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10.《梦溪笔谈》是我国北宋科学家沈括撰写的综合性笔记体著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，$MN ⊥ AB$.“会圆术”给出$\overset{\frown}{AB}$的长$l$的近似值计算公式：$l=AB+\frac{MN^2}{OA}$.当$OA=4$，$∠ AOB=60°$时，$l$的值为
$11-4\sqrt{3}$
.答案
10. $11-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算弧长近似值$l$，需先求出公式$l=AB+\frac{MN^2}{OA}$中的$AB$和$MN$的长度。首先由$OA=OB$、$∠ AOB=60°$可判定$△ AOB$是等边三角形，直接得到$AB$的长度；再利用等边三角形三线合一的性质求出圆心$O$到弦$AB$的距离$ON$，结合$OM$是半径，可得$MN=OM-ON$，最后把各值代入公式计算即可。
【解析】
已知$OA=OB=4$，$∠ AOB=60°$：
1. 求$AB$的长度：
有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=4$。
2. 求$MN$的长度：
因为$N$是$AB$中点，等边三角形三线合一，所以$ON⊥ AB$，$ON$是等边$△ AOB$的高，
则$ON=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$。
又$OM$是圆$O$的半径，$OM=4$，且$M、N、O$共线，因此$MN=OM-ON=4-2\sqrt{3}$。
3. 代入公式计算$l$：
先计算$MN^2=(4-2\sqrt{3})^2=16-16\sqrt{3}+12=28-16\sqrt{3}$，
则$\frac{MN^2}{OA}=\frac{28-16\sqrt{3}}{4}=7-4\sqrt{3}$，
因此$l=AB+\frac{MN^2}{OA}=4+7-4\sqrt{3}=11-4\sqrt{3}$。
【答案】
$11-4\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，垂径定理，二次根式运算
【点评】
本题结合我国古代数学成就考查基础几何运算，解题思路清晰，只需先求出公式所需的线段长度，再代入计算即可，要注意二次根式的运算准确率。
【难度系数】
0.7
要计算弧长近似值$l$，需先求出公式$l=AB+\frac{MN^2}{OA}$中的$AB$和$MN$的长度。首先由$OA=OB$、$∠ AOB=60°$可判定$△ AOB$是等边三角形，直接得到$AB$的长度；再利用等边三角形三线合一的性质求出圆心$O$到弦$AB$的距离$ON$，结合$OM$是半径，可得$MN=OM-ON$，最后把各值代入公式计算即可。
【解析】
已知$OA=OB=4$，$∠ AOB=60°$：
1. 求$AB$的长度：
有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此$△ AOB$是等边三角形，故$AB=OA=4$。
2. 求$MN$的长度：
因为$N$是$AB$中点，等边三角形三线合一，所以$ON⊥ AB$，$ON$是等边$△ AOB$的高，
则$ON=\frac{\sqrt{3}}{2}× AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$。
又$OM$是圆$O$的半径，$OM=4$，且$M、N、O$共线，因此$MN=OM-ON=4-2\sqrt{3}$。
3. 代入公式计算$l$：
先计算$MN^2=(4-2\sqrt{3})^2=16-16\sqrt{3}+12=28-16\sqrt{3}$，
则$\frac{MN^2}{OA}=\frac{28-16\sqrt{3}}{4}=7-4\sqrt{3}$，
因此$l=AB+\frac{MN^2}{OA}=4+7-4\sqrt{3}=11-4\sqrt{3}$。
【答案】
$11-4\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，垂径定理，二次根式运算
【点评】
本题结合我国古代数学成就考查基础几何运算，解题思路清晰，只需先求出公式所需的线段长度，再代入计算即可，要注意二次根式的运算准确率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图，AB是$\odot O$的直径，P是AB上一点，且P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)若$AP=4$，$CD=16$，求$\odot O$的半径.
11. 如图，AB是$\odot O$的直径，P是AB上一点，且P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)若$AP=4$，$CD=16$，求$\odot O$的半径.
答案
11. (1)略
(2) 10
(2) 10
解析
【分析】
(1) 作图思路：根据垂径定理推论，平分非直径弦的直径垂直于弦，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，连接两点即可得到所求弦CD。
(2) 解题思路：求解圆的半径可先设半径为r，结合已知AP的长度表示出OP的长；再利用垂径定理得到CP的长度，最后在直角三角形OPC中用勾股定理列方程，求解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1) 过点P作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，弦CD即为所求（保留作图痕迹）。
(2) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because AP=4$，$\therefore OP=OA-AP=r-4$。
$\because P$是CD的中点，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理可得$AB⊥ CD$，$CP=\frac{1}{2}CD$。
$\because CD=16$，$\therefore CP=8$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2+CP^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$。
【答案】
(1) 略；(2) 10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题属于圆章节的基础题型，作图部分可直接通过垂径定理推论完成，计算部分结合了方程思想，熟练掌握垂径定理中“过圆心、垂直弦、平分弦”三者的互推关系，是解决这类题型的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：根据垂径定理推论，平分非直径弦的直径垂直于弦，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，连接两点即可得到所求弦CD。
(2) 解题思路：求解圆的半径可先设半径为r，结合已知AP的长度表示出OP的长；再利用垂径定理得到CP的长度，最后在直角三角形OPC中用勾股定理列方程，求解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1) 过点P作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，弦CD即为所求（保留作图痕迹）。
(2) 连接OC，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OA=r$。
$\because AP=4$，$\therefore OP=OA-AP=r-4$。
$\because P$是CD的中点，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理可得$AB⊥ CD$，$CP=\frac{1}{2}CD$。
$\because CD=16$，$\therefore CP=8$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：$OC^2=OP^2+CP^2$，
代入数据得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
移项化简得：$8r=80$，
解得$r=10$。
【答案】
(1) 略；(2) 10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题属于圆章节的基础题型，作图部分可直接通过垂径定理推论完成，计算部分结合了方程思想，熟练掌握垂径定理中“过圆心、垂直弦、平分弦”三者的互推关系，是解决这类题型的关键。
【难度系数】
0.7
12.如图，已知圆锥底面⊙O的直径BC=6，高AO=4.求该圆锥侧面展开图的面积.
答案
$15π$
解析
【分析】
要求圆锥侧面展开图的面积，首先要明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长）。解题第一步先根据底面直径求出底面半径$r$；第二步利用圆锥的高垂直底面的性质，结合勾股定理求出母线长$l$；最后将$r$和$l$代入侧面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 圆锥底面直径$BC=6$，
∴ 底面半径$r=\frac{BC}{2}=3$，
∵ $AO$是圆锥的高，
∴ $AO⊥ BC$，即$△ AOB$为直角三角形，
已知$AO=4$，$OB=r=3$，由勾股定理可得圆锥母线长：
$l=AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础计算题，核心是掌握圆锥的结构特征和侧面积计算公式，解题时只需理清圆锥底面半径、高、母线长三者的关系，结合勾股定理求出母线长后代入公式即可求解。
【难度系数】
0.8
要求圆锥侧面展开图的面积，首先要明确圆锥侧面积的计算公式为$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面半径，$l$是圆锥母线长）。解题第一步先根据底面直径求出底面半径$r$；第二步利用圆锥的高垂直底面的性质，结合勾股定理求出母线长$l$；最后将$r$和$l$代入侧面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 圆锥底面直径$BC=6$，
∴ 底面半径$r=\frac{BC}{2}=3$，
∵ $AO$是圆锥的高，
∴ $AO⊥ BC$，即$△ AOB$为直角三角形，
已知$AO=4$，$OB=r=3$，由勾股定理可得圆锥母线长：
$l=AB=\sqrt{AO^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×5=15π$。
【答案】
$15π$
【知识点】
圆锥侧面积计算；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础计算题，核心是掌握圆锥的结构特征和侧面积计算公式，解题时只需理清圆锥底面半径、高、母线长三者的关系，结合勾股定理求出母线长后代入公式即可求解。
【难度系数】
0.8
13. 如图，OA,OB,OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB = 2∠ BAC$.
（1）求证：$∠ AOB = 2∠ BOC$；
（2）若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$∠ AOB = 2∠ BOC$；
（2）若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
答案
(1)略
(2) $\frac{5}{2}$
(2) $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
（1）证明思路：利用圆周角定理，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，分别写出∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC的数量关系，再结合已知∠ACB=2∠BAC，代入即可推导得到要证的结论。
（2）求半径思路：由（1）的结论可知弧AB是弧BC的2倍，取弧AB的中点，根据等弧对等弦可得对应弦长相等，再结合垂径定理构造直角三角形，先求出弦心距相关线段的长度，最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$，
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，代入得：
$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
（2）解：取弧$AB$的中点$E$，连接$AE$、$BE$、$OE$，$OE$交$AB$于点$F$。
∵ $E$是弧$AB$的中点，
∴ 弧$AE$=弧$BE$，
由（1）$∠ AOB=2∠ BOC$可得弧$AB=2$弧$BC$，
∴ 弧$AE$=弧$BE$=弧$BC$，
∴ $AE=BE=BC=\sqrt{5}$（等弧对等弦）。
∵ $OE$是$\odot O$的半径，$E$是弧$AB$中点，$AB=4$，
由垂径定理得：$OE⊥ AB$，$AF=FB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$，
在$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：
$OA^2=OF^2+AF^2$，
即$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开得$r^2=r^2-2r+1+4$，
化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问需要结合等弧对等弦、垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解半径，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
（1）证明思路：利用圆周角定理，即同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，分别写出∠AOB与∠ACB、∠BOC与∠BAC的数量关系，再结合已知∠ACB=2∠BAC，代入即可推导得到要证的结论。
（2）求半径思路：由（1）的结论可知弧AB是弧BC的2倍，取弧AB的中点，根据等弧对等弦可得对应弦长相等，再结合垂径定理构造直角三角形，先求出弦心距相关线段的长度，最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍，可得：
$∠ AOB = 2∠ ACB$，$∠ BOC = 2∠ BAC$，
已知$∠ ACB = 2∠ BAC$，代入得：
$∠ AOB = 2× 2∠ BAC = 2∠ BOC$，
即$∠ AOB = 2∠ BOC$，得证。
（2）解：取弧$AB$的中点$E$，连接$AE$、$BE$、$OE$，$OE$交$AB$于点$F$。
∵ $E$是弧$AB$的中点，
∴ 弧$AE$=弧$BE$，
由（1）$∠ AOB=2∠ BOC$可得弧$AB=2$弧$BC$，
∴ 弧$AE$=弧$BE$=弧$BC$，
∴ $AE=BE=BC=\sqrt{5}$（等弧对等弦）。
∵ $OE$是$\odot O$的半径，$E$是弧$AB$中点，$AB=4$，
由垂径定理得：$OE⊥ AB$，$AF=FB=\frac{1}{2}AB=2$。
在$Rt△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OE=r$，$OF=OE-EF=r-1$，
在$Rt△ OAF$中，由勾股定理得：
$OA^2=OF^2+AF^2$，
即$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开得$r^2=r^2-2r+1+4$，
化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\frac{5}{2}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，难度较低；第二问需要结合等弧对等弦、垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解半径，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
