1. [2026六安九中期末]如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过$□ ABCD$对角线的交点$P$,已知点$A,C,D$在坐标轴上,$BD ⊥ DC$,$□ ABCD$的面积为6,则$k=$.

过点P作PE⊥y轴于点E.
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ AB//CD 且 AB = CD,
∴ BA⊥y轴. 又
∵ BD⊥x轴,∠AOD = 90°,
∴ 四边形ABDO 为矩形,
∴ AB = DO,
∴ $S_{矩形ABDO}=S_{□ABCD}=6$. 设点 P 的坐标为(x,y),
∵ P 为□ABCD 对角线的交点,且 PE⊥y 轴,
∴ 四边形 PDOE 为矩形,BP = DP,
∴ $S_{矩形PDOE}=\frac{1}{2}S_{矩形ABDO}=3$,即$|xy|=3$,
∴ $|k|=3$.
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限,
∴ k＜0,
∴ k = -3.

2. ▶一题多解 [2026合肥庐阳区期末]如图是反比例函数$y_1=\dfrac{2}{x}$和$y_2=-\dfrac{4}{x}$在$x$轴上方的图象，$x$轴的平行线$AB$分别与这两个函数图象交于$A,B$两点，点$P(-5.5,0)$在$x$轴上，则$△ PAB$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$。

通解 连接OA,OB,设AB与y轴交于点E,由k的几何意义,得$S_{△OBE}=\frac{1}{2}×4=2$,$S_{△OAE}=\frac{1}{2}×2=1$,
∴ $S_{△AOB}=S_{△OBE}+S_{△OAE}=2+1=3$.
∵ △ABO 与 △ABP 同底等高,
∴ $S_{△PAB}=S_{△AOB}=3$.
另解 设点 A 的坐标为$(x_A,\frac{2}{x_A})$,则点 B 的纵坐标也为$\frac{2}{x_A}$,
∴ 点 B 的坐标为$(-2x_A,\frac{2}{x_A})$,
∴ 在 △PAB 中,$AB = x_A - (-2x_A)=3x_A$,边 AB 上的高为$\frac{2}{x_A}$,
∴ $S_{△PAB}=\frac{1}{2}·\frac{2}{x_A}·3x_A=3$.

3. [2024 陕西中考副卷] 如图,点 $A(3,m)$ 和点 $B(-5,n)$ 在同一个反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上,AC 和 BC 分别垂直于 x 轴和 y 轴.若 $△ ABC$ 的面积为 32,则 k 的值为.

∵ 点 A(3,m),点 B(-5,n),AC 和 BC 分别垂直于 x 轴和 y 轴,
∴ 点 C 的坐标为(3,n),且∠C=90°,
∴ AC = m - n,BC = 3 - (-5) = 8.
∵ △ABC 的面积为 32,
∴ $\frac{1}{2}BC·AC=32$,
∴ $\frac{1}{2}×8(m-n)=32$,整理得$m-n=8$.
∵ 点 A(3,m),点 B(-5,n)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,
∴ $k=3m=-5n$. 解方程组$\begin{cases}m-n=8,\\3m=-5n,\end{cases}$得$\begin{cases}m=5,\\n=-3.\end{cases}$
∴ k=3m=15.

4. [2026池州期末]如图，矩形OABC与反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}(k_1≠0,x＞0)$的图象交于点M,N，与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0,x＞0)$的图象交于点B，连接OM,ON.若四边形OMBN的面积为3，则$k_1 - k_2 =$。

由函数图象可知,$k_1＞0,k_2＞0$.
∵ 点 M,N 均在反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象上,
∴ $S_{△OAM}=S_{△OCN}=\frac{1}{2}k_1$.
∵ 矩形OABC 的顶点 B 在反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$的图象上,
∴ $S_{矩形OABC}=k_2$,
∴ $S_{四边形OMBN}=S_{矩形OABC}-S_{△OAM}-S_{△OCN}=3$,
∴ $k_2 - k_1=3$,
∴ $k_1 - k_2=-3$.