6. (2025·成华)下列命题正确的是 ()
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 一组邻边相等的四边形是菱形
C. 平行四边形的对角线互相平分且相等
D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等

6. D

7. (2023·郫都)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,□BCDE的顶点E在边AB上,连接CE,AD.添加一个条件,可以使四边形ADCE成为菱形的是 ()

A. CE⊥AB
B. CD⊥AD
C. CD= CE
D. AC= DE

7. C

8. (2022·河北)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边DC,BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG= AB,则∠EAF= ()

A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

8. B

9. (1)(2022·成华)如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上一点,且FC= 2BF,连接AE,EF,AF.若AB= 2,AD= 3,求∠AEF的度数。

(2)(2023·新都)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边AD,CD的中点,连接MN,OM.若MN= 3,$S_{菱形ABCD}= 24,$求OM的长。

9. (1)[解]∵四边形 ABCD 是矩形，$AD=3$，$AB=2$，∴$∠B=∠C=90^{\circ}$，$CD=AB=2$，$BC=AD=3$。∵E 是 CD 的中点，$FC=2BF$，∴$CE=DE=1$，$BF=1$，$FC=2$，∴$AB=FC=2$，$BF=CE=1$。在$△ABF$和$△FCE$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=FC,\\ ∠B=∠C,\\ BF=CE,\end{array}\right.$ ∴$△ABF≌△FCE(SAS)$，∴$AF=FE$，$∠BAF=∠CFE$。∵$∠B=90^{\circ}$，∴$∠BAF+∠AFB=90^{\circ}$，∴$∠CFE+∠AFB=90^{\circ}$，∴$∠AFE=180^{\circ}-(∠CFE+∠AFB)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，∴$△AFE$是等腰直角三角形，∴$∠AEF=45^{\circ}$。(2)[解]∵M，N 分别是边 AD，CD 的中点，∴MN 是$△ACD$的中位线，∴$AC=2MN=2×3=6$。∵四边形 ABCD 是菱形，$S_{菱形ABCD}=24$，∴$OA=OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=OD$，$AC⊥BD$，$\frac{1}{2}AC\cdot BD=24$，即$\frac{1}{2}×6\cdot BD=24$，∴$BD=8$，∴$OD=\frac{1}{2}BD=4$。在$Rt△OCD$中，由勾股定理，得$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。∵M 是 AD 的中点，$OA=OC$，∴OM 是$△ACD$的中位线，∴$OM=\frac{1}{2}CD=2.5$。

10. (2022·邛崃)如图,已知在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是DB延长线上一点,且△ACE是等边三角形。
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 若∠AEB= 2∠EAB,求证：四边形ABCD是正方形。

10. [证明](1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴$AO=CO$。∵$△ACE$是等边三角形，∴$AE=CE$，∴$BD⊥AC$，∴平行四边形 ABCD 是菱形。(2)由(1)知$△AOE$是直角三角形，∴$∠AEB+∠EAO=90^{\circ}$。∵$△ACE$是等边三角形，∴$∠EAO=60^{\circ}$，∴$∠AEB=30^{\circ}$。∵$∠AEB=2∠EAB$，∴$∠EAB=15^{\circ}$，∴$∠BAO=∠EAO-∠EAB=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}$。又∵四边形 ABCD 是菱形，∴$∠BAD=2∠BAO=90^{\circ}$，∴四边形 ABCD 是正方形。