9. 在$△ ABC$中，$∠ BAC = 100°$，$AB = AC$，$D$为$△ ABC$外一点，且$AD = AC$，则$∠ BDC =$______．

$50^{\circ}$或$130^{\circ}$

10. 如图,已知点 M 在 y 轴正半轴上,$\odot M$与 x 轴相切于原点 O,平行于 y 轴的直线交$\odot M$于 P、Q 两点,点 P 在点 Q 的下方,且点 P 的坐标是$(2,1)$,则$\odot M$的半径为________.

$\frac{5}{2}$

三、解答题
11. 某校九年级为迎接中考，准备了四份听力材料和两份口语材料，听力材料A、B、C、D的难易程度分别是易、中、难、难，口语材料E、F的难易程度分别是易、难.
(1)从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是______.
(2)用画树状图的方法列出分别从听力、口语材料中随机选一份组成一套完整的模拟试卷的所有情况，并求出两份材料都是难的组成一套模拟试卷的概率.

$\frac{1}{2}$ ; $解：画树状图如下： $由树状图可知，共有$8$种等可能的结果，其中两份材料都是难的结果有$2$种，所以两份材料都是难的组成一套模拟试卷的概率是$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}。$ ;

12. 某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、AD两边）。
(1)若花园的面积为75 m²，求AB的长。
(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12 m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），问：该花园的面积能否为100 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由。

解：（1）设$AB$的长为$x\ m，$则$AD = 20 - x，$根据矩形面积公式可得$x(20 - x)=75，$ 即$x^{2}-20x + 75 = 0，$ 因式分解得$(x - 5)(x - 15)=0，$ 解得$x = 5$或$x = 15。$ 答：$AB$的长为$5\ m$或$15\ m。$ （2）假设将这棵树围在矩形花园内，面积能为$100\ m^{2}。$设$AD$的长为$y\ m，$则$AB = 20 - y，$ 根据矩形面积公式可得$y(20 - y)=100，$ 即$y^{2}-20y + 100 = 0，$ 由完全平方公式得$(y - 10)^{2}=0，$ 解得$y = 10。$ 因为$10\lt12，$所以将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为$100\ m^{2}。$

13. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线,点 $O$ 在 $AB$ 上,以点 $O$ 为圆心、$OB$ 的长为半径的圆经过点 $D$,交 $BC$ 于点 $E$.
(1)求证:$AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)若 $OB=10$,$CD=5\sqrt{3}$,求图中阴影部分的面积.

（1）证明：如图，连接$OD。$ 因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle 1 = \angle 2。$ 因为$OB = OD，$所以$\angle 1 = \angle 3，$所以$\angle 2 = \angle 3，$所以$OD// BC，$所以$\angle ODA=\angle C = 90^{\circ}，$即$OD\perp AC。$ 因为$OD$为$\odot O$的半径，所以$AC$是$\odot O$的切线。 （2）解：如图，过点$O$作$OG\perp BC$于点$G，$连接$OE。$ 因为$\angle C = \angle ODC = \angle OGC = 90^{\circ}，$所以四边形$ODCG$为矩形，所以$GC = OD = OB = 10，$$OG = CD = 5\sqrt{3}。$ 在$Rt\triangle OBG$中，$BG=\sqrt{OB^{2}-OG^{2}}=\sqrt{10^{2}-(5\sqrt{3})^{2}} = 5，$所以$BE = 2BG = 10。$ 因为$OB = OE = BE = 10，$所以$\triangle OBE$是等边三角形。 所以$S_{阴影部分}=S_{扇形OBE}-S_{\triangle OBE}=\frac{60\times\pi\times10^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times10\times5\sqrt{3}=\frac{50\pi}{3}-25\sqrt{3}。$ ;