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热点趋势专项卷(三)
趋势五 图形操作与探究
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解：
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例题 问题情境:数学活动课上,同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动(每个小组的矩形纸片规格相同),已知矩形纸片宽$AD=6$。
(1)动手实践:如图1,A小组将矩形纸片ABCD折叠,点D落在AB边上的点E处,折痕为AF,连结EF,然后将纸片展平,得到四边形AEFD。试判断四边形AEFD的形状,并加以证明。
(2)如图2,B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合,展平后得到折痕PQ,再次过点A折叠使点D落在折痕PQ上的点N处,得到折痕AM,连结AN,MN,展平后得到四边形ANMD,请求出四边形ANMD的面积。
(3)深度探究:如图3,C小组将图1中的四边形EFCB剪去,然后在边AD,EF上取点G,H,将四边形AEFD沿GH折叠,使点A的对应点$A'$始终落在边DF上(点$A'$不与点D,F重合),点E落在点$E'$处,$A'E'$与EF交于点T。当$A'$在DF上运动时,$△ FTA'$的周长是否会变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出该定值。
拆解剖折
图形操作与探究
折叠问题
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:折叠的性质} \begin{cases}\mathrm{图1} \begin{cases}AD=AE \\FD=FE \\∠ DAF=∠ EAF\end{cases} \\\mathrm{图2} \begin{cases}AP=PD \\AN=AD \\PQ⊥ AD \\∠ DAM=∠ NAM\end{cases} \\\mathrm{图3} \begin{cases}AG=GA' \\∠ GA'E'=∠ GAE\end{cases}\end{cases} \\\mathrm{考查点2:特殊三角形的判定—图2—判定$△ ADN$是等边三角形—由折叠性质及垂直平分线性质证明$ND=NA=AD$} \\\mathrm{考查点3:特殊四边形的判定—图1—判定四边形$AEFD$是正方形—由四边形$AEFD$是菱形与$∠ D=90°$} \\\mathrm{考查点4:勾股定理的应用—图2—求$MD$的长度:结合$AD^2+DM^2=AM^2$—设$DM=x$用$x$表示$AM$} \\\mathrm{考查点5:全等三角形的判断—} \begin{cases}\mathrm{图3中$△ DAA'≌△ MAA'$ 根据AAS判定} \\\mathrm{图3中$\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET$ 根据HL判定}\end{cases}\end{cases}$
答案:(1)四边形AEFD是正方形,证明:因为四边形ABCD是矩形,所以$∠ D=90°$,$AB// CD$,所以$∠ FAE=∠ DFA$,由第一步折叠可知:$∠ FAE=∠ DAF$,$AD=AE$,$FD=FE$,所以$∠ DAF=∠ DFA$,所以$AD=FD$,所以$AD=AE=FD=FE$,所以四边形AEFD是菱形,又因为$∠ D=90°$,所以四边形AEFD是正方形。(2)如图1,连结DN,由折叠得,$AP=PD=\frac{1}{2}AD=3$,$AN=AD=6$,$PQ⊥ AD$,$∠ DAM=∠ NAM$,所以$DN=AN=6$,所以$DN=AN=AD=6$,所以$△ ADN$是等边三角形,所以$∠ DAN=60°$,所以$∠ DAM=\frac{1}{2}∠ DAN=30°$,设$DM=x$,则$AM=2x$,由勾股定理得,$AD^2+DM^2=AM^2$,所以$6^2+x^2=(2x)^2$,解得,$x=2\sqrt{3}$(负值舍去),所以$DM=2\sqrt{3}$,由折叠得,$S_{△ ADM}=S_{△ ANM}=\frac{1}{2}AD× DM=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,所以$S_{\mathrm{四边形}ANMD}=2S_{△ ADM}=12\sqrt{3}$。(3)$△ FTA'$的周长不变,为定值12。理由如下:如图2,连结$AA'$,AT,过点A作$AM⊥ A'T$于点M,由折叠可知,$AG=GA'$,$∠ GA'E'=∠ GAE=90°$,所以$∠ GAA'=∠ GA'A$,所以$∠ A'AE=∠ AA'E'$,因为$DF// AE$,所以$∠ DA'A=∠ A'AE=∠ AA'E'$,$∠ AMA'=∠ D=90°$,因为$AA'=AA'$,所以$△ DAA'≌△ MAA'$(AAS),所以$DA'=MA'$,$AD=AM$,所以$AM=AD=AE$,因为$AT=AT$,$△ AMT$和$△ AET$为直角三角形,所以$\mathrm{Rt}△ AMT≌\mathrm{Rt}△ AET$(HL),所以$MT=ET$,因为$△ FTA'$的周长$=A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+A'D+ET=DF+EF=6+6=12$,所以$△ FTA'$的周长为12。
练习

解：
(1) 四边形AEFD是正方形，证明如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D = 90°，AB//CD，
∴ ∠FAE = ∠DFA，
由折叠性质得：∠FAE = ∠DAF，AD = AE，FD = FE，
∴ ∠DAF = ∠DFA，
∴ AD = FD，
∴ AD = AE = FD = FE，
∴ 四边形AEFD是菱形，
又∵ ∠D = 90°，
∴ 菱形AEFD是正方形。
(2) 连接DN，
由折叠性质得：AP = PD = $\frac{1}{2}$AD = 3，AN = AD = 6，PQ⊥AD，∠DAM = ∠NAM，
∴ PQ是AD的垂直平分线，
∴ DN = AN = 6，
∴ DN = AN = AD = 6，
∴ △ADN是等边三角形，
∴ ∠DAN = 60°，
∴ ∠DAM = $\frac{1}{2}$∠DAN = 30°，
设DM = x，则AM = 2x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：$AD^2 + DM^2 = AM^2$，
即$6^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x = 2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ DM = $2\sqrt{3}$，
由折叠性质得$S_{△ ADM} = S_{△ ANM}$，
∴ $S_{△ ADM} = \frac{1}{2} × AD × DM = \frac{1}{2} × 6 × 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$，
∴ $S_{\mathrm{四边形}ANMD} = 2S_{△ ADM} = 12\sqrt{3}$。
(3) $△ FTA'$的周长不变，定值为12，理由如下：
连接$AA'$、AT，过点A作$AM ⊥ A'T$于点M，
由折叠性质得：$AG = GA'$，$∠ GA'E' = ∠ GAE = 90°$，
∴ $∠ GAA' = ∠ GA'A$，
∴ $∠ A'AE = 90° - ∠ GAA'$，$∠ AA'E' = 90° - ∠ GA'A$，
∴ $∠ A'AE = ∠ AA'E'$，
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ $DF // AE$，$∠ D = 90°$，$DF = AD = 6$，$EF = AE = 6$，
∴ $∠ DA'A = ∠ A'AE$，
∴ $∠ DA'A = ∠ AA'E'$，
又∵ $∠ D = ∠ AMA' = 90°$，$AA' = AA'$，
∴ $△ DAA' ≌ △ MAA'$（AAS），
∴ $DA' = MA'$，$AD = AM$，
∴ $AM = AD = AE$，
∵ $∠ AMT = ∠ AET = 90°$，$AT = AT$，
∴ $\mathrm{Rt}△ AMT ≌ \mathrm{Rt}△ AET$（HL），
∴ $MT = ET$，
∴ $△ FTA'$的周长 $= A'F + TF + A'T$
$= A'F + TF + A'M + MT$
$= A'F + TF + A'D + ET$
$= (A'F + A'D) + (TF + ET)$
$= DF + EF$
$= 6 + 6 = 12$。