21. (10分)如图①,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)证明：△ADC≌△CEB.
(2)证明：AD+BE= DE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并证明.

(1)∵AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，
　∴∠ADC = ∠CEB = 90°，∴∠DAC + ∠DCA = 90°。
　又∠ACB = 90°，∴∠DCA + ∠BCE = 90°，
　∴∠DAC = ∠BCE。
又AC = BC，∴△ADC≌△CEB。
　　(2)由(1)知△ADC≌△CEB，∴AD = CE，DC = BE。
　∵CE + DC = DE，∴AD + BE = DE。
　　(3)DE + BE = AD。证明如下:
　∵∠ACD + ∠BCE = 90°，∠BCE + ∠CBE = 90°，
　∴∠ACD = ∠CBE。
　又AC = BC，∠ADC = ∠CEB，∴△ADC≌△CEB，
　∴AD = CE，CD = BE。又DE + CD = CE，∴DE + BE = AD。

22. (12分)课本中,把长与宽之比为√2的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开,如图①所示,所得的矩形纸片ABEF是否是标准纸？请给予证明.

(2)在一次综合实践课上,小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠,使B点落在AD边上点F处,折痕为AE(如图②甲)；
第二步：沿过D点的直线折叠,使C点落在AD边上点N处,折痕为DG(如图②乙),此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠(如图②丙),此时点G恰好与N点重合.
请你探究：矩形纸片ABCD是不是一张标准纸？并说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按图③一次又一次对开后,所得的矩形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD,AB= 1,BC= √2,问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？

(1)是标准纸。证明如下:
　∵矩形ABCD是标准纸，∴$\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$。
　由对开的含义知，$AF=\frac{1}{2}BC$，
　∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AB}{\frac{1}{2}BC}=2\cdot\frac{AB}{BC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
　∴矩形纸片ABEF是标准纸。
　(2)是标准纸，理由如下:
　设AB = CD = a，
　由图形折叠可知，DN = CD = DG = a，DG⊥EM，
　由图形折叠可知△ABE≌△AFE，
　∴$∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD = 45^{\circ}$，
　∴△ADG是等腰直角三角形，
　∴在Rt△ADG中，$AD=\sqrt{2}DG=\sqrt{2}a$，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，
　∴矩形纸片ABCD是一张标准纸。
　(3)对开次数与所得标准纸的周长有如下对应关系:
　第1次，周长为$2×(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=2+\sqrt{2}$；
　第2次，周长为$2×(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=1+\sqrt{2}$；
　第3次，周长为$2×(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4})=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$；
　第4次，周长为$2×(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4})=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
　第5次，周长为$2×(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{8})=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$。