1.计算：$a^2(a - 2b)=$ （）

A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$

1.B

【分析】
本题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。接下来先拆分多项式的两项，分别与单项式相乘，再合并计算结果，最后匹配选项即可得到答案。计算过程中要注意不要漏乘项，同时注意符号的处理。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$a^2(a - 2b) = a^2 · a + a^2 · (-2b)$
分别计算两项乘积：
$a^2 · a = a^{2+1}=a^3$，$a^2 · (-2b) = -2a^2b$
将两项相加得：$a^3 - 2a^2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式法则
2.同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，计算时需注意不要漏乘多项式的每一项，同时要准确处理运算符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9

2.计算$(-2x+1)(-3x^2)$的结果为 （）

A.$6x^3+1$
B.$6x^3-3$
C.$6x^3-3x^2$
D.$6x^3+3x^2$

2.C

【分析】
这道题考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算过程中要注意符号判断以及同底数幂的运算规则。具体先将单项式$-3x^2$分别与多项式$-2x+1$的两项相乘，再合并得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。计算过程如下：
$\begin{aligned}(-2x+1)(-3x^2)&=(-2x)×(-3x^2) + 1×(-3x^2)\\&= [(-2)×(-3)]·(x· x^2) - 3x^2\\&=6x^{1+2} -3x^2\\&=6x^3 -3x^2\end{aligned}$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂乘法；整式运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题时需注意各项乘积的符号判断，以及同底数幂相乘时指数相加的规则，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

3.(2024·兰州)计算:$2a(a-1)-2a^2=$ ()

A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$

3.D

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路分为两步：第一步根据单项式乘多项式的运算法则展开式子中的乘法部分，第二步合并同类项化简得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则计算乘法项：
$2a(a-1) = 2a· a - 2a· 1 = 2a^2 - 2a$
将展开结果代入原式合并同类项：
$2a(a-1)-2a^2 = 2a^2 - 2a - 2a^2 = (2a^2 - 2a^2) - 2a = -2a$
因此结果为$-2a$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题，核心是掌握单项式乘多项式的分配律运算，以及合并同类项的规则，运算时注意不要漏乘项、符号不要出错即可。
【难度系数】
0.9

4.若－5xy(2y＋x－8)＝－10xy²－5x²y□，则□内应填写。

4.$+40xy$

【分析】
要解决这道题，我们可以依据单项式乘多项式的运算法则，先将等号左侧的式子完整展开，再把展开结果和等号右侧已给出的项做对比，就能得出方框内应填写的内容，计算过程中要重点注意各项相乘的符号处理，避免符号出错。
【解析】
根据单项式乘多项式的法则（本质是乘法分配律），将等号左侧的式子展开：
$\begin{aligned}-5xy(2y + x - 8)&=-5xy·2y + (-5xy)· x + (-5xy)·(-8)\\&=-10xy^2 - 5x^2y + 40xy\end{aligned}$
将展开结果和等号右侧的$-10xy^2 - 5x^2y□$对比，可知方框内应填写的项为$+40xy$。
【答案】
+40xy
【知识点】
单项式乘多项式，乘法分配律
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘多项式运算法则的应用，解题的核心是计算时准确处理各项的符号，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8

5.计算：
(1)$(\dfrac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \dfrac{3}{2}a$；
(2)$-4x^2 · (3x^2 + 2x - y)$。

5.(1)$a^2b^2 - 3a^2b$
(2)$-12x^4 - 8x^3 + 4x^2y$

【分析】
这两道题均属于单项式乘多项式的运算，解题核心是运用乘法分配律，将单项式乘多项式转化为多个单项式乘单项式的运算，再把所得的积相加。思考步骤如下：①先确定要乘的单项式和多项式的每一项（注意带上每项前面的符号）；②用单项式依次乘多项式的每一项，计算时遵循单项式乘单项式的规则：系数相乘、同底数幂相乘、单独的字母连同指数直接落下来；③最后把所有乘积相加，注意符号运算不要出错。
【解析】
(1) 利用单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \dfrac{3}{2}a&=\dfrac{2}{3}ab^2·\dfrac{3}{2}a + (-2ab)·\dfrac{3}{2}a\\&=(\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{2})·(a·a)·b^2 + (-2×\dfrac{3}{2})·(a·a)·b\\&=1×a^2b^2 + (-3)×a^2b\\&=a^2b^2 - 3a^2b\end{aligned}$
(2) 利用单项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}-4x^2 · (3x^2 + 2x - y)&=-4x^2·3x^2 + (-4x^2)·2x + (-4x^2)·(-y)\\&=(-4×3)·(x^2·x^2) + (-4×2)·(x^2·x) + (4×1)·x^2y\\&=-12x^4 -8x^3 +4x^2y\end{aligned}$
【答案】
(1)$a^2b^2 - 3a^2b$；(2)$-12x^4 - 8x^3 + 4x^2y$
【知识点】
单项式乘多项式、同底数幂的乘法、乘法分配律
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，运算时要注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项乘积的符号，避免因符号或漏乘出错。
【难度系数】
0.8

6.若三角形的底边长为$2m+1$，底边上的高为$2m$，则此三角形的面积为。

6.$2m^2 + m$

【分析】
求解本题首先要回忆三角形的面积计算公式，明确面积=1/2×底×高；其次将题目给出的底边长和对应的高代入公式，得到整式运算式；最后运用单项式与多项式相乘的运算法则展开化简，就能得到三角形的面积表达式。
【解析】
解：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将底为$2m+1$、高为$2m$代入得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}×(2m+1)×2m\\&=m×(2m+1)\\&=m·2m + m·1\\&=2m^2 + m\end{aligned}$
【答案】
$2m^2 + m$
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 单项式与多项式相乘
【点评】
本题是基础运算类题目，既考查对几何基本面积公式的掌握，也考查整式乘法的运算熟练度，计算时注意不要漏乘多项式的常数项即可得出正确结果。
【难度系数】
0.9

7.如图,为改善业主的居住环境,某小区物业准备在一个长为$(4a+2b)\mathrm{m}$、宽为$(3a+2b)\mathrm{m}$的长方形草坪上修建两条宽为$b\mathrm{m}$的小路,求小路的面积.(要求化成最简形式)

7.$(7ab+3b^2)\mathrm{m}^2$

【分析】
求解小路面积时，可先分别计算纵向、横向两条长方形小路的面积，由于两条小路存在边长为b的正方形重叠区域，该区域在两次面积计算中被重复计入，因此需要减去1次重叠部分的面积，即可得到小路的实际总面积，计算过程结合单项式乘多项式、合并同类项的规则化简即可得到最终结果。
【解析】
解：纵向小路为长方形，长为$(3a+2b)\mathrm{m}$，宽为$b\mathrm{m}$，面积为$b(3a+2b)\mathrm{m}^2$；
横向小路为长方形，长为$(4a+2b)\mathrm{m}$，宽为$b\mathrm{m}$，面积为$b(4a+2b)\mathrm{m}^2$；
两条小路重叠部分是边长为$b\mathrm{m}$的正方形，面积为$b^2\mathrm{m}^2$，该部分被重复计算1次，需扣除。
因此小路总面积为：
$\begin{aligned}&b(3a + 2b) + b(4a + 2b) - b^2\\=&3ab + 2b^2 + 4ab + 2b^2 - b^2\\=&7ab + 3b^2\end{aligned}$
【答案】
$(7ab+3b^2)\mathrm{m}^2$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；阴影面积计算
【点评】
本题是整式运算在几何实际问题中的应用，解题的核心是注意避免重复计算两条小路的重叠部分面积，计算过程需熟练掌握整式的运算法则，保证化简结果为最简形式。
【难度系数】
0.7

8.计算：$-\dfrac{1}{3}x^2(6x^2 - 2x + 1) =$

8.$-2x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^2$

【分析】
本题是单项式乘多项式的运算题，解题时首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。思考时要注意三个要点：1.不能漏乘多项式的常数项；2.单项式带有负号，乘每一项时要正确处理符号变化；3.同底数幂相乘时，遵循底数不变、指数相加的规则，系数按有理数乘法规则计算。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=-\frac{1}{3}x^2 · 6x^2 + (-\frac{1}{3}x^2) · (-2x) + (-\frac{1}{3}x^2) · 1\\&=(-\frac{1}{3} × 6)x^{2+2} + (-\frac{1}{3} × (-2))x^{2+1} + (-\frac{1}{3})x^2\\&=-2x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^2\end{aligned}$
【答案】
$-2x^4+\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^2$
【知识点】
单项式与多项式相乘、同底数幂的乘法、有理数乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题的易错点在于漏乘多项式的常数项、符号处理错误以及同底数幂的指数运算错误，熟练掌握运算法则、仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.8

9.(2024·沈阳一二六中月考)要使$-x^3(x^2+ax+1)+2x^4$的计算结果中不含有x的四次项，则a的值是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

9.B

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确“计算结果中不含有x的四次项”的含义，即x四次项的系数为0。解题步骤如下：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，第二步合并同类项，找到所有x四次项的系数，第三步令x四次项的系数等于0，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
先对原式进行展开运算：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2+ax+1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 - x^3· ax - x^3·1 + 2x^4\\=&-x^5 - ax^4 - x^3 + 2x^4\end{aligned}$
合并同类项，整理得：
$=-x^5 + (2 - a)x^4 - x^3$
∵计算结果中不含有x的四次项
∴x四次项的系数为0，即$2 - a = 0$
解得$a=2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；不含某项的条件
【点评】
本题考查整式运算的相关应用，解题核心是理解“多项式不含某一项”等价于该项的系数为0，计算过程中要注意单项式乘多项式时的符号问题，熟练掌握运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

[变式]若$(x^2 - a)x + 2x$的展开式中只含有$x^3$这一项，则$a$的值是。

【变式】2

【分析】
解题时首先按照单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项。题目要求展开式中只含有$x^3$这一项，说明除$x^3$外其余项的系数必须为0，据此列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
先对原式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2 - a)x + 2x&=x^2· x - a· x + 2x\\&=x^3 - ax + 2x\\&=x^3 + (2 - a)x\end{aligned}$
∵ 展开式中只含有$x^3$这一项，
∴ 一次项的系数为0，即$2 - a = 0$，
解得$a = 2$。
【答案】
2
【知识点】
单项式与多项式相乘、合并同类项、多项式的项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是理解展开式仅含某一项的含义：其余同类项合并后系数为0，解题过程需要熟练掌握整式乘法及合并同类项的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

10.计算：
(1)$x^2(x-1)-x(x^2+x-1)$；
(2)$(-2st^2)^3 · (3s^2t - 2st - 4t^2)$；
(3)$(-m)^3 · (-2mn^2)^3 - 4mn^2 · (7m^5n^4 - \dfrac{1}{2}mn^3 -5)$。

10.(1)$-2x^2 + x$
(2)$-24s^5t^7 + 16s^4t^7 + 32s^3t^8$
(3)$-20m^6n^6 + 2m^2n^5 + 20mn^2$

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题核心是遵循运算顺序，结合对应运算法则逐步计算即可。具体思考路径：1. 先处理运算中的乘方部分，利用积的乘方、幂的乘方法则化简得到单项式；2. 按照单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，注意项的符号不要出错；3. 去括号后合并同类项，得到最简结果。
【解析】
(1) 先展开单项式乘多项式，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^3 - x^2 - (x^3 + x^2 - x)\\&=x^3 - x^2 - x^3 - x^2 + x\\&=-2x^2 + x\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再用所得单项式乘多项式的每一项：
$\begin{aligned}(-2st^2)^3&=(-2)^3· s^3· (t^2)^3=-8s^3t^6\\\mathrm{原式}&=-8s^3t^6· 3s^2t + (-8s^3t^6)· (-2st) + (-8s^3t^6)· (-4t^2)\\&=-24s^5t^7 + 16s^4t^7 + 32s^3t^8\end{aligned}$
(3) 先分别计算乘方，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项：
$\begin{aligned}(-m)^3&=-m^3，(-2mn^2)^3=(-2)^3· m^3· (n^2)^3=-8m^3n^6\\\mathrm{原式}&=(-m^3)· (-8m^3n^6) - 4mn^2· (7m^5n^4 - \frac{1}{2}mn^3 -5)\\&=8m^6n^6 - (28m^6n^6 - 2m^2n^5 - 20mn^2)\\&=8m^6n^6 -28m^6n^6 + 2m^2n^5 + 20mn^2\\&=-20m^6n^6 + 2m^2n^5 + 20mn^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^2 + x}$
(2) $\boldsymbol{-24s^5t^7 + 16s^4t^7 + 32s^3t^8}$
(3) $\boldsymbol{-20m^6n^6 + 2m^2n^5 + 20mn^2}$
【知识点】
单项式乘多项式；幂的运算；合并同类项
【点评】
本题是整式混合运算的基础题型，解题时需严格遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的运算顺序，尤其要注意去括号时的符号变化，以及幂的运算中指数的计算规则，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7

11.先化简,再求值:$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)$,其中$a=-2$.

11.化简的结果为$-20a^2 + 9a$,值为$-98$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则，分别将两个单项式与对应的多项式相乘，注意不要漏乘多项式的每一项；第二步，去括号（注意括号前是减号时，括号内每一项都要变号），再合并同类项得到最简整式；第三步，将$a=-2$代入最简整式中计算结果即可，先化简再求值能大大降低计算量，避免出错。
【解析】
解：先利用单项式乘多项式法则展开并化简：
$\begin{aligned}&3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)\\=&3a·2a^2 + 3a·(-4a) + 3a·3 - (2a^2·3a + 2a^2·4)\\=&6a^3 - 12a^2 + 9a - (6a^3 + 8a^2)\\=&6a^3 - 12a^2 + 9a - 6a^3 - 8a^2\\=&-20a^2 + 9a\end{aligned}$
再将$a=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-20×(-2)^2 + 9×(-2)\\&=-20×4 - 18\\&=-80 - 18\\&=-98\end{aligned}$
【答案】
化简的结果为$-20a^2 + 9a$，值为$-98$
【知识点】
1.单项式乘多项式 2.合并同类项 3.整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，以及去括号、合并同类项的运算能力，解题时需注意去括号的符号变化和负数的乘方运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

12.若$-x^2y=2$，则$-xy(x^5y^2 - x^3y + 2x)$的值为。

12.16

【分析】
解题思路：首先利用单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再根据幂的运算性质把展开后的各项转化为含有已知式$-x^2y$的形式，最后将$-x^2y=2$整体代入计算即可，不需要单独求解$x$、$y$的取值，能大幅简化计算过程。
【解析】
第一步：根据单项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&-xy(x^5y^2 - x^3y + 2x)\\=&-xy· x^5y^2 + (-xy)· (-x^3y) + (-xy)· 2x\end{aligned}$
第二步：根据同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）计算每一项：
$\begin{aligned}=&-x^{1+5}y^{1+2} + x^{1+3}y^{1+1} - 2x^{1+1}y\\=&-x^6y^3 + x^4y^2 - 2x^2y\end{aligned}$
第三步：将各项变形为含$-x^2y$的形式：
$-x^6y^3 = (-x^2y)^3$，$x^4y^2 = (-x^2y)^2$，$-2x^2y = 2×(-x^2y)$
第四步：将$-x^2y=2$整体代入变形后的式子计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^3 + 2^2 + 2×2\\&=8 + 4 + 4\\&=16\end{aligned}$
【答案】
16
【知识点】
单项式乘多项式；幂的运算；整体代入求值
【点评】
本题考查整式乘法运算及代数式求值，核心是运用整体代入思想简化计算，避免求解未知数的具体值，需要熟练掌握单项式乘多项式法则和幂的相关运算性质。
【难度系数】
0.7