登录
3.解不等式组$\begin{cases} x+2≤6, &① \\ 3x-2≥2x, &② \end{cases}$ 请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①,得
(2)解不等式②,得
(3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为
(1)解不等式①,得
$x≤4$
;(2)解不等式②,得
$x≥2$
;(3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为
$2≤x≤4$
.答案
3.(1)$x≤4$ (2)$x≥2$ (3)略 (4)$2≤x≤4$
解析
【分析】
要解一元一次不等式组，需遵循“分别解每个不等式→确定两个解集的公共部分→得到不等式组解集”的思路。解单个一元一次不等式时，通过移项把含未知数的项放一侧，常数项放另一侧，注意移项要变号；确定解集公共部分可以借助数轴更直观，最后根据“大小小大中间找”的规律就能得到不等式组的解集。
【解析】
(1) 解不等式①$x+2≤6$，移项得$x≤6-2$，计算得$x≤4$。
(2) 解不等式②$3x-2≥2x$，移项得$3x-2x≥2$，合并同类项得$x≥2$。
(3) 数轴表示：在数轴上数字2的位置画实心圆点（包含等号），向右延伸表示$x≥2$；在数字4的位置画实心圆点（包含等号），向左延伸表示$x≤4$，两者重叠的区域就是不等式组解集的范围。
(4) 两个解集$x≤4$和$x≥2$的公共部分为$2≤x≤4$，即为原不等式组的解集。
【答案】
(1)$x≤4$；(2)$x≥2$；(3)见解析；(4)$2≤x≤4$
【知识点】
解一元一次不等式、不等式组解集的确定、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，核心是掌握解一元一次不等式的移项规则，以及确定两个不等式解集公共部分的方法，数轴表示时要注意：包含端点用实心点，不包含端点用空心点。
【难度系数】
0.9
要解一元一次不等式组，需遵循“分别解每个不等式→确定两个解集的公共部分→得到不等式组解集”的思路。解单个一元一次不等式时，通过移项把含未知数的项放一侧，常数项放另一侧，注意移项要变号；确定解集公共部分可以借助数轴更直观，最后根据“大小小大中间找”的规律就能得到不等式组的解集。
【解析】
(1) 解不等式①$x+2≤6$，移项得$x≤6-2$，计算得$x≤4$。
(2) 解不等式②$3x-2≥2x$，移项得$3x-2x≥2$，合并同类项得$x≥2$。
(3) 数轴表示：在数轴上数字2的位置画实心圆点（包含等号），向右延伸表示$x≥2$；在数字4的位置画实心圆点（包含等号），向左延伸表示$x≤4$，两者重叠的区域就是不等式组解集的范围。
(4) 两个解集$x≤4$和$x≥2$的公共部分为$2≤x≤4$，即为原不等式组的解集。
【答案】
(1)$x≤4$；(2)$x≥2$；(3)见解析；(4)$2≤x≤4$
【知识点】
解一元一次不等式、不等式组解集的确定、数轴表示不等式解集
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，核心是掌握解一元一次不等式的移项规则，以及确定两个不等式解集公共部分的方法，数轴表示时要注意：包含端点用实心点，不包含端点用空心点。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. 已知 $ x=1 $ 满足关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}3x -5 ≤ 2x -4a, \\3(x -a) ＜ 4(x +2) -5,\end{cases}$ 求 $ a $ 的取值范围.
1. 已知 $ x=1 $ 满足关于 $ x $ 的不等式组$\begin{cases}3x -5 ≤ 2x -4a, \\3(x -a) ＜ 4(x +2) -5,\end{cases}$ 求 $ a $ 的取值范围.
答案
1.a 的取值范围是$-\frac{4}{3}＜a≤1$。
解析
【分析】
解题思路：首先明确“x=1满足不等式组”的含义是x=1能让两个不等式同时成立，因此可以把x=1分别代入两个不等式，得到两个关于a的一元一次不等式，分别求解这两个不等式后，取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意，解不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：
∵x=1是该不等式组的解，
∴将x=1代入不等式$3x -5 ≤ 2x -4a$，得：
$3×1 -5 ≤ 2×1 -4a$
化简得：$-2 ≤ 2 -4a$
移项得：$4a ≤ 2 +2$
即$4a ≤4$
解得：$a ≤1$
将x=1代入不等式$3(x -a) ＜ 4(x +2) -5$，得：
$3(1 -a) ＜ 4×(1+2) -5$
化简得：$3 -3a ＜ 12 -5$
即$3 -3a ＜7$
移项得：$-3a ＜7 -3$
即$-3a ＜4$
两边同时除以-3，不等号方向改变，得：
$a ＞ -\frac{4}{3}$
综合两个不等式的解集，取公共部分可得a的取值范围。
【答案】
a 的取值范围是$-\frac{4}{3}＜a≤1$
【知识点】
不等式组解的定义，解一元一次不等式，不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解不等式组解的含义，将已知解代入转化为关于参数的不等式组求解即可，解题易错点是解不等式时两边除以负数忘记改变不等号方向，练习时需注意规避该错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确“x=1满足不等式组”的含义是x=1能让两个不等式同时成立，因此可以把x=1分别代入两个不等式，得到两个关于a的一元一次不等式，分别求解这两个不等式后，取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围。解题时要注意，解不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解：
∵x=1是该不等式组的解，
∴将x=1代入不等式$3x -5 ≤ 2x -4a$，得：
$3×1 -5 ≤ 2×1 -4a$
化简得：$-2 ≤ 2 -4a$
移项得：$4a ≤ 2 +2$
即$4a ≤4$
解得：$a ≤1$
将x=1代入不等式$3(x -a) ＜ 4(x +2) -5$，得：
$3(1 -a) ＜ 4×(1+2) -5$
化简得：$3 -3a ＜ 12 -5$
即$3 -3a ＜7$
移项得：$-3a ＜7 -3$
即$-3a ＜4$
两边同时除以-3，不等号方向改变，得：
$a ＞ -\frac{4}{3}$
综合两个不等式的解集，取公共部分可得a的取值范围。
【答案】
a 的取值范围是$-\frac{4}{3}＜a≤1$
【知识点】
不等式组解的定义，解一元一次不等式，不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解不等式组解的含义，将已知解代入转化为关于参数的不等式组求解即可，解题易错点是解不等式时两边除以负数忘记改变不等号方向，练习时需注意规避该错误。
【难度系数】
0.7
2.水是人类的宝贵资源，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平.为了节约用水，某校于本学期初制订了用水计划，如果实际每天比计划多用1吨水，那么本学期的用水总量将会超过1 430吨；如果实际每天比计划节约1吨水，那么本学期用水总量将会不足1 320吨.如果本学期在校时间按110天计算，那么该校计划每天用水量应控制在什么范围内？
答案
2.该校计划每天的用水量应控制在大于 12吨且小于 13 吨范围内。
解析
【分析】
本题是利用一元一次不等式组解决实际范围问题的典型题型，解题思路如下：首先设计划每天用水量为未知数，再抓住题干里“超过1430吨”“不足1320吨”两个明确的不等关系，分别列出对应的一元一次不等式，组成不等式组，最后求解不等式组得到的解集就是计划每天用水量的控制范围。
【解析】
解：设该校计划每天用水量为$ x $吨。
根据题意列不等式组：
1. 实际每天比计划多用1吨时，总用水量超过1430吨：
$ 110(x+1) ＞ 1430 $
两边同时除以110，得$ x+1 ＞ 13 $，解得$ x ＞ 12 $。
2. 实际每天比计划节约1吨时，总用水量不足1320吨：
$ 110(x-1) ＜ 1320 $
两边同时除以110，得$ x-1 ＜ 12 $，解得$ x ＜ 13 $。
因此不等式组的解集为$ 12 ＜ x ＜ 13 $。
【答案】
该校计划每天的用水量应控制在大于12吨且小于13吨范围内。
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题属于不等式基础应用题，解题关键是准确识别“超过”“不足”这类关键词对应的不等号方向，正确列出不等式组后按常规步骤求解即可，最终结果要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.75
本题是利用一元一次不等式组解决实际范围问题的典型题型，解题思路如下：首先设计划每天用水量为未知数，再抓住题干里“超过1430吨”“不足1320吨”两个明确的不等关系，分别列出对应的一元一次不等式，组成不等式组，最后求解不等式组得到的解集就是计划每天用水量的控制范围。
【解析】
解：设该校计划每天用水量为$ x $吨。
根据题意列不等式组：
1. 实际每天比计划多用1吨时，总用水量超过1430吨：
$ 110(x+1) ＞ 1430 $
两边同时除以110，得$ x+1 ＞ 13 $，解得$ x ＞ 12 $。
2. 实际每天比计划节约1吨时，总用水量不足1320吨：
$ 110(x-1) ＜ 1320 $
两边同时除以110，得$ x-1 ＜ 12 $，解得$ x ＜ 13 $。
因此不等式组的解集为$ 12 ＜ x ＜ 13 $。
【答案】
该校计划每天的用水量应控制在大于12吨且小于13吨范围内。
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题属于不等式基础应用题，解题关键是准确识别“超过”“不足”这类关键词对应的不等号方向，正确列出不等式组后按常规步骤求解即可，最终结果要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.75
