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1. 如图，在$△ ABC$中，$AC=2AB$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，$E$是$AD$上一点，连接$EB$，$EC$，$EA=EC$.求证：$EB⊥ AB$.
答案
【证明】如图，作$EF⊥AC$于点$F$.
$\because EA=EC,\therefore AF=FC.$
$\because AC=2AB,$
$\therefore AF+FC=2AF=2AB.$
$\therefore AF=AB.$
$\because AD$ 平分 $∠BAC,\therefore ∠BAE=∠FAE.$
又$\because AE=AE,\therefore △ ABE≌ △ AFE(SAS).$
$\therefore ∠ABE=∠AFE=90^{\circ }. \therefore EB⊥AB.$
解析
【分析】
要证明$EB⊥AB$，本质是要证$∠ABE=90°$。首先结合已知$EA=EC$，可利用等腰三角形三线合一的性质，过$E$作$AC$的垂线得到$AC$的中点，再结合$AC=2AB$得到相等线段，结合$AD$是角平分线的条件，构造全等三角形，通过全等三角形对应角相等即可得到直角，完成证明。
【解析】
证明：如图，作$EF⊥AC$于点$F$。
$\because EA=EC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AF=FC$。
$\because AC=2AB$，
$\therefore AF+FC=2AF=2AB$，
$\therefore AF=AB$。
$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠BAE=∠FAE$。
又$\because AE=AE$，
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(SAS)$。
$\therefore ∠ABE=∠AFE=90°$，
$\therefore EB⊥AB$。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形辅助线构造的典型题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线，结合已知条件构造全等三角形，将待证的垂直关系转化为全等三角形的对应角相等来推导，考查了辅助线构造和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明$EB⊥AB$，本质是要证$∠ABE=90°$。首先结合已知$EA=EC$，可利用等腰三角形三线合一的性质，过$E$作$AC$的垂线得到$AC$的中点，再结合$AC=2AB$得到相等线段，结合$AD$是角平分线的条件，构造全等三角形，通过全等三角形对应角相等即可得到直角，完成证明。
【解析】
证明：如图，作$EF⊥AC$于点$F$。
$\because EA=EC$，根据等腰三角形三线合一的性质，$\therefore AF=FC$。
$\because AC=2AB$，
$\therefore AF+FC=2AF=2AB$，
$\therefore AF=AB$。
$\because AD$平分$∠BAC$，$\therefore ∠BAE=∠FAE$。
又$\because AE=AE$，
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(SAS)$。
$\therefore ∠ABE=∠AFE=90°$，
$\therefore EB⊥AB$。
【答案】
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形辅助线构造的典型题型，解题核心是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线，结合已知条件构造全等三角形，将待证的垂直关系转化为全等三角形的对应角相等来推导，考查了辅助线构造和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图,在$△ ABC$中,点$E$在$AC$边的延长线上,点$D$在$AB$边上,连接$DE$交$BC$于点$F$,且$DF=EF$,$BD=CE$.求证:$△ ABC$是等腰三角形. 
答案
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DG// AE$ 交 $BC$ 于点 $G$,则$∠E=∠FDG.$
在$△ ECF$ 和$△ DGF$ 中，
$\because \begin{cases} ∠E=∠FDG,\\ EF=DF,\\ ∠CFE=∠GFD,\end{cases}$
$\therefore △ ECF≌ △ DGF(ASA). \therefore CE=GD.$
又$\because BD=CE,\therefore BD=GD. \therefore ∠B=∠DGB.$
$\because DG// AC,\therefore ∠DGB=∠ACB.$
$\therefore ∠B=∠ACB. \therefore AB=AC.$
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明∠B=∠ACB（等角对等边）。现有条件中DF=EF、BD=CE分属不同三角形，无法直接推导角的关系，因此考虑作辅助线构造全等三角形实现边角转化：过D作DG平行于AE交BC于G，可利用平行线性质得到相等的角，结合已知边相等证明△ECF和△DGF全等，将CE等量替换为DG，再结合BD=CE得到BD=DG，通过等边对等角、平行线同位角相等的性质，最终推出∠B=∠ACB即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：过点$D$作$DG// AE$交$BC$于点$G$，根据平行线内错角相等，可得$∠ E=∠ FDG$。
2. 证三角形全等：在$△ ECF$和$△ DGF$中，$∠ E=∠ FDG$，已知$EF=DF$，对顶角$∠ CFE=∠ GFD$，满足ASA全等判定条件，因此$△ ECF≌△ DGF$，由全等三角形对应边相等得$CE=GD$。
3. 推导角相等：已知$BD=CE$，等量代换得$BD=GD$，根据等边对等角得$∠ B=∠ DGB$。
4. 传递角关系：由$DG// AC$，根据平行线同位角相等得$∠ DGB=∠ ACB$，因此$∠ B=∠ ACB$。
5. 判定等腰三角形：根据等角对等边得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DG// AE$ 交 $BC$ 于点 $G$,则$∠E=∠FDG.$
在$△ ECF$ 和$△ DGF$ 中，
$\because \begin{cases} ∠E=∠FDG,\\ EF=DF,\\ ∠CFE=∠GFD,\end{cases}$
$\therefore △ ECF≌ △ DGF(ASA). \therefore CE=GD.$
又$\because BD=CE,\therefore BD=GD. \therefore ∠B=∠DGB.$
$\because DG// AC,\therefore ∠DGB=∠ACB.$
$\therefore ∠B=∠ACB. \therefore AB=AC.$
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，解题关键是通过作平行线构造全等三角形实现边角的等量转化，考查了辅助线的构造能力以及对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明∠B=∠ACB（等角对等边）。现有条件中DF=EF、BD=CE分属不同三角形，无法直接推导角的关系，因此考虑作辅助线构造全等三角形实现边角转化：过D作DG平行于AE交BC于G，可利用平行线性质得到相等的角，结合已知边相等证明△ECF和△DGF全等，将CE等量替换为DG，再结合BD=CE得到BD=DG，通过等边对等角、平行线同位角相等的性质，最终推出∠B=∠ACB即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：过点$D$作$DG// AE$交$BC$于点$G$，根据平行线内错角相等，可得$∠ E=∠ FDG$。
2. 证三角形全等：在$△ ECF$和$△ DGF$中，$∠ E=∠ FDG$，已知$EF=DF$，对顶角$∠ CFE=∠ GFD$，满足ASA全等判定条件，因此$△ ECF≌△ DGF$，由全等三角形对应边相等得$CE=GD$。
3. 推导角相等：已知$BD=CE$，等量代换得$BD=GD$，根据等边对等角得$∠ B=∠ DGB$。
4. 传递角关系：由$DG// AC$，根据平行线同位角相等得$∠ DGB=∠ ACB$，因此$∠ B=∠ ACB$。
5. 判定等腰三角形：根据等角对等边得$AB=AC$，故$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DG// AE$ 交 $BC$ 于点 $G$,则$∠E=∠FDG.$
在$△ ECF$ 和$△ DGF$ 中，
$\because \begin{cases} ∠E=∠FDG,\\ EF=DF,\\ ∠CFE=∠GFD,\end{cases}$
$\therefore △ ECF≌ △ DGF(ASA). \therefore CE=GD.$
又$\because BD=CE,\therefore BD=GD. \therefore ∠B=∠DGB.$
$\because DG// AC,\therefore ∠DGB=∠ACB.$
$\therefore ∠B=∠ACB. \therefore AB=AC.$
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，解题关键是通过作平行线构造全等三角形实现边角的等量转化，考查了辅助线的构造能力以及对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 新考法动点探究法 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，连接PQ与直线BC相交于点D.
(1)求证：$PD=QD$；
(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E. P，Q在移动的过程中，线段DE的长度
(1)求证：$PD=QD$；
(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E. P，Q在移动的过程中，线段DE的长度
不变
（填“变化”或“不变”）.请说明理由.答案
(1)【证明】如图,过点 $P$ 作 $PF// AC$ 交 $BC$ 于点 $F$.
$\because$ 点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发,且移动速度相同,$\therefore BP=CQ.$
$\because PF// AC,$
$\therefore ∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q.$
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠ACB.$
$\therefore ∠B=∠PFB.$
$\therefore BP=PF. \therefore PF=QC.$
在$△ PFD$ 和$△ QCD$ 中,$\because \begin{cases} ∠PDF=∠QDC,\\ ∠DPF=∠Q,\\ PF=QC,\end{cases}$
$\therefore △ PFD≌ △ QCD(AAS). \therefore PD=QD.$
(2)【解】不变
理由:由(1)知 $BP=PF.$
$\because PE⊥BF,\therefore BE=EF.$
由(1)知$△ PFD≌ △ QCD,\therefore FD=CD.$
$\therefore DE=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC.$
$\therefore$ 线段 $DE$ 的长度为定值.
解析
【分析】
(1) 要证明$PD=QD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知点P、Q移动速度相同，可得$BP=CQ$，结合$AB=AC$的等腰三角形条件，过点P作$PF// AC$交BC于F，先利用平行线性质和等腰三角形性质推导出$BP=PF$，等量代换得到$PF=CQ$，再用AAS证明$△ PFD$和$△ QCD$全等，即可得出$PD=QD$。
(2) 要判断DE长度是否变化，结合(1)的结论分析：等腰$△ BPF$中$PE⊥ BC$，由等腰三角形三线合一可得$BE=EF$，再由全等三角形的性质得$FD=CD$，因此$DE=EF+FD=\frac{1}{2}BC$，BC是定值，故DE长度不变。
【解析】
(1) 证明：如图，过点$P$作$PF// AC$ 交 $BC$ 于点 $F$。
$\because$ 点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发，且移动速度相同，$\therefore BP=CQ$。
$\because PF// AC,$
$\therefore ∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q$。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠ACB$。
$\therefore ∠B=∠PFB$。
$\therefore BP=PF. \therefore PF=QC$。
在$△ PFD$ 和$△ QCD$ 中，$\because \begin{cases} ∠PDF=∠QDC,\\ ∠DPF=∠Q,\\ PF=QC,\end{cases}$
$\therefore △ PFD≌ △ QCD(AAS). \therefore PD=QD$。
(2) 线段$DE$长度不变，理由如下：
由(1)知 $BP=PF$。
$\because PE⊥BF,\therefore BE=EF$。
由(1)知$△ PFD≌ △ QCD,\therefore FD=CD$。
$\therefore DE=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore$ 线段 $DE$ 的长度为定值，不随P、Q移动发生变化。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 不变，理由见上述解析
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是动点与等腰三角形结合的综合题，通过作平行线构造全等三角形是解题的突破口，既考查了几何辅助线的常用作法，也考查了逻辑推理与知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$PD=QD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知点P、Q移动速度相同，可得$BP=CQ$，结合$AB=AC$的等腰三角形条件，过点P作$PF// AC$交BC于F，先利用平行线性质和等腰三角形性质推导出$BP=PF$，等量代换得到$PF=CQ$，再用AAS证明$△ PFD$和$△ QCD$全等，即可得出$PD=QD$。
(2) 要判断DE长度是否变化，结合(1)的结论分析：等腰$△ BPF$中$PE⊥ BC$，由等腰三角形三线合一可得$BE=EF$，再由全等三角形的性质得$FD=CD$，因此$DE=EF+FD=\frac{1}{2}BC$，BC是定值，故DE长度不变。
【解析】
(1) 证明：如图，过点$P$作$PF// AC$ 交 $BC$ 于点 $F$。
$\because$ 点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发，且移动速度相同，$\therefore BP=CQ$。
$\because PF// AC,$
$\therefore ∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠Q$。
$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠ACB$。
$\therefore ∠B=∠PFB$。
$\therefore BP=PF. \therefore PF=QC$。
在$△ PFD$ 和$△ QCD$ 中，$\because \begin{cases} ∠PDF=∠QDC,\\ ∠DPF=∠Q,\\ PF=QC,\end{cases}$
$\therefore △ PFD≌ △ QCD(AAS). \therefore PD=QD$。
(2) 线段$DE$长度不变，理由如下：
由(1)知 $BP=PF$。
$\because PE⊥BF,\therefore BE=EF$。
由(1)知$△ PFD≌ △ QCD,\therefore FD=CD$。
$\therefore DE=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC$。
$\therefore$ 线段 $DE$ 的长度为定值，不随P、Q移动发生变化。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 不变，理由见上述解析
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是动点与等腰三角形结合的综合题，通过作平行线构造全等三角形是解题的突破口，既考查了几何辅助线的常用作法，也考查了逻辑推理与知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在等边三角形 ABC 中,D 是边 AC 延长线上一点,延长 BC 至点 E,使 CE=AD,作 DG⊥BE 于点 G,连接 BD,DE.求证:BG=EG.
答案
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DF// BE$,交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°.$
$\therefore △ ADF$ 是等边三角形.
$\therefore AD=DF=AF.$
$\therefore CD=BF.$ 又$\because AD=CE,$
$\therefore FD=CE.$
$\because ∠DCE=∠ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠DFB=∠DCE.$
在$△ FBD$ 和$△ CDE$ 中,
$\because \begin{cases} FB=CD,\\ ∠DFB=∠ECD,\\ FD=CE,\end{cases} \therefore △ FBD≌ △ CDE(SAS).$
$\therefore DB=DE. \therefore △ BDE$ 是等腰三角形.
又$\because DG⊥BE$ 于点 $G$,$\therefore G$ 为 $BE$ 的中点. $\therefore BG=EG.$
解析
【分析】
要证明$BG=EG$，已知$DG⊥BE$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$△ BDE$是等腰三角形，即$BD=DE$即可。结合已知条件$CE=AD$和$△ ABC$是等边三角形的性质，可通过作辅助线构造全等三角形推导$BD=DE$：过点$D$作$DF// BE$，交$AB$延长线于点$F$，先证$△ ADF$是等边三角形得到边、角的等量关系，再证明$△ FBD≌△ CDE$即可推出$BD=DE$，最终得到待证结论。
【解析】
证明：如图，过点 $D$ 作 $DF// BE$,交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°.$
$\therefore △ ADF$ 是等边三角形.
$\therefore AD=DF=AF.$
$\therefore AF-AB=AD-AC$，即$CD=BF.$
又$\because AD=CE,$
$\therefore FD=CE.$
$\because ∠DCE=∠ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠DFB=∠DCE=60°.$
在$△ FBD$ 和$△ CDE$ 中,
$\because \begin{cases} FB=CD,\\ ∠DFB=∠ECD,\\ FD=CE,\end{cases}$
$\therefore △ FBD≌ △ CDE(SAS).$
$\therefore DB=DE$，即 $△ BDE$ 是等腰三角形.
又$\because DG⊥BE$ 于点 $G$，根据等腰三角形三线合一的性质，$G$ 为 $BE$ 的中点，
$\therefore BG=EG.$
【答案】
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DF// BE$,交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°.$
$\therefore △ ADF$ 是等边三角形.
$\therefore AD=DF=AF.$
$\therefore CD=BF.$ 又$\because AD=CE,$
$\therefore FD=CE.$
$\because ∠DCE=∠ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠DFB=∠DCE.$
在$△ FBD$ 和$△ CDE$ 中,
$\because \begin{cases} FB=CD,\\ ∠DFB=∠ECD,\\ FD=CE,\end{cases} \therefore △ FBD≌ △ CDE(SAS).$
$\therefore DB=DE. \therefore △ BDE$ 是等腰三角形.
又$\because DG⊥BE$ 于点 $G$,$\therefore G$ 为 $BE$ 的中点. $\therefore BG=EG.$
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形性质综合应用的典型题，解题的关键是通过作平行线构造等边三角形，进而得到全等三角形需要的边、角等量关系，既考察了对特殊三角形性质的掌握程度，也锻炼了几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
要证明$BG=EG$，已知$DG⊥BE$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$△ BDE$是等腰三角形，即$BD=DE$即可。结合已知条件$CE=AD$和$△ ABC$是等边三角形的性质，可通过作辅助线构造全等三角形推导$BD=DE$：过点$D$作$DF// BE$，交$AB$延长线于点$F$，先证$△ ADF$是等边三角形得到边、角的等量关系，再证明$△ FBD≌△ CDE$即可推出$BD=DE$，最终得到待证结论。
【解析】
证明：如图，过点 $D$ 作 $DF// BE$,交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°.$
$\therefore △ ADF$ 是等边三角形.
$\therefore AD=DF=AF.$
$\therefore AF-AB=AD-AC$，即$CD=BF.$
又$\because AD=CE,$
$\therefore FD=CE.$
$\because ∠DCE=∠ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠DFB=∠DCE=60°.$
在$△ FBD$ 和$△ CDE$ 中,
$\because \begin{cases} FB=CD,\\ ∠DFB=∠ECD,\\ FD=CE,\end{cases}$
$\therefore △ FBD≌ △ CDE(SAS).$
$\therefore DB=DE$，即 $△ BDE$ 是等腰三角形.
又$\because DG⊥BE$ 于点 $G$，根据等腰三角形三线合一的性质，$G$ 为 $BE$ 的中点，
$\therefore BG=EG.$
【答案】
【证明】如图,过点 $D$ 作 $DF// BE$,交 $AB$ 的延长线于点 $F$.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A=60°.$
$\therefore △ ADF$ 是等边三角形.
$\therefore AD=DF=AF.$
$\therefore CD=BF.$ 又$\because AD=CE,$
$\therefore FD=CE.$
$\because ∠DCE=∠ACB=60^{\circ },$
$\therefore ∠DFB=∠DCE.$
在$△ FBD$ 和$△ CDE$ 中,
$\because \begin{cases} FB=CD,\\ ∠DFB=∠ECD,\\ FD=CE,\end{cases} \therefore △ FBD≌ △ CDE(SAS).$
$\therefore DB=DE. \therefore △ BDE$ 是等腰三角形.
又$\because DG⊥BE$ 于点 $G$,$\therefore G$ 为 $BE$ 的中点. $\therefore BG=EG.$
【知识点】
等边三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是三角形性质综合应用的典型题，解题的关键是通过作平行线构造等边三角形，进而得到全等三角形需要的边、角等量关系，既考察了对特殊三角形性质的掌握程度，也锻炼了几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.6
