训练 5. (2025 深圳)综合与探究
【探索发现】如图 1,小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形.
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形,使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角,此时该四边形称为“双等四边形”,原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”. 如图 2,在△ABC 中,AB = AC,AC = AD,∠D = ∠BAC. 此时,四边形 ABCD 是“双等四边形”,△ABC 是四边形 ABCD 的“伴随三角形”.
【问题解决】(1)如图 3,在四边形 ABCD 中,AB = AC,AD = CD,∠D = ∠BAC.
①AD 与 BC 的位置关系为:;②AC²AD·BC(填“＞”“＜”或“=”).




【方法应用】(2)①如图 4,在△ABC 中,AC = BC. 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转至△ADE,点 D 恰好落在 BC 边上,求证:四边形 ABDE 是双等四边形.
②如图 5,在等腰三角形 ABC 中,AC = BC,cos B = $\frac{3}{5}$,AB = 5,在平面内是否存在一点 D,使四边形 ABCD 是以△ABC 为伴随三角形的双等四边形? 若存在,请求出 CD 的长;若不存在,请说明理由.

(1)①AD//BC；②=；(2)①证明见解析；②存在，CD的长为7/3或25/6或125/36。

(1)①在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，则∠ACB=(180°-α)/2。在△ADC中，AD=CD，∠D=α，则∠DAC=(180°-α)/2，故∠DAC=∠ACB，所以AD//BC。
②设∠BAC=∠D=α，AD=CD=x，AC=AB=y。在△ADC中，由余弦定理得AC²=2x²(1-cosα)；在△ABC中，BC²=2y²(1-cosα)，即BC=y√[2(1-cosα)]。联立得y²=AD·BC，即AC²=AD·BC。
(2)①由旋转得△ADE≌△ABC，故AE=AC，∠AED=∠ACB。因为AC=BC，△ABC顶角为∠C，所以∠AED=∠C，且AE=AC，符合“双等四边形”定义。
②在等腰△ABC中，AC=BC=25/6，cos∠ACB=7/35=1/5（此处修正为cosθ=7/25）。分三种情况：
以AC为腰，AC=AD，∠D=∠ACB，由余弦定理得CD=7/3；
以AC为腰，AC=CD，得CD=25/6；
以AC为底边，AD=CD，得CD=125/36。