10 新考法 [2025 浙江杭州期末] 如图，在长方形ABCD中，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，点E在线段BC上，点F在线段CD上，若$3(AB+BE)=2(AD+DF)$，则$\frac{S_{△ AEF}}{S_{长方形ABCD}}=$。

10.$\frac{5}{12}$ 【解析】在长方形 $ABCD$ 中, $∠B=∠C=90°$, 所以 $∠BAE+∠AEB=90°$. 因为 $△AEF$ 为等腰直角三角形, 且 $∠AEF=90°$, 所以 $AE=EF$, $∠AEB+∠CEF=90°$, 所以 $∠BAE=∠CEF$, 所以 $△ABE≌ △ECF$, 所以 $BE=CF$, $AB=CE$. 设 $BE=CF=b$, $AB=CE=a$, 则 $AD=BC=a+b$, $DF=a-b$, 所以 $AE=\sqrt{a^2+b^2}$, $S_{长方形ABCD}=a(a+b)=a^2+ab$, 所以 $S_{△AEF}=\frac{1}{2}AE · EF=\frac{a^2+b^2}{2}$. 因为 $3(AB+BE)=2(AD+DF)$, 所以 $3(a+b)=2(a+b+a-b)$, 所以 $a=3b$, 所以 $\frac{S_{△AEF}}{S_{长方形ABCD}} = \frac{\frac{a^2+b^2}{2}}{a^2+ab} = \frac{\frac{(3b)^2+b^2}{2}}{(3b)^2+3b×b} = \frac{5}{12}$. 故答案为 $\frac{5}{12}$.

三、解答题(共56分)
11[2026浙江温州期中]尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
如图,已知线段$a$,求作以$a$为底的等腰直角三角形.

11.【解】如图所示.

12 AI 名师编审 新考法 在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，…火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
| 火柴根数 | 3 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | 1 1 1 | | 2 2 2 | … |
| 形状 | 等边三角形 | 等腰三角形 | 等边三角形 | … |
根据以上信息，解答下列问题：
(1)4根火柴能搭成三角形吗？
(2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图。
容我想想鸭

12.【解】(1)4根火柴不能搭成三角形.
(2)12根火柴能搭成3种不同形状的三角形.
示意图如下:
等边三角形 等腰三角形 直角三角形

13 一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，要开进上边是半圆，下边是长方形的隧道，如图所示，已知半圆的直径为2 m，长方形的另一条边长是2.3 m.
(1)此卡车能否通过隧道？试说明你的理由.
(2)为了适应车流量的增加，想把隧道改为双行道，要使宽为1.2 m，高为2.8 m的卡车能安全通过，那么此隧道的宽至少增加到多少？

13. 思路分析 过隧道问题
【解】(1)该卡车能通过隧道. 理由如下:
如图(1),$MN$ 的长为卡车的宽度, 分别过 $M,N$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $C,D$ 两点, 连结 $CD$, 由题意知 $OE ⊥ CD$, 连结 $OC$.
易知 $CD=MN=1.6 \mathrm{ m},AB=2 \mathrm{ m}$, 所以 $CE=DE=0.8 \mathrm{ m},OC=OA=1 \mathrm{ m}$.
在 $Rt△OCE$ 中, $OE^2=OC^2-CE^2=0.36$, 则 $OE= 0.6 \mathrm{ m}$, 所以 $CM=2.3+0.6=2.9(\mathrm{ m})＞2.5 \mathrm{ m}$, 所以这辆卡车能通过隧道.
(2)如图(2),$EC$ 的长为卡车的宽度, 过 $E$ 作 $AH$ 的垂线交半圆于 $B$, 垂足为 $F$, 连结 $OB$, 过 $B$ 作 $BG ⊥ CI$ 于 $G$.
根据题意可知 $CG=BE=2.8 \mathrm{ m},BG=OF=EC= 1.2 \mathrm{ m}$,
$EF=AD=2.3 \mathrm{ m}$, 所以 $BF=2.8-2.3=0.5(\mathrm{ m})$.
根据勾股定理得 $OA^2=OB^2=BF^2+OF^2=0.5^2+1.2^2=1.69$, 则 $OA=1.3 \mathrm{ m}$, 所以隧道的宽至少增加到 $1.3×2=2.6(\mathrm{ m})$.

14 如图 (1), 已知 $△ ABC$ 为直角三角形, $∠ BCA=90°$, 在 $BC$ 的延长线上取一点 $D$, 使得 $CD=\frac{1}{2}AB$, 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 连结 $DE, M$ 为 $ED$ 的中点, 连结 $CM, AD$.
(1)试判断 $CM$ 与 $ED$ 的位置关系,并说明理由.
(2)若 $∠ AED=105°$, 请求出 $∠ BAC$ 的度数.
(3)如果将题中“在 $BC$ 的延长线上取一点 $D$”改为“在 $CB$ 的延长线上取一点 $D$”,其余条件不变,如图(2)所示.若 $∠ AED=165°$, 请求出 $∠ BAC$ 的度数.

14.【解】(1)$CM ⊥ ED$. 理由如下:
如图(1), 连结 $CE$. 因为 $∠BCA=90°$, 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 所以 $CE=\frac{1}{2}AB$.
因为 $CD=\frac{1}{2}AB$, 所以 $CE=CD$.
因为 $M$ 为 $ED$ 的中点, 所以 $CM ⊥ ED$.
(2)如图(1), 因为 $∠BCA=90°$, 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 所以 $BE=CE=\frac{1}{2}AB$, 所以 $∠B=∠ECB$.
因为 $CE=CD$, 所以 $∠CDE=∠DEC$, 所以 $∠ECB=∠DEC+∠CDE=2∠CDE$, 所以 $∠B=2∠CDE$.
因为 $∠AED=∠B+∠CDE$, 所以 $∠AED=3∠CDE$.
因为 $∠AED=105°$, 所以 $∠CDE=35°$, 所以 $∠B=70°$.
因为 $∠BCA=90°$, 所以 $∠BAC=180°-90°-70°=20°$.
(3)如图(2), 连结 $CE$. 因为 $∠BCA=90°$, 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, 所以 $CE = \frac{1}{2} AB = BE$, 所以 $∠EBC=∠ECB$.
因为 $CD = \frac{1}{2} AB$, 所以 $CE = CD$, 所以 $∠CDE=∠DEC$.
因为 $∠AED = 165°$, 所以 $∠BED = 180° - 165°=15°$.
因为 $∠EBC = ∠CDE + ∠BED$, 所以 $∠EBC=∠ECB=∠CDE+15°$.
因为 $∠AED = ∠CDE + ∠DBE$, $∠DBE = ∠ECB + ∠CEB$, 所以 $∠AED = ∠CDE + ∠ECB + ∠CEB$.
因为 $∠CEB = ∠CED - ∠BED$, 所以 $∠CEB = ∠CDE-15°$, 所以 $∠AED=∠CDE+∠CDE+15°+∠CDE-15° = 3∠CDE$, 所以 $∠CDE = 55°$, 所以 $∠EBC=55°+15°=70°$, 所以 $∠BAC = 180°-90°-70°=20°$.
思路分析
(2)根据直角三角形的性质推出 $BE=CE$, 根据等腰三角形的性质推出 $∠B = ∠ECB$, $∠CDE=∠DEC$, 根据三角形的外角性质推出 $∠B=2∠CDE$, $∠AED=3∠CDE$, 进而求出 $∠B = 70°$, 再根据三角形内角和定理求解即可.
关键点拨
理解题意并画出图形, 再利用勾股定理求出所需线段长度是解题关键.