9.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=2$，以$AC$为边作$△ ACE$，$∠ ACE=90°$，$AC=CE$，延长$BC$至点$D$，使$CD=5$，连接$DE$。求证：$△ ABC ∽ △ CED$。

证明:在 Rt△ABC 中,$AC = \sqrt{BC^2+AB^2} = \sqrt{2^2+4^2} = 2\sqrt{5}$,
∴$CE=AC=2\sqrt{5}$,
∴$\frac{AB}{CE} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$,$\frac{AC}{CD} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴$\frac{AB}{CE} = \frac{AC}{CD}$.又
∵$∠BAC + ∠BCA = 90°$, $∠BCA + ∠ECD = 90°$,
∴$∠BAC=∠ECD$,
∴$△ABC∽△CED$.

10.[分类讨论思想]如图,已知$AB⊥DB$于点B,$CD⊥DB$于点D,$AB=6$,$CD=4$,$BD=14$,在DB上是否存在点P,使得以C,D,P为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似?如果存在,求出DP的长;如果不存在,请说明理由.

解:存在.①若$△PCD∽△APB$,则$\frac{CD}{PB} = \frac{DP}{AB}$,即$\frac{4}{14-DP} = \frac{DP}{6}$,解得 $DP=2$ 或 $DP=12$;②若$△PCD∽△PAB$,则$\frac{CD}{AB} = \frac{DP}{BP}$,即$\frac{4}{6} = \frac{DP}{14-DP}$,解得 $DP=5.6$.综上所述,当 DP 的长为 2 或 12 或 5.6 时,两三角形相似.

11.如图,正方形ABCD的边长为4,M,N分别是BC,CD上的动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直.
(1)求证:$△ ABM ∽ △ MCN$;
(2)设$BM=x$,梯形ABCN的面积为$y$,求$y$与$x$之间的函数表达式;当$M$点运动到什么位置时,梯形ABCN的面积最大?并求出它的最大面积;
(3)当$M$点运动到什么位置时,$△ ABM ∽ △ AMN$?求$BM$的值.

(1)证明:
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴$∠B = ∠C = 90°$,
∴$∠BAM+∠AMB=90°$.
∵$AM⊥MN$,
∴$∠AMB+∠CMN=90°$,
∴$∠BAM=∠CMN$,
∴$△ABM∽△MCN$.
(2)解:由(1)知$△ABM∽△MCN$,
∴$\frac{AB}{MC} = \frac{BM}{CN}$,即$\frac{4}{4-x} = \frac{x}{CN}$,
∴$CN = \frac{4x - x^2}{4}$,
∴$y = \frac{1}{2} (\frac{4x - x^2}{4} + 4) × 4$,即 $y = -\frac{1}{2} x^2 + 2x + 8 = -\frac{1}{2} (x-2)^2 + 10 (0＜x＜4)$.当 $x=2$ 时,$y$ 取得最大值,$y_{最大值}=10$.即当 M 点运动到 BC 的中点时,梯形 ABCN 的面积最大,最大面积为 10.
(3)解:若$△ABM∽△AMN$,则有$\frac{AB}{AM} = \frac{BM}{MN}$.由(1)知$△ABM∽△MCN$,
∴$\frac{AB}{MC} = \frac{AM}{MN}$,即$\frac{AB}{AM} = \frac{MC}{MN}$,
∴$\frac{BM}{MN} = \frac{MC}{MN}$,
∴$BM=MC$,即 M 为 BC 的中点.
∴$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} ×4=2$.