7. (2024·重庆)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心、AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为 （ ）
A. $32 - 8π$
B. $16\sqrt{3} - 4π$
C. $32 - 4π$
D. $16\sqrt{3} - 8π$

D

8. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A、B、C为圆心，以AB的长为半径作$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AB}$。三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形。若该“莱洛三角形”的周长为$3π$，则它的面积是$\underline{\hspace{5em}}$。

$\frac{9\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$

9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=1$,将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$30°$后得到$\mathrm{Rt}△ ADE$,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BD}$,则图中阴影部分的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.

$\frac{\pi}{6}$

10. 如图,把$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$放在直线$l$上,按顺时针方向在$l$上转动两次,使它转到$△ A''B''C'$的位置上.设$BC=1$,$AC=\sqrt{3}$,则顶点$A$运动到点$A''$的位置时,点$A$经过的路线长为______,点$A$经过的路线与直线$l$所围成的面积为______.

$(\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})\pi$ ; $\frac{25\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

11. 如图，已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AC$是直径，$∠ BAC=30°$，$BC=2$，$D$是$AB$的中点，连接$DO$并延长交$\odot O$于点$P$，过点$P$作$PF ⊥ AC$于点$F$。
(1) 求$\overset{\frown}{PC}$的长。
(2) 求阴影部分的面积。

解: (1)连接$OB。$ 因为$OA = OB，$$D$是$AB$的中点，所以$PD\perp AB。$ 因为$\angle BAC = 30^{\circ}，$所以$\angle AOD = 60^{\circ}，$所以$\angle POC=\angle AOD = 60^{\circ}。$ 因为$\angle BOC = 2\angle A = 60^{\circ}，$$OB = OC，$所以$\triangle OBC$是等边三角形，所以$OB = BC = 2，$即$\odot O$的半径为$2。$ 所以$\overset{\frown}{PC}$的长$l=\frac{60\times\pi\times2}{180}=\frac{2\pi}{3}。$ (2)因为$\angle POC = 60^{\circ}，$$PF\perp AC，$所以$\angle OPF = 30^{\circ}，$所以$OF=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}\times2 = 1。$ 在$Rt\triangle OPF$中，由勾股定理得$PF=\sqrt{OP^{2}-OF^{2}}=\sqrt{3}。$ $S_{阴影部分}=S_{扇形OCP}-S_{\triangle OPF}=\frac{60\times\pi\times2^{2}}{360}-\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}。$ ;

12. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，点M在$\odot O$上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
(1)根据条件，写出一对相等的线段或相等的角.
(2)若$CD=16$，$BE=4$，求$\odot O$的半径.
(3)若$\odot O$的半径是(2)中求得的半径，且$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}$，求$\overset{\frown}{CAD}$的长.

解: (1)因为$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB，$所以$CE = DE。$ (2)设$\odot O$的半径为$r。$ 因为$AB\perp CD，$所以$CE = DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\times16 = 8。$ 在$Rt\triangle DEO$中，$OE = OB - BE = r - 4，$$OD = r。$ 因为$OE^{2}+DE^{2}=OD^{2}，$所以$(r - 4)^{2}+8^{2}=r^{2}，$ $r^{2}-8r + 16+64=r^{2}，$ $-8r=-80，$ 解得$r = 10，$所以$\odot O$的半径为$10。$ (3)如图，连接$OC。$ 因为$OM = OB，$所以$\angle OBM=\angle OMB，$所以$\angle DOB=\angle OBM+\angle OMB = 2\angle OBM。$ 因为$\angle DOB+\angle ODC = 90^{\circ}，$所以$2\angle OBM+\angle ODC = 90^{\circ}。$ 因为$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{BD}，$所以$\angle M=\angle ODC，$所以$\angle OBM=\angle ODC，$所以$2\angle ODC+\angle ODC = 90^{\circ}，$所以$\angle ODC = 30^{\circ}，$所以$\angle DOE = 60^{\circ}，$所以$\angle COD = 120^{\circ}。$ 所以$\overset{\frown}{CAD}$的长为$\frac{240\times\pi\times10}{180}=\frac{40\pi}{3}。$ ;