29. 问题背景:我们知道,三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半,如何证明三角形中位线定理呢?
已知:如图 1,在△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 的中点. 求证:DE // BC,DE = $\frac{1}{2}$BC.
分析:问题中既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半. 我们可以用“倍长法”将 DE 延长一倍:如图 2,延长 DE 到点 F,使 EF = DE,连接 FC. 通过证明 △ADE ≌ △CFE,再证明四边形 DBCF 是平行四边形,即可得证.





问题解决:
(1)上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是.
A. 数形结合思想
B. 转化思想
C. 分类讨论思想
D. 方程思想
(2)证明四边形 DBCF 是平行四边形的依据是.
反思交流:“智慧小组”在证明定理时,在图 1 的基础上追加了如下辅助线作法:如图 3,分别过点 A,B,C 作 DE 的垂线,垂足分别为 F,H,G.
(3)请你根据“智慧小组”添加的辅助线,证明三角形的中位线定理.
方法迁移:
(4)如图 4,在菱形 ABCD 中,∠D = 60°,点 E 为射线 BC 上一个动点,把线段 EC 绕点 E 逆时针旋转 120°得到线段 EC',连接 BC',点 F 是 BC'的中点,连接 AC,AE,CF,EF.
①试判断线段 EF 和 AE 的数量关系,并说明理由;
②若菱形 ABCD 的边长为 4,CF = $\frac{1}{2}$CE,请直接写出 CF 的长.

(1)B
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(3)证明见解析
(4)①EF=1/2AE；②1或2

(1)“倍长法”将中位线问题转化为平行四边形问题，体现转化思想。
(2)由△ADE≌△CFE得AD=FC，∠ADE=∠F，故AD//FC，又AD=DB，所以DB=FC且DB//FC，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。
(3)过A,B,C作DE垂线，垂足F,H,G。易证△ADF≌△BDH(AAS)得DF=DH，AF=BH；△AEF≌△CEG(AAS)得EF=EG，AF=CG。故BH=CG且BH//CG，四边形BHCG为平行四边形，BC//HG即DE//BC。HG=2DE，BC=HG，故DE=1/2BC。
(4)①设菱形边长为4，坐标法得E(e,0)，C'(3e/2,-√3e/2)，F(3e/4-2,-√3e/4)。计算AE²=(e+2)²+12，EF²=(e²+4e+16)/4，得AE=2EF，即EF=1/2AE。
②E在BC延长线，CF=k，CE=2k。CF²=3k²-6k+4=k²，解得k=1或2。