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数学
六年级
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鲁教版
1.「2026山东烟台龙口期中」一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的$\frac{1}{4}$，第二次剪去剩下铜丝的$\frac{1}{4}$，……，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（
A.$( \frac{1}{4} )^{2024}$ m
B.$( \frac{1}{4} )^{2023}$ m
C.$( \frac{3}{4} )^{2024}$ m
D.$( \frac{3}{4} )^{2023}$ m
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1.「2026山东烟台龙口期中」一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的$\frac{1}{4}$，第二次剪去剩下铜丝的$\frac{1}{4}$，……，如此剪下去，第2024次剪完后剩下铜丝的长度是（
C
）A.$( \frac{1}{4} )^{2024}$ m
B.$( \frac{1}{4} )^{2023}$ m
C.$( \frac{3}{4} )^{2024}$ m
D.$( \frac{3}{4} )^{2023}$ m
答案
1.C 第一次剪去铜丝的$\frac{1}{4}$,剩下铜丝的长度是$\frac{3}{4}$ m,
第二次剪去剩下铜丝的$\frac{1}{4}$,剩下铜丝的长度是$\frac{3}{4}-\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{3}{4})^2$ m,……,
第2 024次剪完后剩下铜丝的长度是$(\frac{3}{4})^{2024}$ m.
故选 C.
第二次剪去剩下铜丝的$\frac{1}{4}$,剩下铜丝的长度是$\frac{3}{4}-\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=(\frac{3}{4})^2$ m,……,
第2 024次剪完后剩下铜丝的长度是$(\frac{3}{4})^{2024}$ m.
故选 C.
2. 情境 数学文化 发展史「2026山东淄博高青期中」《孙子算经》中记载:“今有出门望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢……”大意为:今天出门看见9座堤坝,每座堤坝上有9棵树,每棵树上有9根树枝,每根树枝上有9个鸟巢……,则文中的鸟巢共有 (
A.$9^3$个
B.$10^3$个
C.$9^4$个
D.$10^4$个
C
)A.$9^3$个
B.$10^3$个
C.$9^4$个
D.$10^4$个
答案
2.C $9×9×9×9=9^4$(个),所以文中的鸟巢共有$9^4$个.故选 C.
3.「2026山东威海期中改编」有一张厚度是0.1 mm的纸，将它对折1次后，厚度是$2×0.1$ mm，那么对折6次后的厚度是
6.4 mm
.答案
3.答案 6.4 mm
解析
∵ 一张厚度是 0.1 mm 的纸,将它对折 1 次后,厚度是 2×0.1 mm,
∴ 对折 6 次后的厚度是 $2^6×0.1=6.4$ mm.
解析
∵ 一张厚度是 0.1 mm 的纸,将它对折 1 次后,厚度是 2×0.1 mm,
∴ 对折 6 次后的厚度是 $2^6×0.1=6.4$ mm.
4.「2026山东聊城阳谷期中，★☆」某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（
A.253
B.255
C.257
D.259
C
）A.253
B.255
C.257
D.259
答案
4.C 根据题意,1小时后分裂成4个并死去1个,剩3个,$3=2+1$;
2小时后分裂成6个并死去1个,剩5个,$5=2^2+1$;
3小时后分裂成10个并死去一个,剩9个,$9=2^3+1$;
……
所以n小时后细胞存活的个数是$2^n+1$,
当n=8时,细胞存活的个数是$2^8+1=257$.
故选 C.
2小时后分裂成6个并死去1个,剩5个,$5=2^2+1$;
3小时后分裂成10个并死去一个,剩9个,$9=2^3+1$;
……
所以n小时后细胞存活的个数是$2^n+1$,
当n=8时,细胞存活的个数是$2^8+1=257$.
故选 C.
5.「2026山东烟台栖霞期中，★☆」《庄子》中讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完.一天之后“一尺之棰”剩$\frac{1}{2}$尺，两天之后剩$\frac{1}{4}$尺，那么五天之后这个“一尺之棰”还剩（
A.$\frac{1}{4}$尺
B.$\frac{1}{8}$尺
C.$\frac{1}{16}$尺
D.$\frac{1}{32}$尺
D
）A.$\frac{1}{4}$尺
B.$\frac{1}{8}$尺
C.$\frac{1}{16}$尺
D.$\frac{1}{32}$尺
答案
5.D 一天之后剩$\frac{1}{2}$尺,
两天之后剩$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$尺,
三天之后剩$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$尺,
以此类推,五天之后剩$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$尺.故选 D.
两天之后剩$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$尺,
三天之后剩$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$尺,
以此类推,五天之后剩$(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{32}$尺.故选 D.
6. 核心素养 应用意识 【情景】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图1：
这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂）盛入碗中，此时碗中有
【拓展】第8次捏合后可拉出
【应用】如果一张纸片的厚度为0.1毫米，我们住的住宅楼的高度约为2.8米/层，那么将纸片对折20次后的厚度约为多少层楼的高度？（假设可以对折20次，结果取整数，参考数据：$2^{20}=1048576$）
【探究】按照如图2所示的方式对折n次后，用剪刀在中间将所有纸片剪断，则总共有
这样捏合到第五次后，拉面师傅将面放入锅中煮好后（两头断裂）盛入碗中，此时碗中有
32
根面条.【拓展】第8次捏合后可拉出
256
根细面条.【应用】如果一张纸片的厚度为0.1毫米，我们住的住宅楼的高度约为2.8米/层，那么将纸片对折20次后的厚度约为多少层楼的高度？（假设可以对折20次，结果取整数，参考数据：$2^{20}=1048576$）
【探究】按照如图2所示的方式对折n次后，用剪刀在中间将所有纸片剪断，则总共有
$(2^n+1)$
张纸片.答案
6.解析 【情景】32.
详解:第1次捏合为2根,
第2次捏合为$2×2=2^2=4$(根),
第3次捏合为$2×2×2=2^3=8$(根),
第4次捏合为$2×2×2×2=2^4=16$(根),
故第5次捏合为$2^5=32$(根).
【拓展】256.
【应用】对折 20 次后纸片的厚度为 $2^{20}×0.1 = 104 857.6$(毫米)= 104.857 6(米),
因为 $104.857 6÷2.8≈37$,
所以对折 20 次后纸片的厚度约有 37 层楼高.
【探究】$(2^n+1)$.
详解:因为折叠1次有2层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有3张纸片,即$(2^1+1)$张纸片;
折叠2次有4层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有5张纸片,即$(2^2+1)$张纸片;
折叠3次有8层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有9张纸片,即$(2^3+1)$张纸片;
……
所以折叠n次总共有$2^n$层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有$(2^n+1)$张纸片.
详解:第1次捏合为2根,
第2次捏合为$2×2=2^2=4$(根),
第3次捏合为$2×2×2=2^3=8$(根),
第4次捏合为$2×2×2×2=2^4=16$(根),
故第5次捏合为$2^5=32$(根).
【拓展】256.
【应用】对折 20 次后纸片的厚度为 $2^{20}×0.1 = 104 857.6$(毫米)= 104.857 6(米),
因为 $104.857 6÷2.8≈37$,
所以对折 20 次后纸片的厚度约有 37 层楼高.
【探究】$(2^n+1)$.
详解:因为折叠1次有2层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有3张纸片,即$(2^1+1)$张纸片;
折叠2次有4层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有5张纸片,即$(2^2+1)$张纸片;
折叠3次有8层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有9张纸片,即$(2^3+1)$张纸片;
……
所以折叠n次总共有$2^n$层纸片,当用剪刀在中间将所有纸片剪断时,会有$(2^n+1)$张纸片.
