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1. 下列方程:① $3x^{2}+x = 20$;② $x^{2}-3xy + 4 = 0$;③ $x^{2}-\frac{1}{x}= 4$;④ $x^{2}= 4$;⑤ $x^{2}-\frac{x}{3}+3 = 0$. 其中一元二次方程共有( )
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
答案
B
解析
①是一元二次方程；②含有两个未知数，不是一元二次方程；③不是整式方程，不是一元二次方程；④是一元二次方程；⑤是一元二次方程。共有3个一元二次方程。
B
B
2. 方程 $x(x - 2)+x - 2 = 0$ 的根是( )
A.$x = 2$
B.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
C.$x = -1$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= -1$
A.$x = 2$
B.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
C.$x = -1$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= -1$
答案
D
解析
$x(x - 2)+x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = -1$
D
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = -1$
D
3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+ax - 1 = 0$ 的根的情况是( )
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
答案
D
解析
对于一元二次方程$x^{2}+ax - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = a$，$c=-1$。
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = a^{2}-4×1×(-1)=a^{2}+4$。
因为$a^{2}\geq0$，所以$a^{2}+4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$。
方程有两个不相等的实数根。
D
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = a^{2}-4×1×(-1)=a^{2}+4$。
因为$a^{2}\geq0$，所以$a^{2}+4\geq4＞0$，即$\Delta＞0$。
方程有两个不相等的实数根。
D
4. 已知方程 $x^{2}-6x + q = 0$ 可化成 $(x - p)^{2}= 7$ 的形式,那么 $x^{2}-6x + q = 2$ 可化成( )
A.$(x - p)^{2}= 5$
B.$(x - p)^{2}= 9$
C.$(x - p + 2)^{2}= 5$
D.$(x - p + 2)^{2}= 9$
A.$(x - p)^{2}= 5$
B.$(x - p)^{2}= 9$
C.$(x - p + 2)^{2}= 5$
D.$(x - p + 2)^{2}= 9$
答案
B
解析
将方程$x^{2}-6x + q = 0$配方：$x^{2}-6x=-q$，$x^{2}-6x + 9=-q + 9$，即$(x - 3)^{2}=9 - q$。已知其可化为$(x - p)^{2}=7$，故$p = 3$，$9 - q=7$，得$q = 2$。
方程$x^{2}-6x + q = 2$为$x^{2}-6x + 2=2$，即$x^{2}-6x=0$，配方得$x^{2}-6x + 9=9$，即$(x - 3)^{2}=9$，也就是$(x - p)^{2}=9$。
B
方程$x^{2}-6x + q = 2$为$x^{2}-6x + 2=2$，即$x^{2}-6x=0$，配方得$x^{2}-6x + 9=9$，即$(x - 3)^{2}=9$，也就是$(x - p)^{2}=9$。
B
5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+3x + k^{2}-1 = 0$ 的一个根为 $0$,则 $k$ 的值为( )
A.$k = \pm 1$
B.$k = 1$
C.$k = -1$
D.$k \neq 1$
A.$k = \pm 1$
B.$k = 1$
C.$k = -1$
D.$k \neq 1$
答案
C
解析
因为方程$(k - 1)x^{2}+3x + k^{2}-1 = 0$的一个根为$0$，将$x=0$代入方程得：$k^{2}-1=0$，解得$k=\pm1$。又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$k - 1\neq0$，即$k\neq1$。综上，$k=-1$。
C
C
6. 若 $(x + y)^{2}-4(x + y)+3 = 0$,则 $x + y$ 的值为( )
A.3
B.-3
C.1 或 3
D.-3 或 -1
A.3
B.-3
C.1 或 3
D.-3 或 -1
答案
C
解析
设$t = x + y$，则原方程可化为$t^{2}-4t + 3=0$。
因式分解得$(t - 1)(t - 3)=0$。
所以$t - 1 = 0$或$t - 3 = 0$，解得$t = 1$或$t = 3$，即$x + y = 1$或$x + y = 3$。
C
因式分解得$(t - 1)(t - 3)=0$。
所以$t - 1 = 0$或$t - 3 = 0$，解得$t = 1$或$t = 3$，即$x + y = 1$或$x + y = 3$。
C
7. 若关于 $x$ 的二次三项式 $2x^{2}-mx + 3$ 是完全平方式,则 $m$ 的值为( )
A.24
B.$2\sqrt{6}$
C.$\pm 2\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{3}$
A.24
B.$2\sqrt{6}$
C.$\pm 2\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
C
解析
因为二次三项式$2x^{2}-mx + 3$是完全平方式，可设$2x^{2}-mx + 3=(\sqrt{2}x\pm\sqrt{3})^{2}$。
展开$(\sqrt{2}x\pm\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2}x)^{2}\pm2×\sqrt{2}x×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=2x^{2}\pm2\sqrt{6}x + 3$。
对比$2x^{2}-mx + 3$与$2x^{2}\pm2\sqrt{6}x + 3$，可得$-m=\pm2\sqrt{6}$，即$m=\pm2\sqrt{6}$。
C
展开$(\sqrt{2}x\pm\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{2}x)^{2}\pm2×\sqrt{2}x×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=2x^{2}\pm2\sqrt{6}x + 3$。
对比$2x^{2}-mx + 3$与$2x^{2}\pm2\sqrt{6}x + 3$，可得$-m=\pm2\sqrt{6}$，即$m=\pm2\sqrt{6}$。
C
8. 若 $m,n$ 是方程 $x^{2}-x - 2026 = 0$ 的两根,则 $m^{2}-2m - n$ 的值为( )
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
A.2024
B.2025
C.2026
D.2027
答案
B
解析
解：
∵$m$是方程$x^{2}-x - 2026 = 0$的根，
∴$m^{2}-m - 2026 = 0$，即$m^{2}=m + 2026$。
∵$m,n$是方程$x^{2}-x - 2026 = 0$的两根，
∴由韦达定理得$m + n = 1$。
则$m^{2}-2m - n=(m + 2026)-2m - n=2026 - (m + n)=2026 - 1=2025$。
B
∵$m$是方程$x^{2}-x - 2026 = 0$的根，
∴$m^{2}-m - 2026 = 0$，即$m^{2}=m + 2026$。
∵$m,n$是方程$x^{2}-x - 2026 = 0$的两根，
∴由韦达定理得$m + n = 1$。
则$m^{2}-2m - n=(m + 2026)-2m - n=2026 - (m + n)=2026 - 1=2025$。
B
9. 配方法是代数计算或变形的常用方法之一,某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中,得到如下结论:
① 若 $x^{2}+ax + 10= (x - 3)^{2}+1$,则 $a = \pm 6$;
② 若 $x^{2}+4y^{2}= 12,xy = 1$,则 $x + 2y = \pm 4$;
③ 若 $a^{2}+b^{2}+2c^{2}= 2bc - 2ac$,则 $a + b$ 的值是 $0$ 或 $1$;
④ 若 $a + 4\sqrt{3}= (m + n\sqrt{3})^{2}$,且 $a,m,n$ 均为正整数,则 $a$ 的值为 $13$ 或 $7$.
其中正确的结论个数是( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
① 若 $x^{2}+ax + 10= (x - 3)^{2}+1$,则 $a = \pm 6$;
② 若 $x^{2}+4y^{2}= 12,xy = 1$,则 $x + 2y = \pm 4$;
③ 若 $a^{2}+b^{2}+2c^{2}= 2bc - 2ac$,则 $a + b$ 的值是 $0$ 或 $1$;
④ 若 $a + 4\sqrt{3}= (m + n\sqrt{3})^{2}$,且 $a,m,n$ 均为正整数,则 $a$ 的值为 $13$ 或 $7$.
其中正确的结论个数是( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
① $x^{2}+ax + 10=(x - 3)^{2}+1=x^{2}-6x + 10$，则$a=-6$，结论①错误。
② $(x + 2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}=12 + 4×1=16$，则$x + 2y=\pm 4$，结论②正确。
③ $a^{2}+b^{2}+2c^{2}-2bc + 2ac=0$，$(a + c)^{2}+(b - c)^{2}=0$，得$a=-c$，$b=c$，$a + b=0$，结论③错误。
④ $(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+2mn\sqrt{3}+3n^{2}$，$\begin{cases}2mn=4\\a=m^{2}+3n^{2}\end{cases}$，$mn=2$，$m,n$正整数，$\begin{cases}m=2,n=1\\m=1,n=2\end{cases}$，$a=4 + 3=7$或$a=1 + 12=13$，结论④正确。
正确结论个数为2个。
B
② $(x + 2y)^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}=12 + 4×1=16$，则$x + 2y=\pm 4$，结论②正确。
③ $a^{2}+b^{2}+2c^{2}-2bc + 2ac=0$，$(a + c)^{2}+(b - c)^{2}=0$，得$a=-c$，$b=c$，$a + b=0$，结论③错误。
④ $(m + n\sqrt{3})^{2}=m^{2}+2mn\sqrt{3}+3n^{2}$，$\begin{cases}2mn=4\\a=m^{2}+3n^{2}\end{cases}$，$mn=2$，$m,n$正整数，$\begin{cases}m=2,n=1\\m=1,n=2\end{cases}$，$a=4 + 3=7$或$a=1 + 12=13$，结论④正确。
正确结论个数为2个。
B
10. 若一人患了流感,经过两轮传染后共有 $121$ 人感染了流感. 按照这样的传染速度,若 $3$ 人患了流感,第一轮传染后患流感的人数共有( )
A.1331 人
B.363 人
C.33 人
D.30 人
A.1331 人
B.363 人
C.33 人
D.30 人
答案
C
解析
设每轮传染中平均一个人传染给$x$人。
依题意，得$1 + x + x(1 + x) = 121$，
整理得$(1 + x)^2 = 121$，
解得$x_1 = 10$，$x_2 = -12$（不合题意，舍去）。
若$3$人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有$3 + 3×10 = 33$人。
C
依题意，得$1 + x + x(1 + x) = 121$，
整理得$(1 + x)^2 = 121$，
解得$x_1 = 10$，$x_2 = -12$（不合题意，舍去）。
若$3$人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有$3 + 3×10 = 33$人。
C
