefore AB=BH=BC+CH=BC+AD$.
解法2: 如图②, 在$AB$ 上取一点$F$, 连接$EF$, 使$∠ FEB = ∠ CEB$.
$\because BE$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ FBE = ∠ CBE$.
在$△ FBE$ 与$△ CBE$ 中,
$\begin{cases} ∠ FBE=∠ CBE, \\ BE=BE, \\ ∠ FEB=∠ CEB, \end{cases}$
$\therefore △ FBE ≌ △ CBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BF=BC$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBA + ∠ BAD = 180°$,
即$∠ CBE + ∠ EBA + ∠ BAE + ∠ EAD = 180°$.
$\because AE ⊥ EB, \therefore ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ EBA + ∠ BAE = 90°$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DAE = 90°$.
$\because ∠ CBE = ∠ EBA, \therefore ∠ FAE = ∠ DAE$.
同理得$∠ FEA = ∠ DEA$.
在$△ AEF$ 与$△ AED$ 中,$\begin{cases} ∠ FAE=∠ DAE, \\ AE=AE, \\ ∠ FEA=∠ DEA, \end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ AED(\mathrm{ASA}), \therefore AF=AD$.
$\therefore AB=BF+AF=BC+AD$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心解题方法为截长补短法，通过构造全等三角形实现线段的等量转化，解题过程中需结合已知的平行、角平分线、垂直条件推导角度相等关系，进而找到全等三角形的判定依据，一题多解的形式有助于拓展解题思路。
【难度系数】
0.6
12. 新题型变式探究题 (1)如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=45°$,$CD⊥ AB$,$AE⊥ BC$,垂足分别为$D$,$E$,$CD$与$AE$相交于点$F$.
①写出图①中所有的全等三角形:
②线段$AF$与线段$CE$之间的数量关系是
(2)如图②,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,$AD$平分$∠ BAC$,$CD⊥ AD$,垂足为$D$,$AD$与$BC$相交于点$E$.求证:$AE=2CD$;
(3)如图③,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,点$D$在$AC$上,$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAC$,$DE⊥ CE$,垂足为$E$,$DE$与$BC$相交于点$F$.试探究$DF$与$CE$之间的数量关系(要求:请你写出辅助线的作法,并在图③中画出辅助线,不需要证明).
①写出图①中所有的全等三角形:
$△ ABE ≌ △ ACE, △ ADF ≌ △ CDB$
;②线段$AF$与线段$CE$之间的数量关系是
$AF=2CE$
;(2)如图②,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,$AD$平分$∠ BAC$,$CD⊥ AD$,垂足为$D$,$AD$与$BC$相交于点$E$.求证:$AE=2CD$;
(3)如图③,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ BAC=∠ BCA=45°$,点$D$在$AC$上,$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BAC$,$DE⊥ CE$,垂足为$E$,$DE$与$BC$相交于点$F$.试探究$DF$与$CE$之间的数量关系(要求:请你写出辅助线的作法,并在图③中画出辅助线,不需要证明).
答案
12. (1)①$△ ABE ≌ △ ACE, △ ADF ≌ △ CDB$
②$AF=2CE$
(2)【证明】延长$AB, CD$ 相交于点$G$. $\because AD$ 平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAD = ∠ GAD$. $\because CD ⊥ AD, \therefore ∠ ADC = ∠ ADG = 90°$. 在$△ ADC$ 和$△ ADG$ 中,$\begin{cases} ∠ ADC=∠ ADG, \\ AD=AD, \\ ∠ CAD=∠ GAD, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ ADG(\mathrm{ASA}). \therefore CD=GD$, 即$CG=2CD$.
$\because ∠ BAC = ∠ BCA = 45°, ∠ ABC + ∠ BAC + ∠ BCA = 180°$, $\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ BCA = 90°$.
$\therefore ∠ CBG = 180° - ∠ ABC = 90°$. $\therefore ∠ G + ∠ BCG = 90°$.
又$\because ∠ G + ∠ BAE = 90°, \therefore ∠ BAE = ∠ BCG$. 在$△ ABE$ 和$△ CBG$ 中,$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CBG=90°, \\ AB=CB, \\ ∠ BAE=∠ BCG, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBG(\mathrm{ASA}), \therefore AE=CG$,
$\therefore AE=2CD$.
(3)【解】如图, 过点$D$ 作$DH ⊥ BC$, 交$CE$ 的延长线于点$H$.
$DF$ 与$CE$ 之间的数量关系为$DF=2CE$.解析
【分析】
(1)①先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AE是△ABC的高、中线和顶角平分线，可直接判定△ABE≌△ACE；再结合CD⊥AB、∠BAC=45°，可得△ADC为等腰直角三角形，即AD=CD，再通过同角的余角相等推导∠DAF=∠DCB，结合直角相等即可判定△ADF≌△CDB。②由△ADF≌△CDB得AF=BC，再结合等腰三角形三线合一得BC=2CE，即可推出AF与CE的数量关系。
(2)要证线段的2倍关系，采用构造全等的思路：延长AB、CD交于点G，先利用角平分线性质和垂直条件证△ADC≌△ADG，得到CG=2CD，再证△ABE≌△CBG得到AE=CG，即可推出结论。
(3)类比第(2)问的构造思路，过D作DH⊥BC交CE延长线于H，构造全等三角形即可得到DF与CE的倍分关系。
【解析】
(1)①
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，又AE为公共边，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∵CD⊥AB，∠BAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，AD=CD；
∵∠DAF+∠AFD=90°，∠DCB+∠CFE=90°，且∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠DAF=∠DCB，又∠ADF=∠CDB=90°，
∴△ADF≌△CDB（ASA）。
②由△ADF≌△CDB得AF=BC，
∵△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，
∴BC=2CE，因此AF=2CE。
(2)证明：延长AB, CD 相交于点G.
∵AD 平分∠ BAC,
∴∠ CAD = ∠ GAD.
∵CD ⊥ AD,
∴∠ ADC = ∠ ADG = 90°.
在△ ADC 和△ ADG 中,
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ ADG, \\ AD=AD, \\ ∠ CAD=∠ GAD, \end{cases}$
∴△ ADC ≌ △ ADG(ASA).
∴CD=GD, 即CG=2CD.
∵∠ BAC = ∠ BCA = 45°, ∠ ABC + ∠ BAC + ∠ BCA = 180°,
∴∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ BCA = 90°.
∴∠ CBG = 180° - ∠ ABC = 90°.
∴∠ G + ∠ BCG = 90°.
又
∵∠ G + ∠ BAE = 90°,
∴∠ BAE = ∠ BCG.
在△ ABE 和△ CBG 中,
$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CBG=90°, \\ AB=CB, \\ ∠ BAE=∠ BCG, \end{cases}$
∴△ ABE ≌ △ CBG(ASA),
∴AE=CG,
∴AE=2CD.
(3)辅助线作法：过点D 作DH ⊥ BC, 交CE 的延长线于点H，通过构造全等三角形可推导得到DF与CE的数量关系。
【答案】
(1)①$△ ABE ≌ △ ACE, △ ADF ≌ △ CDB$
②$AF=2CE$
(2)$AE=2CD$，证明过程如上。
(3)过点$D$作$DH ⊥ BC$，交$CE$的延长线于点$H$，辅助线如图；数量关系为$\boldsymbol{DF=2CE}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，角平分线性质
【点评】
本题属于梯度明显的几何探究题，从基础全等识别到构造全等证明线段倍分关系，既考查了三角形相关基础性质，又锻炼了辅助线构造能力和逻辑推理能力，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1)①先利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AE是△ABC的高、中线和顶角平分线，可直接判定△ABE≌△ACE；再结合CD⊥AB、∠BAC=45°，可得△ADC为等腰直角三角形，即AD=CD，再通过同角的余角相等推导∠DAF=∠DCB，结合直角相等即可判定△ADF≌△CDB。②由△ADF≌△CDB得AF=BC，再结合等腰三角形三线合一得BC=2CE，即可推出AF与CE的数量关系。
(2)要证线段的2倍关系，采用构造全等的思路：延长AB、CD交于点G，先利用角平分线性质和垂直条件证△ADC≌△ADG，得到CG=2CD，再证△ABE≌△CBG得到AE=CG，即可推出结论。
(3)类比第(2)问的构造思路，过D作DH⊥BC交CE延长线于H，构造全等三角形即可得到DF与CE的倍分关系。
【解析】
(1)①
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=90°，又AE为公共边，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∵CD⊥AB，∠BAC=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，AD=CD；
∵∠DAF+∠AFD=90°，∠DCB+∠CFE=90°，且∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠DAF=∠DCB，又∠ADF=∠CDB=90°，
∴△ADF≌△CDB（ASA）。
②由△ADF≌△CDB得AF=BC，
∵△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，
∴BC=2CE，因此AF=2CE。
(2)证明：延长AB, CD 相交于点G.
∵AD 平分∠ BAC,
∴∠ CAD = ∠ GAD.
∵CD ⊥ AD,
∴∠ ADC = ∠ ADG = 90°.
在△ ADC 和△ ADG 中,
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ ADG, \\ AD=AD, \\ ∠ CAD=∠ GAD, \end{cases}$
∴△ ADC ≌ △ ADG(ASA).
∴CD=GD, 即CG=2CD.
∵∠ BAC = ∠ BCA = 45°, ∠ ABC + ∠ BAC + ∠ BCA = 180°,
∴∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ BCA = 90°.
∴∠ CBG = 180° - ∠ ABC = 90°.
∴∠ G + ∠ BCG = 90°.
又
∵∠ G + ∠ BAE = 90°,
∴∠ BAE = ∠ BCG.
在△ ABE 和△ CBG 中,
$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CBG=90°, \\ AB=CB, \\ ∠ BAE=∠ BCG, \end{cases}$
∴△ ABE ≌ △ CBG(ASA),
∴AE=CG,
∴AE=2CD.
(3)辅助线作法：过点D 作DH ⊥ BC, 交CE 的延长线于点H，通过构造全等三角形可推导得到DF与CE的数量关系。
【答案】
(1)①$△ ABE ≌ △ ACE, △ ADF ≌ △ CDB$
②$AF=2CE$
(2)$AE=2CD$，证明过程如上。
(3)过点$D$作$DH ⊥ BC$，交$CE$的延长线于点$H$，辅助线如图
；数量关系为$\boldsymbol{DF=2CE}$【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，角平分线性质
【点评】
本题属于梯度明显的几何探究题，从基础全等识别到构造全等证明线段倍分关系，既考查了三角形相关基础性质，又锻炼了辅助线构造能力和逻辑推理能力，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
