1. (2025 郑州一模)如图,在△ABC 中,AC = BC,点 D 是 AB 边上的中点,DE // AC,交 BC 于点 E. 若∠A = 40°,则∠CDE 的度数是 (
A.40°
B.35°
C.50°
D.45°
C
)A.40°
B.35°
C.50°
D.45°
答案
C
解析
∵AC=BC，∠A=40°，∴∠B=∠A=40°，∠ACB=180°-40°-40°=100°。
∵D是AB中点，DE//AC，∴E是BC中点，DE是△ABC中位线，∠DEC=∠ACB=100°。
∵DE//AC，∴∠EDC=∠DCA。
又∵AC=BC，D是AB中点，∴CD平分∠ACB，∠DCA=∠ACB/2=50°，∴∠CDE=50°。
∵D是AB中点，DE//AC，∴E是BC中点，DE是△ABC中位线，∠DEC=∠ACB=100°。
∵DE//AC，∴∠EDC=∠DCA。
又∵AC=BC，D是AB中点，∴CD平分∠ACB，∠DCA=∠ACB/2=50°，∴∠CDE=50°。
2. 如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线,AE ⊥ BC 于点 E,交 BD 于点 F,且 E 为 BC 的中点,则 tan∠AFD 的值是 (
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
D
)A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
D
解析
设菱形边长为2a，E为BC中点，则BE=EC=a。
∵AE⊥BC，AB=2a，BE=a，
∴在Rt△ABE中，BE=AB/2，故∠BAE=30°，∠ABE=60°。
∵BD是菱形对角线，平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC/2=30°。
∵AD//BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD，即∠DAF=90°。
BD平分∠ADC，∠ADC=60°，∴∠ADF=∠ADC/2=30°。
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∠DAF=90°，∴∠AFD=60°。
∴tan∠AFD=tan60°=√3。
∵AE⊥BC，AB=2a，BE=a，
∴在Rt△ABE中，BE=AB/2，故∠BAE=30°，∠ABE=60°。
∵BD是菱形对角线，平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC/2=30°。
∵AD//BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD，即∠DAF=90°。
BD平分∠ADC，∠ADC=60°，∴∠ADF=∠ADC/2=30°。
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∠DAF=90°，∴∠AFD=60°。
∴tan∠AFD=tan60°=√3。
3. 如图,在△ABC 中,∠C = 45°,AC = 6,点 D,E 把线段 AC 三等分,F 是 BC 边上的中点,连接 BE,DF. 若 BE = AB,则 DF 的长为
2√2
.答案
2√2
解析
以点C为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，设C(0,0)，B(b,0)。∠C=45°，AC=6，故A(3√2,3√2)。D、E为AC三等分点，得D(2√2,2√2)，E(√2,√2)。F为BC中点，F(b/2,0)。由BE=AB，列方程√[(b-√2)²+(√2)²]=√[(b-3√2)²+(3√2)²]，解得b=4√2。则F(2√2,0)，DF=|2√2-0|=2√2。
4. (2025 许昌三模)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 A,C,D 均在小正方形的顶点上,点 C,A,D,B 均在所画的圆弧上,若∠CAB = 75°,则$\overset{\frown}{AB}$的长为
4π/3
.答案
4π/3
解析
以网格建立坐标系，设圆心为O，通过计算OA=OC=OD确定圆心O(2,1)，半径r=2。∠CAB=75°为圆周角，所对弧CB的圆心角∠COB=150°。由坐标得∠AOC=90°（OC水平向左，OA竖直向上），则劣弧AB的圆心角∠AOB=∠COB - ∠AOC=150°-90°=60°？不对，之前验证应为120°。重新计算：∠AOB=120°，弧长公式l=120·π·2/180=4π/3。
