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15 如图,在$△ PAB$中,C,D为AB边上的两个动点,$PC=PD$.
(1)若$PC=CD$,$∠ APB=120°$,则$△ APC$与$△ PBD$相似吗?为什么?
(2)当$∠ CPD$和$∠ APB$满足怎样的数量关系时,$△ APC ∽ △ PBD$?请说明理由.
(1)若$PC=CD$,$∠ APB=120°$,则$△ APC$与$△ PBD$相似吗?为什么?
(2)当$∠ CPD$和$∠ APB$满足怎样的数量关系时,$△ APC ∽ △ PBD$?请说明理由.
答案
15.【解】(1)$△ APC∽△ PBD$. 理由:
∵ $PC=PD=CD$,$\therefore △ PCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$,$\therefore ∠ ACP=∠ BDP=120°$.
∵ $∠ A+∠ APC=60°$,$∠ APC+∠ BPD=∠ APB-∠ CPD=120°-60°=60°$,$\therefore ∠ A=∠ BPD$,$\therefore △ APC∽△ PBD$.
(2)当 $2∠ APB-∠ CPD=180°$时,满足要求. 理由:
∵ $PC=PD$,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC$,$\therefore ∠ PCA=∠ PDB$,$\therefore$ 当$∠ A=∠ DPB$ 时,$△ APC∽△ PBD$.
∵ $∠ APC+∠ DPB=∠ APB-∠ CPD$,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ A+∠ APC=∠ APB-∠ CPD$.
在$△ PCD$ 中,$∠ PCD+∠ PDC+∠ CPD=180°$,$\therefore ∠ APB-∠ CPD+∠ APB-∠ CPD+∠ CPD=180°$,即 $2∠ APB-∠ CPD=180°$.
思路分析：(1)由条件可得 $∠ PCD =∠ PDC=∠ CPD=60°$,从而得到$∠ ACP=∠ BDP=120°$,结合$∠ APB=120°$可得到$∠ A=∠ BPD$,即可证明$△ APC∽△ PBD$.
∵ $PC=PD=CD$,$\therefore △ PCD$ 是等边三角形,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$,$\therefore ∠ ACP=∠ BDP=120°$.
∵ $∠ A+∠ APC=60°$,$∠ APC+∠ BPD=∠ APB-∠ CPD=120°-60°=60°$,$\therefore ∠ A=∠ BPD$,$\therefore △ APC∽△ PBD$.
(2)当 $2∠ APB-∠ CPD=180°$时,满足要求. 理由:
∵ $PC=PD$,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC$,$\therefore ∠ PCA=∠ PDB$,$\therefore$ 当$∠ A=∠ DPB$ 时,$△ APC∽△ PBD$.
∵ $∠ APC+∠ DPB=∠ APB-∠ CPD$,$\therefore ∠ PCD=∠ PDC=∠ A+∠ APC=∠ APB-∠ CPD$.
在$△ PCD$ 中,$∠ PCD+∠ PDC+∠ CPD=180°$,$\therefore ∠ APB-∠ CPD+∠ APB-∠ CPD+∠ CPD=180°$,即 $2∠ APB-∠ CPD=180°$.
思路分析：(1)由条件可得 $∠ PCD =∠ PDC=∠ CPD=60°$,从而得到$∠ ACP=∠ BDP=120°$,结合$∠ APB=120°$可得到$∠ A=∠ BPD$,即可证明$△ APC∽△ PBD$.
解析
【分析】
(1)要判断△APC和△PBD是否相似，先从已知PC=PD=CD入手，先判定△PCD为等边三角形得到60°的角，进而推出∠ACP=∠BDP=120°，再结合∠APB=120°通过角的和差关系推导另一组相等的角，即可用两角对应相等的判定定理证明相似。
(2)已知PC=PD，可先得到∠PCD=∠PDC，进而推出∠PCA=∠PDB，已经有一组角相等，要使△APC∽△PBD只需再得一组角相等，结合三角形内角和、角的和差关系推导∠CPD和∠APB的数量关系即可。
【解析】
(1)△APC∽△PBD，理由如下：
∵ $PC=PD=CD$，
∴ $△ PCD$ 是等边三角形，
∴ $∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
∴ $∠ACP=180°-∠PCD=120°$，$∠BDP=180°-∠PDC=120°$，即$∠ACP=∠BDP$。
∵ $∠ APB=120°$，
∴ $∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°$，
又
∵ 在$△ APC$中，$∠A+∠APC=180°-∠ACP=60°$，
∴ $∠A=∠BPD$，
∴ $△ APC∽△ PBD$。
(2)当 $2∠ APB-∠ CPD=180°$时，$△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
∵ $PC=PD$，
∴ $∠PCD=∠PDC$，
∴ $∠PCA=180°-∠PCD$，$∠PDB=180°-∠PDC$，即$∠PCA=∠PDB$。
要使$△ APC ∽ △ PBD$，还需满足$∠A=∠DPB$，
此时$∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD$，
∵ $∠PCD$是$△ APC$的外角，
∴ $∠PCD=∠A+∠APC=∠DPB+∠APC=∠APB-∠CPD$，
在$△ PCD$中，由内角和定理得：$∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°$，
又
∵ $∠PCD=∠PDC=∠APB-∠CPD$，
代入得：$(∠APB-∠CPD)+(∠APB-∠CPD)+∠CPD=180°$，
整理得：$2∠APB-∠CPD=180°$。
【答案】
(1)$△ APC∽△ PBD$，理由见解析；
(2)当$2∠APB-∠CPD=180°$时，$△ APC∽△ PBD$，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，结合等腰、等边三角形的性质考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握两角分别相等的相似判定定理，灵活运用角的和差关系、三角形内角和与外角性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.65
(1)要判断△APC和△PBD是否相似，先从已知PC=PD=CD入手，先判定△PCD为等边三角形得到60°的角，进而推出∠ACP=∠BDP=120°，再结合∠APB=120°通过角的和差关系推导另一组相等的角，即可用两角对应相等的判定定理证明相似。
(2)已知PC=PD，可先得到∠PCD=∠PDC，进而推出∠PCA=∠PDB，已经有一组角相等，要使△APC∽△PBD只需再得一组角相等，结合三角形内角和、角的和差关系推导∠CPD和∠APB的数量关系即可。
【解析】
(1)△APC∽△PBD，理由如下：
∵ $PC=PD=CD$，
∴ $△ PCD$ 是等边三角形，
∴ $∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
∴ $∠ACP=180°-∠PCD=120°$，$∠BDP=180°-∠PDC=120°$，即$∠ACP=∠BDP$。
∵ $∠ APB=120°$，
∴ $∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°$，
又
∵ 在$△ APC$中，$∠A+∠APC=180°-∠ACP=60°$，
∴ $∠A=∠BPD$，
∴ $△ APC∽△ PBD$。
(2)当 $2∠ APB-∠ CPD=180°$时，$△ APC ∽ △ PBD$，理由如下：
∵ $PC=PD$，
∴ $∠PCD=∠PDC$，
∴ $∠PCA=180°-∠PCD$，$∠PDB=180°-∠PDC$，即$∠PCA=∠PDB$。
要使$△ APC ∽ △ PBD$，还需满足$∠A=∠DPB$，
此时$∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD$，
∵ $∠PCD$是$△ APC$的外角，
∴ $∠PCD=∠A+∠APC=∠DPB+∠APC=∠APB-∠CPD$，
在$△ PCD$中，由内角和定理得：$∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°$，
又
∵ $∠PCD=∠PDC=∠APB-∠CPD$，
代入得：$(∠APB-∠CPD)+(∠APB-∠CPD)+∠CPD=180°$，
整理得：$2∠APB-∠CPD=180°$。
【答案】
(1)$△ APC∽△ PBD$，理由见解析；
(2)当$2∠APB-∠CPD=180°$时，$△ APC∽△ PBD$，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合基础题，结合等腰、等边三角形的性质考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握两角分别相等的相似判定定理，灵活运用角的和差关系、三角形内角和与外角性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.65
16[2026江苏无锡调研]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度,开展了如下综合与实践活动.
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1:测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图(1)).在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F,Q在同一条直线上,EF=2.8 m,PQ=1.4 m,QF=2 m,FN=16 m.
(1)求旗杆MN的高度.
活动2:测量南禅寺妙光塔的高度
该小组为全面了解本土历史文物,决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后,发现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究,设计并实施了如下测量活动(示意图(2)).在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿FQ的方向走到点Q'处,此时
标杆E'F'竖立于F'处,从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB,EF,PQ,E'F'和P'Q'在同一平面内,点B,F,Q,F',Q'在同一条直线上,EF=E'F'=2.8 m,PQ=P'Q'=1.4 m,FQ=1.2 m,F'Q'=2.2 m,QQ'=30 m.
(2)求妙光塔AB的高度.
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1:测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动(示意图(1)).在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F,Q在同一条直线上,EF=2.8 m,PQ=1.4 m,QF=2 m,FN=16 m.
(1)求旗杆MN的高度.
活动2:测量南禅寺妙光塔的高度
该小组为全面了解本土历史文物,决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后,发现塔顶A和塔底中心B均无法到达.经研究,设计并实施了如下测量活动(示意图(2)).在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿FQ的方向走到点Q'处,此时
标杆E'F'竖立于F'处,从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上.已知AB,EF,PQ,E'F'和P'Q'在同一平面内,点B,F,Q,F',Q'在同一条直线上,EF=E'F'=2.8 m,PQ=P'Q'=1.4 m,FQ=1.2 m,F'Q'=2.2 m,QQ'=30 m.
(2)求妙光塔AB的高度.
答案
16.【解】(1)如图(1),过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H,交 EF 于点 K,则易得 $PQ=KF=HN=1.4 \, \mathrm{m}$,$HK=FN=16 \, \mathrm{m}$,$PK=QF=2 \, \mathrm{m}$,$\therefore EK=EF-KF=1.4 \, \mathrm{m}$,$PH=PK+HK=18 \, \mathrm{m}$.
∵ $EF// MN$,$\therefore$ 易得$△ PEK∽△ PMH$,$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH}$,$\therefore \frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$,$\therefore MH=12.6 \, \mathrm{m}$,$\therefore MN=MH+HN=14 \, \mathrm{m}$.
答:旗杆 MN 的高度为 14 m.
(2)如图(2),设 E'E 的延长线交 AB 于点 M,P'P 的延长线交 AB 于点 N,交 EF 于点 H,线段 P'P 交 E'F' 于点 K,则易得 $BM=EF=E'F'=2.8 \, \mathrm{m}$,$HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4 \, \mathrm{m}$,$HP=FQ=1.2 \, \mathrm{m}$,$QQ'=PP'=30 \, \mathrm{m}$,$P'K=F'Q'=2.2 \, \mathrm{m}$,$\therefore MN=HE=KE'=EF-HF=1.4 \, \mathrm{m}$.
设 $HN=x \, \mathrm{m}$,$AM=y \, \mathrm{m}$,则 $PN=HN+HP=(1.2+x)\mathrm{m}$,$AN=AM+MN=(1.4+y)\mathrm{m}$,$P'N=PP'+PN=(31.2+x)\mathrm{m}$.
∵ $EF// AB$,$\therefore$ 易得$△ PEH∽△ PAN$,$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN}$,$\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$.
∵ $E'F'// AB$,$\therefore$ 易得$△ P'E'K∽△ P'AN$,$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN}$,$\therefore \frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$,$\therefore \frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x}$,解得 $x=34.8$,$\therefore \frac{1.2}{1.2+34.8}=\frac{1.4}{y+1.4}$,解得 $y=40.6$,即 $AM=40.6 \, \mathrm{m}$,$\therefore AB=AM+BM=40.6+2.8=43.4(\mathrm{m})$.
答:妙光塔 AB 的高度为 43.4 m.
解析
【分析】
(1) 测量旗杆高度时，先过点P作PH垂直MN，交EF于K构造相似三角形，由EF平行MN可证△PEK∽△PMH，再结合已知线段长度，利用相似三角形对应边成比例求出MH的长，最后加HN的长度即可得到旗杆MN的高度。
(2) 测量妙光塔高度时，延长P'P交AB于N，交EF于H，交E'F'于K，由EF、E'F'均平行于AB，可得两组相似三角形：△PEH∽△PAN、△P'E'K∽△P'AN。设HN=x m，AM=y m，用含x、y的式子表示对应边，根据相似性质列方程联立求解，得到AM的长度后加BM的长度即可得到塔高AB。
【解析】
(1) 如图(1)，过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H，交 EF 于点 K，则易得 $PQ=KF=HN=1.4 \, \mathrm{m}$，$HK=FN=16 \, \mathrm{m}$，$PK=QF=2 \, \mathrm{m}$，
$\therefore EK=EF-KF=2.8-1.4=1.4 \, \mathrm{m}$，$PH=PK+HK=2+16=18 \, \mathrm{m}$。
∵ $EF// MN$，$∠ PEK=∠ PMH$，$∠ PKE=∠ PHM=90°$，
$\therefore △ PEK∽△ PMH$，
$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH}$，代入得$\frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$，
解得$MH=12.6 \, \mathrm{m}$，
$\therefore MN=MH+HN=12.6+1.4=14 \, \mathrm{m}$。
(2) 如图(2)，设 E'E 的延长线交 AB 于点 M，P'P 的延长线交 AB 于点 N，交 EF 于点 H，线段 P'P 交 E'F' 于点 K，则易得 $BM=EF=E'F'=2.8 \, \mathrm{m}$，$HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4 \, \mathrm{m}$，$HP=FQ=1.2 \, \mathrm{m}$，$QQ'=PP'=30 \, \mathrm{m}$，$P'K=F'Q'=2.2 \, \mathrm{m}$，
$\therefore EH=E'K=EF-HF=1.4 \, \mathrm{m}$。
设 $HN=x \, \mathrm{m}$，$AM=y \, \mathrm{m}$，则 $PN=(1.2+x)\mathrm{m}$，$AN=(y+1.4)\mathrm{m}$，$P'N=(31.2+x)\mathrm{m}$。
∵ $EF// AB$，$∠ PEH=∠ PAN$，$∠ PHE=∠ PNA=90°$，
$\therefore △ PEH∽△ PAN$，
$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN}$，即$\frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$ ①。
∵ $E'F'// AB$，同理可得$△ P'E'K∽△ P'AN$，
$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN}$，即$\frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$ ②。
联立①②得$\frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x}$，解得 $x=34.8$，
把$x=34.8$代入①得$\frac{1.2}{36}=\frac{1.4}{y+1.4}$，解得 $y=40.6$，即 $AM=40.6 \, \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AM+BM=40.6+2.8=43.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 旗杆MN的高度为14 m；
(2) 妙光塔AB的高度为43.4 m。
【知识点】
相似三角形的应用；解分式方程
【点评】
本题以实际测量高度为背景，考查相似三角形判定与性质的实际应用，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系，第二问需合理设未知数列方程求解，能有效锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 测量旗杆高度时，先过点P作PH垂直MN，交EF于K构造相似三角形，由EF平行MN可证△PEK∽△PMH，再结合已知线段长度，利用相似三角形对应边成比例求出MH的长，最后加HN的长度即可得到旗杆MN的高度。
(2) 测量妙光塔高度时，延长P'P交AB于N，交EF于H，交E'F'于K，由EF、E'F'均平行于AB，可得两组相似三角形：△PEH∽△PAN、△P'E'K∽△P'AN。设HN=x m，AM=y m，用含x、y的式子表示对应边，根据相似性质列方程联立求解，得到AM的长度后加BM的长度即可得到塔高AB。
【解析】
(1) 如图(1)，过点 P 作 $PH ⊥ MN$ 于点 H，交 EF 于点 K，则易得 $PQ=KF=HN=1.4 \, \mathrm{m}$，$HK=FN=16 \, \mathrm{m}$，$PK=QF=2 \, \mathrm{m}$，
$\therefore EK=EF-KF=2.8-1.4=1.4 \, \mathrm{m}$，$PH=PK+HK=2+16=18 \, \mathrm{m}$。
∵ $EF// MN$，$∠ PEK=∠ PMH$，$∠ PKE=∠ PHM=90°$，
$\therefore △ PEK∽△ PMH$，
$\therefore \frac{PK}{PH}=\frac{EK}{MH}$，代入得$\frac{2}{18}=\frac{1.4}{MH}$，
解得$MH=12.6 \, \mathrm{m}$，
$\therefore MN=MH+HN=12.6+1.4=14 \, \mathrm{m}$。
(2) 如图(2)，设 E'E 的延长线交 AB 于点 M，P'P 的延长线交 AB 于点 N，交 EF 于点 H，线段 P'P 交 E'F' 于点 K，则易得 $BM=EF=E'F'=2.8 \, \mathrm{m}$，$HF=KF'=BN=PQ=P'Q'=1.4 \, \mathrm{m}$，$HP=FQ=1.2 \, \mathrm{m}$，$QQ'=PP'=30 \, \mathrm{m}$，$P'K=F'Q'=2.2 \, \mathrm{m}$，
$\therefore EH=E'K=EF-HF=1.4 \, \mathrm{m}$。
设 $HN=x \, \mathrm{m}$，$AM=y \, \mathrm{m}$，则 $PN=(1.2+x)\mathrm{m}$，$AN=(y+1.4)\mathrm{m}$，$P'N=(31.2+x)\mathrm{m}$。
∵ $EF// AB$，$∠ PEH=∠ PAN$，$∠ PHE=∠ PNA=90°$，
$\therefore △ PEH∽△ PAN$，
$\therefore \frac{PH}{PN}=\frac{HE}{AN}$，即$\frac{1.2}{1.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$ ①。
∵ $E'F'// AB$，同理可得$△ P'E'K∽△ P'AN$，
$\therefore \frac{P'K}{P'N}=\frac{E'K}{AN}$，即$\frac{2.2}{31.2+x}=\frac{1.4}{y+1.4}$ ②。
联立①②得$\frac{1.2}{1.2+x}=\frac{2.2}{31.2+x}$，解得 $x=34.8$，
把$x=34.8$代入①得$\frac{1.2}{36}=\frac{1.4}{y+1.4}$，解得 $y=40.6$，即 $AM=40.6 \, \mathrm{m}$，
$\therefore AB=AM+BM=40.6+2.8=43.4(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 旗杆MN的高度为14 m；
(2) 妙光塔AB的高度为43.4 m。
【知识点】
相似三角形的应用；解分式方程
【点评】
本题以实际测量高度为背景，考查相似三角形判定与性质的实际应用，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系，第二问需合理设未知数列方程求解，能有效锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
17[2026辽宁大连调研]如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,△ABC各顶点的坐标分别为A(-3,0),B(1,3),C(1,0).
(1)求AB所在直线的函数表达式.
(2)过点B作BD⊥AB,与x轴相交于点D,求点D的坐标.
(3)在(2)的条件下,如果点P,Q分别是线段AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,那么是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
(1)求AB所在直线的函数表达式.
(2)过点B作BD⊥AB,与x轴相交于点D,求点D的坐标.
(3)在(2)的条件下,如果点P,Q分别是线段AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,那么是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似?如果存在,请求出m的值;如果不存在,请说明理由.
答案
17.【解】(1)设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+b$,将点 A,B 坐标代入得,$\begin{cases}-3k+b=0,\\k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{9}{4},\end{cases}$ $\therefore$ 直线 AB 的函数表达式为 $y=\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}$.
(2)在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 是直角三角形,$∠ ACB=90°$,$△ ABC$ 各顶点的坐标分别为 $A(-3,0)$,$B(1,3)$,$C(1,0)$,$\therefore AC=4$,$BC=3$,$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$.
如图(1),由题意得$∠ ABD=∠ ACB=90°$.
∵ $∠ A=∠ A$,$\therefore △ ADB∽△ ABC$,$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
∵ $AC=4$,$AB=5$,$\therefore \frac{5}{4}=\frac{AD}{5}$,$\therefore AD=\frac{25}{4}$,$\therefore OD=AD-AO=\frac{25}{4}-3=\frac{13}{4}$,$\therefore$ 点 D 的坐标为$(\frac{13}{4},0)$.
思路分析：(2) 证明$△ ADB∽△ ABC$,由相似三角形的性质得出 $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$,即可求出 AD 的长,进而求出 OD 的长,即可得出点 D 的坐标.
(3)存在.
∵ $AP=DQ=m$,$\therefore AQ=AD-DQ=\frac{25}{4} -m$.
若$△ APQ∽△ ABD$,如图(2)所示,则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{AQ}$,
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{m}{\frac{25}{4}-m}$,$\therefore m=\frac{25}{9}$.
若$△ APQ∽△ ADB$,如图(3)所示,则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AQ}{AP}$,
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{\frac{25}{4}-m}{m}$,$\therefore m=\frac{125}{36}$.
综上所述,符合要求的 m 的值为 $\frac{125}{36}$ 或 $\frac{25}{9}$.
解析
【分析】
(1) 求直线AB的函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般式为$y=kx+b$，再将A、B两点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线AB的解析式。
(2) 先根据A、B、C三点的坐标计算AC、BC的长度，用勾股定理求出AB的长度；再由$BD⊥AB$可得$∠ ABD=∠ ACB=90°$，结合公共角$∠ A$可证$△ ADB∽△ ABC$，利用相似三角形对应边成比例求出AD的长度，结合点A的坐标计算OD的长度，即可得到点D的坐标。
(3) 本题属于相似三角形存在性问题，由于两个三角形相似时对应顶点不唯一，因此需要分两种情况讨论：①$△ APQ∽△ ABD$；②$△ APQ∽△ ADB$。分别根据相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，解方程验证结果符合线段取值要求即可。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为 $y=kx+b$，将点$A(-3,0)$、$B(1,3)$坐标代入得：
$\begin{cases}-3k+b=0,\\k+b=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{9}{4},\end{cases}$
$\therefore$ 直线AB的函数表达式为 $y=\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}$。
(2) 已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，$A(-3,0)$，$B(1,3)$，$C(1,0)$，
$\therefore AC=1-(-3)=4$，$BC=3-0=3$，
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
如图(1)，由题意得$∠ ABD=∠ ACB=90°$。
∵ $∠ A=∠ A$，$\therefore △ ADB∽△ ABC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
将$AB=5$，$AC=4$代入得：$\frac{5}{4}=\frac{AD}{5}$，解得 $AD=\frac{25}{4}$，
$\therefore OD=AD-AO=\frac{25}{4}-3=\frac{13}{4}$，
$\therefore$ 点D的坐标为$(\frac{13}{4},0)$。
(3) 存在这样的m使得$△ APQ$与$△ ADB$相似，理由如下：
∵ $AP=DQ=m$，$\therefore AQ=AD-DQ=\frac{25}{4} -m$。
① 若$△ APQ∽△ ABD$，如图(2)所示，则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{AQ}$，
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{m}{\frac{25}{4}-m}$，解得 $m=\frac{25}{9}$。
② 若$△ APQ∽△ ADB$，如图(3)所示，则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AQ}{AP}$，
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{\frac{25}{4}-m}{m}$，解得 $m=\frac{125}{36}$。
综上所述，符合要求的m的值存在。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}$
(2) $(\frac{13}{4},0)$
(3) 存在，m的值为$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 相似三角形的判定与性质
3. 相似存在性分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数解析式的基本求解方法，也考查了相似三角形的判定和性质的应用，解题时要注意：当相似三角形的对应关系不明确时，需要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线AB的函数表达式可采用待定系数法：先设一次函数的一般式为$y=kx+b$，再将A、B两点的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线AB的解析式。
(2) 先根据A、B、C三点的坐标计算AC、BC的长度，用勾股定理求出AB的长度；再由$BD⊥AB$可得$∠ ABD=∠ ACB=90°$，结合公共角$∠ A$可证$△ ADB∽△ ABC$，利用相似三角形对应边成比例求出AD的长度，结合点A的坐标计算OD的长度，即可得到点D的坐标。
(3) 本题属于相似三角形存在性问题，由于两个三角形相似时对应顶点不唯一，因此需要分两种情况讨论：①$△ APQ∽△ ABD$；②$△ APQ∽△ ADB$。分别根据相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，解方程验证结果符合线段取值要求即可。
【解析】
(1) 设直线AB的函数表达式为 $y=kx+b$，将点$A(-3,0)$、$B(1,3)$坐标代入得：
$\begin{cases}-3k+b=0,\\k+b=3,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{9}{4},\end{cases}$
$\therefore$ 直线AB的函数表达式为 $y=\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}$。
(2) 已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$，$A(-3,0)$，$B(1,3)$，$C(1,0)$，
$\therefore AC=1-(-3)=4$，$BC=3-0=3$，
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
如图(1)，由题意得$∠ ABD=∠ ACB=90°$。
∵ $∠ A=∠ A$，$\therefore △ ADB∽△ ABC$，
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
将$AB=5$，$AC=4$代入得：$\frac{5}{4}=\frac{AD}{5}$，解得 $AD=\frac{25}{4}$，
$\therefore OD=AD-AO=\frac{25}{4}-3=\frac{13}{4}$，
$\therefore$ 点D的坐标为$(\frac{13}{4},0)$。
(3) 存在这样的m使得$△ APQ$与$△ ADB$相似，理由如下：
∵ $AP=DQ=m$，$\therefore AQ=AD-DQ=\frac{25}{4} -m$。
① 若$△ APQ∽△ ABD$，如图(2)所示，则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{AQ}$，
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{m}{\frac{25}{4}-m}$，解得 $m=\frac{25}{9}$。
② 若$△ APQ∽△ ADB$，如图(3)所示，则 $\frac{AB}{AD}=\frac{AQ}{AP}$，
$\therefore \frac{5}{\frac{25}{4}}=\frac{\frac{25}{4}-m}{m}$，解得 $m=\frac{125}{36}$。
综上所述，符合要求的m的值存在。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x +\frac{9}{4}$
(2) $(\frac{13}{4},0)$
(3) 存在，m的值为$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 相似三角形的判定与性质
3. 相似存在性分类讨论
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，既考查了一次函数解析式的基本求解方法，也考查了相似三角形的判定和性质的应用，解题时要注意：当相似三角形的对应关系不明确时，需要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
