1. 下列各数中,是无理数的是()

A.$\sqrt[3]{8}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\sqrt{2}$

1.D

【分析】
要判断一个数是否为无理数，首先要明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于有理数。解题时先计算每个选项的结果，再对照定义判断类别即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt[3]{8}=2$，2是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\frac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
D. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 开方运算
3. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的范围，熟练掌握常见开方运算的结果是快速解题的关键。
【难度系数】
0.9

2.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数$\sqrt{2}$.
他的发现,在当时的数学界掀起了一场巨大风暴,导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计$\sqrt{2}$的值应在()

A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间

2.A

【分析】
要估算$\sqrt{2}$的取值范围，可使用“夹逼法”解题：首先明确算术平方根的性质，对于非负数来说，被开方数越大，对应的算术平方根也越大。我们只要找到两个相邻的正整数，使它们的平方分别小于2、大于2，就能确定$\sqrt{2}$的所在区间。
【解析】
解：先计算相邻正整数的平方：
$1^2=1$，$2^2=4$
因为$1＜2＜4$，根据算术平方根的性质可得：
$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$
化简得$1＜\sqrt{2}＜2$
因此$\sqrt{2}$的值在1和2之间，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的性质
2.无理数的估算
【点评】
本题是基础的无理数估算题型，核心是通过平方运算确定被开方数介于哪两个相邻正整数的平方之间，进而得到无理数的取值范围，熟练掌握常见正整数的平方可提高解题效率。
【难度系数】
0.9

3. 一个自然数的算术平方根为a,则与这个自然数相邻的下一个自然数是()

A.$a+1$
B.$a^2+1$
C.$\sqrt{a^2+1}$
D.$\sqrt{a+1}$

3.B

【分析】
要解这道题，我们可以分两步思考：第一步先根据算术平方根的定义，求出题目中给出的这个自然数；第二步再计算和它相邻的下一个自然数。首先回忆算术平方根的性质：如果一个非负数的算术平方根是a，那么这个非负数就等于a的平方。要注意不要把“自然数的算术平方根”和“自然数本身”弄混，避免直接给a加1的错误思路。
【解析】
解：设这个自然数为x
∵ 这个自然数的算术平方根为a，根据算术平方根的定义可得：
$x=a^2$
∵ 和x相邻的下一个自然数比x大1
∴ 相邻的下一个自然数为：$x+1=a^2+1$
因此符合的选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 自然数的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确把握算术平方根和原数的对应关系，易错点是容易混淆原数和它的算术平方根，误将a直接加1错选A，做题时要注意先还原原数再计算。
【难度系数】
0.8

4. $(-4)^2$ 的平方根是()

A.4
B.$\pm4$
C.2
D.$\pm2$

4.B

【分析】
解题需分两步思考：第一步先根据乘方的运算规则算出$(-4)^2$的结果，第二步再结合平方根的定义求该结果的平方根。首先回忆：负数的偶次幂是正数，先算出幂的值；再回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，据此求出对应平方根即可选出正确选项。
【解析】
第一步：计算乘方，$(-4)^2=(-4)×(-4)=16$；
第二步：求16的平方根，根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，因为$(\pm4)^2=16$，所以16的平方根是$\pm4$，即$(-4)^2$的平方根是$\pm4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是部分同学会错误先求4的平方根再计算平方，或是忽略正数有两个互为相反数的平方根，解题时注意先计算幂的值，再按平方根定义求解即可。
【难度系数】
0.7

1. 5 的算术平方根是.

1.$\sqrt{5}$

【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，我们只需找到符合“平方等于5”的正数，这个正数就是5的算术平方根，注意不要和平方根混淆，算术平方根的结果一定是非负的。
【解析】
解：根据算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$（$a≥0$），那么这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。
设5的算术平方根为$x$，则满足$x^2=5$且$x＞0$，因此$x=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根定义的掌握，解题时需注意区分算术平方根与平方根的差异，算术平方根的结果为非负数，避免出现带正负号的错误。
【难度系数】
0.9

2. 计算$\sqrt{9}$的结果是.

2.3

【分析】
要计算$\sqrt{9}$的结果，首先需要明确$\sqrt{}$这个符号的含义：它表示的是算术平方根，也就是求平方等于9的非负实数。我们只需要找到满足“$x^2=9$且$x≥0$”的$x$的值，就能得到最终结果。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。
因为$3^2=9$，且3是正数，符合算术平方根非负的要求，所以$\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
算术平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对算术平方根概念的掌握，做题时要注意区分算术平方根和平方根的区别，避免误写为$\pm3$。
【难度系数】
0.9

3. 如果$2a - 18 = 0$,则$a$的算术平方根是.

3.3

【分析】
要解决这道题我们分两步思考：首先根据给出的一元一次方程求出a的取值，再结合算术平方根的定义，求出a的算术平方根即可，注意算术平方根是非负的。
【解析】
第一步：求解a的值
已知$2a - 18 = 0$，移项可得$2a = 18$，等式两边同时除以2，解得$a = 9$。
第二步：求a的算术平方根
根据算术平方根的定义，一个非负数的正的平方根为它的算术平方根，因为$3^2=9$，所以9的算术平方根是3。
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的解法；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，考察的都是核心基础知识点，熟练掌握一元一次方程的求解步骤以及算术平方根的概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 若$\sqrt{a+1}+\sqrt{b-1}=0$,求$a^{2020}+b^{2021}$的值.

1.$a=-1,b=1,a^{2012}+b^{2013}=2$

【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即大于等于0。两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数的值都为0，据此我们可以先列出关于a、b的方程，求出a、b的取值，再代入所求代数式计算结果即可。
【解析】
解：
∵算术平方根的运算结果为非负数，
∴$\sqrt{a+1} ≥ 0$，$\sqrt{b-1} ≥ 0$，
又
∵$\sqrt{a+1}+\sqrt{b-1}=0$，
∴$\sqrt{a+1}=0$，$\sqrt{b-1}=0$，
即$a+1=0$，$b-1=0$，
解得$a=-1$，$b=1$，
将$a=-1$，$b=1$代入$a^{2020}+b^{2021}$得：
原式$=(-1)^{2020}+1^{2021}=1+1=2$。
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的非负性，非负数的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数的性质，解题关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，同时需要熟练掌握有理数乘方的运算规则。
【难度系数】
0.8