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1[2025湖南衡阳质检,中]甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发,相向而行,甲每分走45米,乙每分走55米,一只小狗以每分200米的速度与甲同时、同地、同向而行,遇到乙后立即转头向甲跑去,遇到甲后立即转头向乙跑去,…,如此循环,直到两人相遇,则这只小狗一共跑了(
A.3000米
B.4000米
C.5000米
D.6000米
B
)A.3000米
B.4000米
C.5000米
D.6000米
答案
【解析】设这只小狗一共跑了 x 分,则两人也走了 x 分. 根据题意可得(45+55)x=2 000,解得 x=20,则这只小狗一共跑了 20×200=4 000(米). 故选 B.
2[较难]如图，正方形ABCD的轨道上有甲、乙两个点，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针运动且同时出发，甲的速度为每秒1 cm，乙的速度为每秒5 cm.已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm，则乙在第2 022次追上甲时的位置在（
A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.AD上
B
）A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.AD上
答案
【解析】设乙走 x 秒第 1 次追上甲. 根据题意,得 5x-x=4,解得 x=1,所以乙走 1 秒第 1 次追上甲,则乙在第 1 次追上甲时的位置在 AB 上. 设乙再走 y 秒第 2 次追上甲. 根据题意,得 5y-y=8,解得 y=2,所以乙再走 2 秒第 2 次追上甲,则乙在第 2 次追上甲时的位置在 BC 上. 同理,乙再走 2 秒第 3 次追上甲,则乙在第 3 次追上甲时的位置在 CD 上;乙再走 2 秒第 4 次追上甲,则乙在第 4 次追上甲时的位置在 DA 上;乙在第 5 次追上甲时的位置又回到 AB 上. 因为 2 022÷4 = 505……2,所以乙在第 2 022 次追上甲时的位置在 BC 上. 故选 B.
3[2026浙江金华期末,中]一条公路上有相距80千米的A,B两地,甲、乙、丙三人都在这条公路上行驶.根据他们三人对话的信息,解决丙提出的问题.甲:我从A地出发匀速前往B地,速度为20千米/时.乙:甲出发1小时后,我也从A地出发匀速前往B地,出发半小时后追上了甲,到达B地后停止不动.丙:我与甲同时出发,但我是从B地匀速前往A地,当我与甲相遇时,甲与乙相距20千米,我出发后
$\boldsymbol{\frac{7}{6}}$或$\boldsymbol{\frac{7}{4}}$
小时与乙相遇.答案
【解析】设丙出发 x h 与乙相遇. 根据题意可得乙的速度为 (1+0.5)×20÷0.5 = 60(km/h). 当丙与甲相遇时,①若甲在乙前面 20 km,则此时乙在 A 地,甲刚好出发 1 h,行驶了 20 km,所以丙的速度为 (80-20)÷1=60(km/h),所以 60x+60(x-1)=80,解得 $x=\frac{7}{6}$;②若乙在甲前面 20 km,因为 (20×1+20)÷(60-20)= 1(h),所以此时乙出发了 1 h,所走路程为 60 km,甲所走路程为 20×(1+1)= 40(km),所以丙的速度为 (80-40)÷(1+1)= 20(km/h),所以 20x+60(x-1)=80,解得 $x=\frac{7}{4}$. 综上所述,丙出发 $\frac{7}{6}$ h 或 $\frac{7}{4}$ h 与乙相遇. 故答案为 $\frac{7}{6}$ 或 $\frac{7}{4}$.
4[中]如图(1)所示是某机场的平地电梯，其示意图如图(2)所示，电梯AB的长度为120米，若两人不乘电梯在地面匀速行走，小明每分钟行走的路程是小红的$\frac{7}{5}$倍，且1.5分钟后，小明比小红多行走30米。
(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米；
(2)若两人在平地电梯上从A处开始行走，电梯以30米/分的速度向前匀速行驶，两人保持原来在地面上匀速行走的速度同时在电梯上行走。当小明到达B处时，小红离B处还有多少米？
(1)求两人在地面上每分钟各行走多少米；
(2)若两人在平地电梯上从A处开始行走，电梯以30米/分的速度向前匀速行驶，两人保持原来在地面上匀速行走的速度同时在电梯上行走。当小明到达B处时，小红离B处还有多少米？
答案
(1)设小红在地面上每分钟行走 x 米,则小明在地面上每分钟行走 $\frac{7}{5}x$ 米. 依题意得 $1.5×\frac{7}{5}x-1.5x=30$,解得 x=50,则 $\frac{7}{5}x=70$.
答:小红在地面上每分钟行走 50 米,小明在地面上每分钟行走 70 米.
(2)由题意得,小明相对地面的前进速度为 70+30=100(米/分),小红相对地面的前进速度为 50+30=80(米/分). 当小明到达 B 处时,小红离 B 处还有 120-120÷100×80=24(米).
答:当小明到达 B 处时,小红离 B 处还有 24 米.
答:小红在地面上每分钟行走 50 米,小明在地面上每分钟行走 70 米.
(2)由题意得,小明相对地面的前进速度为 70+30=100(米/分),小红相对地面的前进速度为 50+30=80(米/分). 当小明到达 B 处时,小红离 B 处还有 120-120÷100×80=24(米).
答:当小明到达 B 处时,小红离 B 处还有 24 米.
5[2025甘肃兰州期末,较难]如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”,图中点A表示-12,点B表示12,点C表示20,我们称点A和点C在数轴上相距32个单位长度,动点P从点A出发,以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速,设运动的时间为t秒.
(1)动点Q从点C运动到点A需要
(2)求P,Q两点相遇时的t值及相遇点M所对应的数是多少;
(3)求当t为何值时,A,P两点在数轴上相距的长度是C,Q两点在数轴上相距的长度的$\frac{5}{4}$倍(即P点运动的路程$=\frac{5}{4}×Q$点运动的路程).
(1)动点Q从点C运动到点A需要
26
秒;(2)求P,Q两点相遇时的t值及相遇点M所对应的数是多少;
(3)求当t为何值时,A,P两点在数轴上相距的长度是C,Q两点在数轴上相距的长度的$\frac{5}{4}$倍(即P点运动的路程$=\frac{5}{4}×Q$点运动的路程).
答案
(1)动点 Q 从点 C 运动到点 A 所需时间为 (20-12)÷1+12÷2+12÷1=26(秒). 故答案为 26.
(2)由题可知,P,Q 两点相遇在线段 OB 上的 M 处,设 OM=x,则 12÷2+x÷1=(20-12)÷1+(12-x)÷2,解得 $x=\frac{16}{3}$,则 $12÷2+x÷1=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3}$.
答:P,Q 两点相遇时的 t 值是 $\frac{34}{3}$,相遇点 M 所对应的数是 $\frac{16}{3}$.
(3)A,P 两点在数轴上相距的长度是 C,Q 两点在数轴上相距的长度的 $\frac{5}{4}$ 倍有 2 种可能:
①动点 P,Q 均在线段 OB 上时(相遇前),$12+(t-12÷2)×1=\frac{5}{4}[8+2(t-8÷1)]$,解得 $t=\frac{32}{3}$.
②动点 Q 在线段 OA 上,动点 P 在线段 BC 上时(相遇后),$12+12+2(t-18)=\frac{5}{4}[8+12+(t-14)]$,解得 t=26. 综上所述,当 t 为 $\frac{32}{3}$ 或 26 时,A,P 两点在数轴上相距的长度是 C,Q 两点在数轴上相距的长度的 $\frac{5}{4}$ 倍.
(2)由题可知,P,Q 两点相遇在线段 OB 上的 M 处,设 OM=x,则 12÷2+x÷1=(20-12)÷1+(12-x)÷2,解得 $x=\frac{16}{3}$,则 $12÷2+x÷1=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3}$.
答:P,Q 两点相遇时的 t 值是 $\frac{34}{3}$,相遇点 M 所对应的数是 $\frac{16}{3}$.
(3)A,P 两点在数轴上相距的长度是 C,Q 两点在数轴上相距的长度的 $\frac{5}{4}$ 倍有 2 种可能:
①动点 P,Q 均在线段 OB 上时(相遇前),$12+(t-12÷2)×1=\frac{5}{4}[8+2(t-8÷1)]$,解得 $t=\frac{32}{3}$.
②动点 Q 在线段 OA 上,动点 P 在线段 BC 上时(相遇后),$12+12+2(t-18)=\frac{5}{4}[8+12+(t-14)]$,解得 t=26. 综上所述,当 t 为 $\frac{32}{3}$ 或 26 时,A,P 两点在数轴上相距的长度是 C,Q 两点在数轴上相距的长度的 $\frac{5}{4}$ 倍.
