3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$D$为$BC$的中点，$P$为$AD$上任意一点，$E$为$AC$上任意一点，则$PC + PE$的最小值为。

24/5

∵AB=AC，D为BC中点，∴AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点为点B，故PC=PB。则PC+PE=PB+PE。要使PB+PE最小，E在AC上，P在AD上，当BE⊥AC时，BE最短（点到直线距离最短），此时E为垂足，BE与AD交于点P。
由AB=AC=5，BC=6，得AD⊥BC，BD=3，AD=√(AB²-BD²)=4。
△ABC面积=1/2×BC×AD=1/2×6×4=12。
又△ABC面积=1/2×AC×BE，即1/2×5×BE=12，解得BE=24/5。
故PC+PE的最小值为24/5。

4. 如图，在正方形$ABCD$中，$AB = 4$，$P$是边$CD$的中点，$E$是对角线$BD$上的动点，$F$是边$BC$上的动点，则$\triangle PEF$周长的最小值为。

$2\sqrt{10}$

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，正方形ABCD顶点坐标：A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。P为CD中点，坐标P(2,4)。BD为对角线，方程y=-x+4；BC为x=4的竖直线段。
作P关于BD的对称点P₁。BD斜率-1，PP₁斜率1，设P₁(a,b)，由中点在BD及斜率关系得：$\begin{cases}\frac{b+4}{2}=-\frac{a+2}{2}+4\\frac{b-4}{a-2}=1\end{cases}$，解得P₁(0,2)。
作P关于BC的对称点P₂。BC为x=4，P₂横坐标为2×4-2=6，纵坐标不变，P₂(6,4)。
△PEF周长=PE+EF+FP，PE=P₁E，FP=FP₂，故周长=P₁E+EF+FP₂≥P₁P₂（当E、F分别为P₁P₂与BD、BC交点时取等）。
P₁P₂距离：$\sqrt{(6-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$。

例3
河的两岸$m$，$n$成平行线，$A$，$B$是位于河两岸的两个车间(如图)，要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使$A$，$B$间的路程最短。为解决问题，小强同学建立如图所示的平面直角坐标系，已知$A(0,2)$，$B(5, - 3)$，$D(0, - 1)$，分别在直线$m$和$n$上找点$M$，$N$，使得$MN⊥ x$轴，且$AM + BN$的值最小。
(1) 请在图中画出点$M$和点$N$的位置；

(2) $AM + BN$的值最小时点$M$的坐标为，点$N$的坐标为。

(1)
(2)(0,2)；(5,-3)

5. 在矩形$ABCD$中，$AB = 10$，$AD = 4$，$E$为线段$AD$中点，线段$FG$在线段$AB$上移动，且$FG = 2$，连接$EF$，$CG$，则$EF + CG$的最小值为()

A.$10$
B.$2\sqrt{5} + 4\sqrt{2}$
C.$12$
D.$2\sqrt{29}$

A

以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(10,0)，C(10,4)，D(0,4)，E为AD中点，E(0,2)。设F(t,0)，则G(t+2,0)(0≤t≤8)。
EF=√[(t-0)²+(0-2)²]=√(t²+4)，CG=√[(t+2-10)²+(0-4)²]=√[(t-8)²+16]。
EF+CG=√(t²+4)+√[(t-8)²+16]，即x轴上点(t,0)到(0,2)和(8,4)的距离之和。
作(0,2)关于x轴的对称点(0,-2)，连接(0,-2)与(8,4)，距离为√[(8-0)²+(4+2)²]=√(64+36)=10。
故EF+CG最小值为10。