3. 用合适的方法解下列方程:
(1) $2(x + 1)^{2}=8$;
(2) $x^{2}-5x + 6 = 0$;
(3) $2x^{2}-4x - 7 = 0$;
(4) $2x(x - 1)=3(x - 1)$.
(1) $2(x + 1)^{2}=8$;
(2) $x^{2}-5x + 6 = 0$;
(3) $2x^{2}-4x - 7 = 0$;
(4) $2x(x - 1)=3(x - 1)$.
答案
(1)
解：方程两边同时除以$2$得：$(x + 1)^{2} = 4$，
开平方得：$x + 1 = \pm 2$，
即$x + 1 = 2$或$x + 1 = - 2$，
解得：$x_{1} = 1$，$x_{2} = - 3$；
(2)
解：因式分解得：$(x - 2)(x - 3) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得：$x_{1} = 2$，$x_{2} = 3$；
(3)
解：$a = 2$，$b = - 4$，$c = - 7$，
$\mathrm{\Delta} = b^{2} - 4ac = 16 + 56 = 72$，
$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$，
所以$x_{1} = \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2}$，$x_{2} = \frac{2 - 3\sqrt{2}}{2}$；
(4)
解：移项得：$2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0$，
因式分解得：$(x - 1)(2x - 3) = 0$，
则$x - 1 = 0$或$2x - 3 = 0$，
解得：$x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。
解：方程两边同时除以$2$得：$(x + 1)^{2} = 4$，
开平方得：$x + 1 = \pm 2$，
即$x + 1 = 2$或$x + 1 = - 2$，
解得：$x_{1} = 1$，$x_{2} = - 3$；
(2)
解：因式分解得：$(x - 2)(x - 3) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得：$x_{1} = 2$，$x_{2} = 3$；
(3)
解：$a = 2$，$b = - 4$，$c = - 7$，
$\mathrm{\Delta} = b^{2} - 4ac = 16 + 56 = 72$，
$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm 3\sqrt{2}}{2}$，
所以$x_{1} = \frac{2 + 3\sqrt{2}}{2}$，$x_{2} = \frac{2 - 3\sqrt{2}}{2}$；
(4)
解：移项得：$2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0$，
因式分解得：$(x - 1)(2x - 3) = 0$，
则$x - 1 = 0$或$2x - 3 = 0$，
解得：$x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{3}{2}$。
二、一元二次方程根的判别式
1. 概念: 一般地, 式子 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 根的判别式, 通常用希腊字母 “$\Delta$” 来表示.
2. 判别式与根的情况
(1) $\Delta$ ⑧
(2) $\Delta = 0 \Leftrightarrow$ 一元二次方程有 ⑨
(3) $\Delta$ ⑩
1. 概念: 一般地, 式子 $b^{2}-4ac$ 叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 根的判别式, 通常用希腊字母 “$\Delta$” 来表示.
2. 判别式与根的情况
(1) $\Delta$ ⑧
＞
$0 \Leftrightarrow$ 一元二次方程有两个不相等的实数根;(2) $\Delta = 0 \Leftrightarrow$ 一元二次方程有 ⑨
两个相等
的实数根;(3) $\Delta$ ⑩
＜
$0 \Leftrightarrow$ 一元二次方程没有实数根.答案
⑧$＞$；⑨两个相等；⑩$＜$
解析
根据一元二次方程根的判别式知识，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
4. 下列方程: ①$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$; ②$x^{2}+2x + 4 = 0$; ③$x^{2}+2 = x$; ④$2x^{2}-x = 0$.
其中有实数根的是
其中有实数根的是
①，④
; 有两个不等的实数根的是④
; 有两个相等的实数根的是①
; 没有实数根的是②，③
. (填序号)答案
①对于方程$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$，其判别式为：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$，
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即有实数根。
②对于方程$x^{2} + 2x + 4 = 0$，其判别式为：
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × 4 = 4 - 16 = -12$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
③对于方程可以将$x^{2} + 2 = x$改写为标准形式：
$x^{2} - x + 2 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × 2 = 1 - 8 = -7$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
④对于方程$2x^{2} - x = 0$，其判别式为：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 2 × 0 = 1$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，即有实数根。
有实数根的是：①，④；
有两个不等的实数根的是：④；
有两个相等的实数根的是：①；
没有实数根的是：②，③。
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$，
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即有实数根。
②对于方程$x^{2} + 2x + 4 = 0$，其判别式为：
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × 4 = 4 - 16 = -12$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
③对于方程可以将$x^{2} + 2 = x$改写为标准形式：
$x^{2} - x + 2 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 1 × 2 = 1 - 8 = -7$，
因为$\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
④对于方程$2x^{2} - x = 0$，其判别式为：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 2 × 0 = 1$，
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，即有实数根。
有实数根的是：①，④；
有两个不等的实数根的是：④；
有两个相等的实数根的是：①；
没有实数根的是：②，③。
5. 已知一元二次方程 $x^{2}+6x + m = 0$.
(1) 若该方程有两个相等的实数根, 则 $m$ 的值为
(2) 若该方程有两个不相等的实数根, 则 $m$ 的取值范围为
(思考: 若该方程有实数根, 则 $m$ 的取值范围是什么?)
(3) 若该方程没有实数根, 请写出一个满足条件的 $m$ 的值为
(1) 若该方程有两个相等的实数根, 则 $m$ 的值为
$9$
;(2) 若该方程有两个不相等的实数根, 则 $m$ 的取值范围为
$m ＜ 9$
;(思考: 若该方程有实数根, 则 $m$ 的取值范围是什么?)
(3) 若该方程没有实数根, 请写出一个满足条件的 $m$ 的值为
$10$
.答案
(1) $9$；(2) $m ＜ 9$；(3) $10$（答案不唯一）。
解析
(1) 对于一元二次方程 $x^2 + 6x + m = 0$，判别式$\Delta = 6^2 - 4×1×m = 36 - 4m$。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$，即$36 - 4m = 0$，解得$m = 9$。
(2) 方程有两个不相等的实数根时，$\Delta ＞ 0$，即$36 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 9$。
若方程有实数根，则$\Delta \geq 0$，即$36 - 4m \geq 0$，解得$m \leq 9$。
(3) 方程没有实数根时，$\Delta ＜ 0$，即$36 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$，取$m = 10$（答案不唯一）。
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$，即$36 - 4m = 0$，解得$m = 9$。
(2) 方程有两个不相等的实数根时，$\Delta ＞ 0$，即$36 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 9$。
若方程有实数根，则$\Delta \geq 0$，即$36 - 4m \geq 0$，解得$m \leq 9$。
(3) 方程没有实数根时，$\Delta ＜ 0$，即$36 - 4m ＜ 0$，解得$m ＞ 9$，取$m = 10$（答案不唯一）。
三、一元二次方程的根与系数的关系
若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 的两个根, 则 $x_{1}+x_{2}=$ ⑪
易错提醒
应用一元二次方程根与系数的关系的前提是 $\Delta \geq 0$.
若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ ($a \neq 0$) 的两个根, 则 $x_{1}+x_{2}=$ ⑪
$-\frac{b}{a}$
, $x_{1}x_{2}=$ ⑫$\frac{c}{a}$
. (韦达定理)易错提醒
应用一元二次方程根与系数的关系的前提是 $\Delta \geq 0$.
答案
⑪$-\frac{b}{a}$；⑫$\frac{c}{a}$
解析
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，由求根公式推导可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
6. 已知方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的根是 $x_{1}$ 和 $x_{2}$, 则 $x_{1}+x_{2}=$, $x_{1}x_{2}=$, $x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=$.
答案
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），若其两根为$x_1$和$x_2$，则有根与系数的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = -3$，$c = 1$。
所以$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$；
$x_1x_2 = \frac{1}{1} = 1$；
则$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3 - 1 = 2$。
3；1；2
在方程$x^2 - 3x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = -3$，$c = 1$。
所以$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$；
$x_1x_2 = \frac{1}{1} = 1$；
则$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 3 - 1 = 2$。
3；1；2
7. 已知 $x = 3$ 是方程 $x^{2}-2x + m = 0$ 的一个根, 那么另一个根为
-1
.答案
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，已知一个根为$3$，则：
$3 + x_1 = -\frac{-2}{1} = 2$
解得$x_1 = 2 - 3 = -1$
另一个根为$-1$
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，已知一个根为$3$，则：
$3 + x_1 = -\frac{-2}{1} = 2$
解得$x_1 = 2 - 3 = -1$
另一个根为$-1$
