1[2026山东泰安期中,中]在学习相交线与平行线时,老师组织班上的同学分组开展关于潜望镜的数学实践活动,小宁所在组制作了如图(1)所示的潜望镜模型并且观察成功.大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理.(注:图(2)和图(3)中∠1=∠2,∠3=∠4)
(1)图(2)中,AB,CD代表平面镜摆放的位置,当平面镜AB//CD时,试判断入射光线m与反射光线n的位置关系,并说明理由.
(2)如果改变两面平面镜的位置,经过两次反射后,入射光线m与反射光线n的位置也会随之改变,如图(3),当光线m射到平面镜AB上时,会反射到平面镜CD上,光线又被平面镜CD反射,当两面平面镜的夹角∠ABC的度数是多少时,入射光线m与反射光线n满足m//n?请说明理由.

(1)m//n. 理由:因为AB//CD,所以∠2=∠3. 因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1=∠2=∠3=∠4,所以180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4,即∠5=∠6,所以m//n.
(2)∠ABC=90°. 理由:因为∠ABC=90°,所以∠2+∠3=180°-90°=90°. 因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=180°,所以∠5+∠6=(180°-∠1-∠2)+(180°-∠3-∠4)=180°+180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°+180°-180°=180°,所以m//n.

2 [2026 江苏淮安质检,中]【问题情境】课本196页有这样一个数学探究“鸡蛋饼的分割”,小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题:鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面,分割的每一刀都可以抽象为一条直线,鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题。
【数学问题】圆中分割线的条数、分割线的最多交点数、圆面被分割出的最多平面区域数之间存在什么样的数量关系?
【问题探究】为了解决这个问题,我们利用图(1)、图(2)、图(3)并借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律。

(1)请在图(4)中用4条分割线将圆面分割出最多的区域,并画出分割后的图形。
【问题解决】
(2)将表格中的数据补充完整,x=;y=。
(3)猜想:圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n,圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为。
【实际应用】
(4)早餐摊老板准备切8刀分割鸡蛋饼,最多能将鸡蛋饼分成块。
(5)七年级1班有44名同学,在元旦晚会上,老师准备了一个长方体形状的大蛋糕,最少切几刀分蛋糕(大小不限,只能垂直或平行于蛋糕面切),可以使每名同学都能分到一块?

在写了鸭!

(1)如图.
(2)由图可得分割线为4条,分割线的最多交点数是6,分割出的最多平面区域数是11,所以x=6,y=11.
(3)根据表格中数据可得,t=m+n+1.
(4)由题中表格可得,当m = 1 时,t = 1 + 1×(1+1)/2 = 2;当m = 2 时,t = 1 + 2×(2+1)/2 = 4;当m = 3 时,t = 1 + 3×(3+1)/2 = 7;当m = 4 时,t = 1 + 4×(4+1)/2 = 11;…,所以t = 1 + m(m+1)/2. 将m=8代入t=1+m(m+1)/2,得t=1+8×(8+1)/2=37,所以最多能将鸡蛋饼分成37块.
(5)先将这个长方体大蛋糕沿垂直于蛋糕面方向切4刀,最多可分成11块,然后再沿平行于蛋糕面方向切3刀,得四层蛋糕,每层有11块,所以共分成11×4=44(块).也可以先沿垂直于蛋糕面方向切6刀,最多可分成22块,然后再沿平行于蛋糕面方向切1刀,得两层蛋糕,每层有22块,所以共分成22×2=44(块).所以最少切7刀分蛋糕,可以使每名同学都能分到一块.