例2 (2023 河南,23)李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯. 下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题,请你解答.
(1)观察发现
如图 1,在平面直角坐标系中,过点 M(4,0)的直线 l//y 轴,作△ABC 关于 y 轴对称的图形△A₁B₁C₁,再分别作△A₁B₁C₁ 关于 x 轴和直线 l 对称的图形△A₂B₂C₂ 和△A₃B₃C₃,则△A₂B₂C₂ 可以看作是△ABC 绕点 O 顺时针旋转得到的,旋转角的度数为
(2)探究迁移
如图 2,□ABCD 中,∠BAD = α(0°＜α＜90°),P 为直线 AB 下方一点,作点 P 关于直线 AB 的对称点 P₁,再分别作点 P₁ 关于直线 AD 和直线 CD 的对称点 P₂ 和 P₃,连接 AP,AP₂,请仅就图 2 的情形解决以下问题:
①若∠PAP₂ = β,请判断 β 与 α 的数量关系,并说明理由;
②若 AD = m,求 P,P₃ 两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下,若 α = 60°,AD = 2√3,∠PAB = 15°,连接 P₂P₃,当 P₂P₃ 与□ABCD 的边平行时,请直接写出 AP 的长.
(1)观察发现
如图 1,在平面直角坐标系中,过点 M(4,0)的直线 l//y 轴,作△ABC 关于 y 轴对称的图形△A₁B₁C₁,再分别作△A₁B₁C₁ 关于 x 轴和直线 l 对称的图形△A₂B₂C₂ 和△A₃B₃C₃,则△A₂B₂C₂ 可以看作是△ABC 绕点 O 顺时针旋转得到的,旋转角的度数为
180°
;△A₃B₃C₃ 可以看作是△ABC 向右平移得到的,平移距离为8
个单位长度.(2)探究迁移
如图 2,□ABCD 中,∠BAD = α(0°＜α＜90°),P 为直线 AB 下方一点,作点 P 关于直线 AB 的对称点 P₁,再分别作点 P₁ 关于直线 AD 和直线 CD 的对称点 P₂ 和 P₃,连接 AP,AP₂,请仅就图 2 的情形解决以下问题:
①若∠PAP₂ = β,请判断 β 与 α 的数量关系,并说明理由;
②若 AD = m,求 P,P₃ 两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下,若 α = 60°,AD = 2√3,∠PAB = 15°,连接 P₂P₃,当 P₂P₃ 与□ABCD 的边平行时,请直接写出 AP 的长.
答案
(1)180°;8 (2)①β=2α;②2m sinα (3)2√6或3√2-√6
解析
(1)△ABC→△A₁B₁C₁（y轴对称：(x,y)→(-x,y)）→△A₂B₂C₂（x轴对称：(-x,y)→(-x,-y)），坐标变换为(x,y)→(-x,-y)，即绕O顺时针旋转180°；△ABC→A(a,b)→A₁(-a,b)→A₃(8+a,b)，平移距离8。
(2)①设∠PAB=θ，∠P₁AD=φ，α=θ+φ。由对称知AP=AP₁=AP₂，∠PAP₁=2θ，∠P₁AP₂=2φ，故∠PAP₂=2(θ+φ)=2α，即β=2α。②PP₁⊥AB，P₁P₃⊥CD，AB//CD，P、P₁、P₃共线。AB与CD距离为h=AD sinα=m sinα，PP₃=2h=2m sinα。
(3)α=60°，AD=2√3，h=3，PP₃=6。∠PAB=15°，AP=AP₂=x。建系得P₂、P₃坐标，分P₂P₃//AB（Δy=0）和P₂P₃//AD（斜率√3），解得AP=2√6或3√2-√6。
(2)①设∠PAB=θ，∠P₁AD=φ，α=θ+φ。由对称知AP=AP₁=AP₂，∠PAP₁=2θ，∠P₁AP₂=2φ，故∠PAP₂=2(θ+φ)=2α，即β=2α。②PP₁⊥AB，P₁P₃⊥CD，AB//CD，P、P₁、P₃共线。AB与CD距离为h=AD sinα=m sinα，PP₃=2h=2m sinα。
(3)α=60°，AD=2√3，h=3，PP₃=6。∠PAB=15°，AP=AP₂=x。建系得P₂、P₃坐标，分P₂P₃//AB（Δy=0）和P₂P₃//AD（斜率√3），解得AP=2√6或3√2-√6。
