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活动1 生活中的阶梯计价问题
居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人)，称这样的收费方式为阶梯计价。
(1)如果小明家这年用水量为$t\ \mathrm{m}^3$($t$是正整数)，用$t$表示出小明家这年的水费；
(2)已知某户居民一年的水费为868元，这户居民的年用水量是多少立方米？
(3)请简要介绍一下你家在节约用水方面有哪些措施；
(4)根据你的了解，生活中还有哪些阶梯计费问题？
居民生活用水通常按户计费，下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人)，称这样的收费方式为阶梯计价。
(1)如果小明家这年用水量为$t\ \mathrm{m}^3$($t$是正整数)，用$t$表示出小明家这年的水费；
(2)已知某户居民一年的水费为868元，这户居民的年用水量是多少立方米？
(3)请简要介绍一下你家在节约用水方面有哪些措施；
(4)根据你的了解，生活中还有哪些阶梯计费问题？
答案
1. 当0＜t≤180时，水费为4.2t元；当180＜t≤240时，水费为180×4.2+5.6(t-180)=(5.6t-252)元；当t＞240时，水费为180×4.2+(240-180)×5.6+(t-240)×7.2=(7.2t-636)元。
2. 因为180×4.2=756(元)，180×4.2+(240-180)×5.6=1 092(元)，所以这户居民的年用水量范围为180＜t≤240。所以5.6t-252=868，解得t=200。答：这户居民的年用水量是200 m³。
3. 答案不唯一，合理即可。
4. 略
2. 因为180×4.2=756(元)，180×4.2+(240-180)×5.6=1 092(元)，所以这户居民的年用水量范围为180＜t≤240。所以5.6t-252=868，解得t=200。答：这户居民的年用水量是200 m³。
3. 答案不唯一，合理即可。
4. 略
解析
【分析】
1. 第(1)问属于阶梯计费的代数式表示问题，由于不同用水量区间的收费单价不同，因此需要按照阶梯分界点180m³、240m³分三种情况讨论，分别根据“总费用=各段费用之和”计算对应区间的水费，再化简代数式即可。
2. 第(2)问是已知水费求用水量，首先计算第一阶梯、第二阶梯的最高缴费金额，判断868元对应的用水量区间，再代入对应区间的水费表达式列一元一次方程求解即可。
3. 第(3)(4)问为开放类问题，结合生活实际作答，合理即可。
【解析】
(1) 分三种情况讨论：
① 当年用水量$0＜ t≤180$时，全部用水量按第一阶梯单价收费，水费为$4.2t$元；
② 当年用水量$180＜ t≤240$时，180m³按第一阶梯收费，超出180m³的$(t-180)\mathrm{m}^3$按第二阶梯收费，水费为：
$180×4.2 + 5.6(t-180)=756 + 5.6t - 1008=(5.6t - 252)$元；
③ 当年用水量$t＞240$时，180m³按第一阶梯收费，180~240m³的60m³按第二阶梯收费，超出240m³的$(t-240)\mathrm{m}^3$按第三阶梯收费，水费为：
$180×4.2 + (240-180)×5.6 + 7.2(t-240)=756 + 336 +7.2t - 1728=(7.2t - 636)$元。
(2) 先计算各阶梯满额缴费金额：
第一阶梯满额（用水量180m³）水费：$180×4.2=756$元；
第二阶梯满额（用水量240m³）水费：$756 + (240-180)×5.6=1092$元。
已知该户水费为868元，$756＜868＜1092$，因此该户用水量在第二阶梯区间，代入对应水费表达式得：
$5.6t - 252 = 868$
解得：$t = 200$。
(3) 示例：随手关闭未关紧的水龙头；洗菜、淘米的水用来冲厕所、浇花，合理即可。
(4) 示例：居民生活用电阶梯计费、出租车阶梯计价，合理即可。
【答案】
(1) 当$0＜ t≤180$时，水费为$4.2t$元；当$180＜ t≤240$时，水费为$(5.6t - 252)$元；当$t＞240$时，水费为$(7.2t - 636)$元。
(2) 这户居民的年用水量是$200\ \mathrm{m}^3$。
(3) 答案不唯一，合理即可。
(4) 答案不唯一，合理即可。
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯水价场景，考查分类讨论思想的应用，以及用代数式、一元一次方程解决实际问题的能力，开放设问引导学生关注生活常识，培养节约意识，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问属于阶梯计费的代数式表示问题，由于不同用水量区间的收费单价不同，因此需要按照阶梯分界点180m³、240m³分三种情况讨论，分别根据“总费用=各段费用之和”计算对应区间的水费，再化简代数式即可。
2. 第(2)问是已知水费求用水量，首先计算第一阶梯、第二阶梯的最高缴费金额，判断868元对应的用水量区间，再代入对应区间的水费表达式列一元一次方程求解即可。
3. 第(3)(4)问为开放类问题，结合生活实际作答，合理即可。
【解析】
(1) 分三种情况讨论：
① 当年用水量$0＜ t≤180$时，全部用水量按第一阶梯单价收费，水费为$4.2t$元；
② 当年用水量$180＜ t≤240$时，180m³按第一阶梯收费，超出180m³的$(t-180)\mathrm{m}^3$按第二阶梯收费，水费为：
$180×4.2 + 5.6(t-180)=756 + 5.6t - 1008=(5.6t - 252)$元；
③ 当年用水量$t＞240$时，180m³按第一阶梯收费，180~240m³的60m³按第二阶梯收费，超出240m³的$(t-240)\mathrm{m}^3$按第三阶梯收费，水费为：
$180×4.2 + (240-180)×5.6 + 7.2(t-240)=756 + 336 +7.2t - 1728=(7.2t - 636)$元。
(2) 先计算各阶梯满额缴费金额：
第一阶梯满额（用水量180m³）水费：$180×4.2=756$元；
第二阶梯满额（用水量240m³）水费：$756 + (240-180)×5.6=1092$元。
已知该户水费为868元，$756＜868＜1092$，因此该户用水量在第二阶梯区间，代入对应水费表达式得：
$5.6t - 252 = 868$
解得：$t = 200$。
(3) 示例：随手关闭未关紧的水龙头；洗菜、淘米的水用来冲厕所、浇花，合理即可。
(4) 示例：居民生活用电阶梯计费、出租车阶梯计价，合理即可。
【答案】
(1) 当$0＜ t≤180$时，水费为$4.2t$元；当$180＜ t≤240$时，水费为$(5.6t - 252)$元；当$t＞240$时，水费为$(7.2t - 636)$元。
(2) 这户居民的年用水量是$200\ \mathrm{m}^3$。
(3) 答案不唯一，合理即可。
(4) 答案不唯一，合理即可。
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯水价场景，考查分类讨论思想的应用，以及用代数式、一元一次方程解决实际问题的能力，开放设问引导学生关注生活常识，培养节约意识，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
活动2 木杆挂重物问题
小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题后，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图所示的简易杆秤，其中秤盘质量为10 g，重物质量为m g，秤砣质量为100 g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻线的水平距离为a cm，零刻线与末刻线的水平距离为50 cm. 当秤盘不放重物且秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为500 g的重物且秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡.
(1)l与a的数量关系是
(2)列方程求解：小明在秤盘上放了一本笔记本，秤砣位于零刻线右侧15 cm处时，杆秤平衡，求笔记本的质量.
小明在数学活动课上学习了木杆挂重物问题后，觉得意犹未尽，在课余时间制作了如图所示的简易杆秤，其中秤盘质量为10 g，重物质量为m g，秤砣质量为100 g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻线的水平距离为a cm，零刻线与末刻线的水平距离为50 cm. 当秤盘不放重物且秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为500 g的重物且秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡.
(1)l与a的数量关系是
l=10a
；(2)列方程求解：小明在秤盘上放了一本笔记本，秤砣位于零刻线右侧15 cm处时，杆秤平衡，求笔记本的质量.
答案
1. l=10a
2. 笔记本的质量为150 g.
2. 笔记本的质量为150 g.
解析
【分析】
本题是结合杆秤平衡的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解第一问：根据“秤盘不放重物且秤砣在零刻线时杆秤平衡”的条件，可知平衡时两侧质量与对应水平距离的乘积相等，代入已知数据列等式化简，即可得到l与a的数量关系。
2. 求解第二问：先设笔记本质量为未知数，根据杆秤平衡的等量关系列方程，结合第一问得到的l和a的关系，以及500g重物对应秤砣移动50cm的平衡条件，消去未知的力臂参数，即可解出笔记本的质量。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物、秤砣在零刻线杆秤平衡时，满足等量关系：
$\mathrm{秤盘质量} × \mathrm{秤纽到秤盘距离} = \mathrm{秤砣质量} × \mathrm{秤纽到零刻线距离}$
代入数据得：$10l=100a$，化简得$l=10a$。
(2) 设笔记本的质量为$m$ g。
已知放入500g重物、秤砣在零刻线右侧50cm时杆秤平衡，此时满足：
$(10+500)l=100(a+50)$
将$l=10a$代入上式：
$510×10a=100(a+50)$
$5100a=100a+5000$
解得$a=1$，因此$l=10×1=10$ cm。
当秤砣在零刻线右侧15cm平衡时，列等式：
$(10+m)× l=100(a+15)$
将$l=10$、$a=1$代入：
$(10+m)×10=100×(1+15)$
$10(10+m)=1600$
解得$m=150$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{l=10a}$
(2) 笔记本的质量为$\boldsymbol{150\ \mathrm{g}}$
【知识点】
一元一次方程的应用，等量代换，等式的性质
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景，考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题核心是准确理解杆秤平衡的条件，通过等量代换消去无关未知量，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是结合杆秤平衡的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解第一问：根据“秤盘不放重物且秤砣在零刻线时杆秤平衡”的条件，可知平衡时两侧质量与对应水平距离的乘积相等，代入已知数据列等式化简，即可得到l与a的数量关系。
2. 求解第二问：先设笔记本质量为未知数，根据杆秤平衡的等量关系列方程，结合第一问得到的l和a的关系，以及500g重物对应秤砣移动50cm的平衡条件，消去未知的力臂参数，即可解出笔记本的质量。
【解析】
(1) 当秤盘不放重物、秤砣在零刻线杆秤平衡时，满足等量关系：
$\mathrm{秤盘质量} × \mathrm{秤纽到秤盘距离} = \mathrm{秤砣质量} × \mathrm{秤纽到零刻线距离}$
代入数据得：$10l=100a$，化简得$l=10a$。
(2) 设笔记本的质量为$m$ g。
已知放入500g重物、秤砣在零刻线右侧50cm时杆秤平衡，此时满足：
$(10+500)l=100(a+50)$
将$l=10a$代入上式：
$510×10a=100(a+50)$
$5100a=100a+5000$
解得$a=1$，因此$l=10×1=10$ cm。
当秤砣在零刻线右侧15cm平衡时，列等式：
$(10+m)× l=100(a+15)$
将$l=10$、$a=1$代入：
$(10+m)×10=100×(1+15)$
$10(10+m)=1600$
解得$m=150$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{l=10a}$
(2) 笔记本的质量为$\boldsymbol{150\ \mathrm{g}}$
【知识点】
一元一次方程的应用，等量代换，等式的性质
【点评】
本题结合生活中常见的杆秤场景，考查了从实际问题中提取等量关系、列方程求解的能力，解题核心是准确理解杆秤平衡的条件，通过等量代换消去无关未知量，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
