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7. 某少年足球俱乐部学员的年龄分布如下表：
其中一个数据被遮盖了. 若这组数据的中位数为 13.5 ,则该俱乐部共有学员
其中一个数据被遮盖了. 若这组数据的中位数为 13.5 ,则该俱乐部共有学员
146
名.答案
由这组数据的中位数为 13.5 可知,最中间的两个数为 13,14.
∴ 这个俱乐部共有学员$(28+22+23)×2=146$(名).
∴ 这个俱乐部共有学员$(28+22+23)×2=146$(名).
解析
【分析】
首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大排序后，若数据总个数为奇数，中位数是位于正中间的数；若总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。题目给出这组数据的中位数是13.5，说明排序后正中间两个数的平均数为13.5，结合给出的年龄均为整数，可推出中间两个数只能是13和14。这就意味着所有13岁的学员全部排在前半部分，所有14、15、16岁的学员全部排在后半部分，也就是13岁的学员总人数恰好等于14、15、16岁的学员总人数，由此可以直接计算总学员数，不需要单独求出被遮盖的13岁的频数。
【解析】
解：
∵ 这组数据的中位数为13.5，将所有学员年龄从小到大排序后，中位数是中间两个数的平均值，
∴ 排序后最中间的两个数分别为13和14。
由此可得13岁的学员总人数，与14岁、15岁、16岁的学员人数之和相等。
先计算14、15、16岁的学员总人数：
28+22+23=73（名）
因此该俱乐部总学员数为：
73×2=146（名）
【答案】
146
【知识点】
中位数定义，频数求和
【点评】
本题没有直接给出13岁的频数，核心考察对中位数概念的灵活理解，不需要设未知数求解被遮盖的数值，通过中位数为13.5结合年龄均为整数的特点，直接推导出前后两部分人数相等，简化了计算，容易出错的点是忽略年龄为整数的属性，错误尝试额外推导被遮盖的频数。
【难度系数】
0.6
首先回忆中位数的定义：将一组数据从小到大排序后，若数据总个数为奇数，中位数是位于正中间的数；若总个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数。题目给出这组数据的中位数是13.5，说明排序后正中间两个数的平均数为13.5，结合给出的年龄均为整数，可推出中间两个数只能是13和14。这就意味着所有13岁的学员全部排在前半部分，所有14、15、16岁的学员全部排在后半部分，也就是13岁的学员总人数恰好等于14、15、16岁的学员总人数，由此可以直接计算总学员数，不需要单独求出被遮盖的13岁的频数。
【解析】
解：
∵ 这组数据的中位数为13.5，将所有学员年龄从小到大排序后，中位数是中间两个数的平均值，
∴ 排序后最中间的两个数分别为13和14。
由此可得13岁的学员总人数，与14岁、15岁、16岁的学员人数之和相等。
先计算14、15、16岁的学员总人数：
28+22+23=73（名）
因此该俱乐部总学员数为：
73×2=146（名）
【答案】
146
【知识点】
中位数定义，频数求和
【点评】
本题没有直接给出13岁的频数，核心考察对中位数概念的灵活理解，不需要设未知数求解被遮盖的数值，通过中位数为13.5结合年龄均为整数的特点，直接推导出前后两部分人数相等，简化了计算，容易出错的点是忽略年龄为整数的属性，错误尝试额外推导被遮盖的频数。
【难度系数】
0.6
8. 某地为发展射击运动,培养射击人才,策划了一次射击比赛,选取两所射击特色学校参赛,每所学校参加比赛的人数相同,成绩分为 A,B,C,D 四个等级,其中相应等级的得分依次记为 100 分,90 分,80 分,70 分,将两所学校学生的成绩进行整理并绘制成如图所示的统计图. 请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1) 实验学校参加射击比赛的人数为
(2) 请你根据平均数、中位数综合比较哪所学校射击水平较高.
(1) 实验学校参加射击比赛的人数为
25
,体育学校射击比赛成绩的众数落在A
等级.(2) 请你根据平均数、中位数综合比较哪所学校射击水平较高.
答案
(1) 实验学校参加射击比赛的人数为 6+12+2+5=25,体育学校射击比赛成绩的众数落在 A 等级. (2)
∵ 实验学校射击成绩的中位数为 90 分,体育学校射击成绩的中位数为 80 分,
∴ 从中位数看,实验学校好于体育学校,实验学校射击水平较高.实验学校射击成绩的平均数为$\frac{1}{25}×(100×6+90×12+80×2+70×5)=87.6$(分).体育学校射击成绩的平均数为 $100×44\%+90×4\%+80×36\%+70×16\%=87.6$(分),从平均数看,两所学校射击水平相同.综上所述,实验学校射击水平更高.
∵ 实验学校射击成绩的中位数为 90 分,体育学校射击成绩的中位数为 80 分,
∴ 从中位数看,实验学校好于体育学校,实验学校射击水平较高.实验学校射击成绩的平均数为$\frac{1}{25}×(100×6+90×12+80×2+70×5)=87.6$(分).体育学校射击成绩的平均数为 $100×44\%+90×4\%+80×36\%+70×16\%=87.6$(分),从平均数看,两所学校射击水平相同.综上所述,实验学校射击水平更高.
解析
【分析】
首先解决第一问：计算实验学校参赛总人数，直接将条形统计图里A、B、C、D四个等级的人数相加即可；已知两所学校参赛人数相同，体育学校扇形统计图中占比最高的等级就是众数所在的等级，直接对比各等级占比就能得到结果。
第二问需要从平均数和中位数两个维度对比两校水平：首先确定两校总人数都是25，将成绩从高到低排序后，中位数是第13个数据的得分，分别统计两校各等级人数，找到第13个数据对应的得分得到中位数；再用加权平均数公式分别计算两校的平均成绩，最后结合两个统计量综合判断哪所学校射击水平更高。
【解析】
(1) 实验学校参赛总人数为四个等级人数之和：$6+12+2+5=25$；
观察体育学校扇形统计图，A等级占比44%，是所有等级中占比最高的，因此众数落在A等级。
(2) ① 计算两校的加权平均数：
实验学校平均成绩：
$\bar{x}_{实}=\frac{1}{25}×(100×6 + 90×12 + 80×2 +70×5)=87.6$（分）
体育学校平均成绩，直接用占比加权计算：
$\bar{x}_{体}=100×44\% +90×4\% +80×36\% +70×16\%=87.6$（分）
可得两校平均成绩相等。
② 计算两校的中位数：
总人数为25，将成绩从高到低排序后，中位数是第13个数据的得分：
实验学校：A等级共6人（100分），B等级共12人（90分），前6个数据为100分，第7到第18个数据均为90分，因此第13个数据是90分，实验学校中位数为90分。
体育学校：A等级人数为$25×44\%=11$人（100分），B等级人数为$25×4\%=1$人（90分），前11个数据为100分，第12个数据为90分，第13到第21个数据均为80分，因此第13个数据是80分，体育学校中位数为80分。
对比可知，两校平均数相同，实验学校中位数更高，因此实验学校射击水平更高。
【答案】
(1) 25，A；(2) 两校平均成绩相等，实验学校中位数更高，实验学校射击水平更高。
【知识点】
统计图表信息提取，加权平均数，中位数与众数
【点评】
本题是统计模块的综合应用题，结合条形图和扇形图考察数据处理与分析能力，解题核心是准确从两类图表中提取对应数据，易错点是确定中位数时需要先排序找到中间位置对应的得分，本题两校平均成绩一致，通过中位数的差异可以判断整体数据的集中趋势，符合统计分析的实际逻辑。
【难度系数】
0.7
首先解决第一问：计算实验学校参赛总人数，直接将条形统计图里A、B、C、D四个等级的人数相加即可；已知两所学校参赛人数相同，体育学校扇形统计图中占比最高的等级就是众数所在的等级，直接对比各等级占比就能得到结果。
第二问需要从平均数和中位数两个维度对比两校水平：首先确定两校总人数都是25，将成绩从高到低排序后，中位数是第13个数据的得分，分别统计两校各等级人数，找到第13个数据对应的得分得到中位数；再用加权平均数公式分别计算两校的平均成绩，最后结合两个统计量综合判断哪所学校射击水平更高。
【解析】
(1) 实验学校参赛总人数为四个等级人数之和：$6+12+2+5=25$；
观察体育学校扇形统计图，A等级占比44%，是所有等级中占比最高的，因此众数落在A等级。
(2) ① 计算两校的加权平均数：
实验学校平均成绩：
$\bar{x}_{实}=\frac{1}{25}×(100×6 + 90×12 + 80×2 +70×5)=87.6$（分）
体育学校平均成绩，直接用占比加权计算：
$\bar{x}_{体}=100×44\% +90×4\% +80×36\% +70×16\%=87.6$（分）
可得两校平均成绩相等。
② 计算两校的中位数：
总人数为25，将成绩从高到低排序后，中位数是第13个数据的得分：
实验学校：A等级共6人（100分），B等级共12人（90分），前6个数据为100分，第7到第18个数据均为90分，因此第13个数据是90分，实验学校中位数为90分。
体育学校：A等级人数为$25×44\%=11$人（100分），B等级人数为$25×4\%=1$人（90分），前11个数据为100分，第12个数据为90分，第13到第21个数据均为80分，因此第13个数据是80分，体育学校中位数为80分。
对比可知，两校平均数相同，实验学校中位数更高，因此实验学校射击水平更高。
【答案】
(1) 25，A；(2) 两校平均成绩相等，实验学校中位数更高，实验学校射击水平更高。
【知识点】
统计图表信息提取，加权平均数，中位数与众数
【点评】
本题是统计模块的综合应用题，结合条形图和扇形图考察数据处理与分析能力，解题核心是准确从两类图表中提取对应数据，易错点是确定中位数时需要先排序找到中间位置对应的得分，本题两校平均成绩一致，通过中位数的差异可以判断整体数据的集中趋势，符合统计分析的实际逻辑。
【难度系数】
0.7
9. ＊我们约定:身高在选定标准的$\pm2\%$范围之内都称为“普通身高”. 为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数,我们从该校九年级男生中随机选出10名男生,分别测量他们的身高$x$(单位:cm),收集并整理成如下统计表:
根据以上信息,解答下列问题:
(1) 计算这组数据的平均数、中位数和众数.
(2) 请你选定一个统计量作为标准,找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几名男生.
(3) 若九年级共有280名男生,按(2)中选定的标准,请你估计九年级中具有“普通身高”的男生人数.
根据以上信息,解答下列问题:
(1) 计算这组数据的平均数、中位数和众数.
(2) 请你选定一个统计量作为标准,找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几名男生.
(3) 若九年级共有280名男生,按(2)中选定的标准,请你估计九年级中具有“普通身高”的男生人数.
答案
(1) 这组数据的平均数为$\frac{1}{10}×(163+171+173+159+161+174+164+166+169+164)=166.4$,中位数为$\frac{1}{2}×(166+164)=165$,众数为 164. (2) 选平均数作为标准,当身高 $x$(单位:cm)满足 $166.4×(1-2\%)≤ x≤166.4×(1+2\%)$ 时为“普通身高”,即 $163.072≤ x≤169.728$.此时,序号为⑦⑧⑨⑩的男生具有“普通身高”.选中位数作为标准,当身高 $x$(单位:cm)满足 $165×(1-2\%)≤ x≤165×(1+2\%)$ 时为“普通身高”,即 $161.7≤ x≤168.3$.此时,序号为①⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”.选众数作为标准,当身高 $x$(单位:cm)满足 $164×(1-2\%)≤ x≤164×(1+2\%)$ 时为“普通身高”,即 $160.72≤ x≤167.28$.此时,序号为①⑤⑦⑧⑩的男生具有“普通身高”(三种标准任选一种即可). (3) 选平均数作为标准,估计九年级中具有“普通身高”的男生有 $280×\frac{4}{10}=112$(名).选中位数作为标准,估计九年级中具有“普通身高”的男生有 $280×\frac{4}{10}=112$(名).选众数作为标准,估计九年级中具有“普通身高”的男生有 $280×\frac{5}{10}=140$(名)[对应第(2)小题即可].
解析
【分析】
我们可以按照题目三个小问的逻辑逐步推导：
1. 第一问计算三个统计量：求平均数直接将所有身高数据求和后除以总人数10即可；求中位数需要先把全部身高从小到大排序，因为数据总数是偶数，取排序后第5、第6个数据的平均值就是中位数；众数只需统计出现次数最多的身高数值即可。
2. 第二问选定统计量作为标准：可以任选平均数、中位数、众数其中一个，按照题目约定先算出该统计量±2%对应的身高取值区间，再逐一比对10名男生的身高，落在区间内的就是符合“普通身高”的对象。
3. 第三问估算总体人数：用样本中符合“普通身高”的人数占比，乘以九年级男生总人数280，即可得到总体的估计值。
【解析】
(1) 计算统计量：
① 平均数：将10个身高求和得$163+171+173+159+161+174+164+166+169+164=1664$，除以总人数10，得平均数为$\frac{1}{10}×1664=166.4\ \mathrm{cm}$。
② 中位数：先将身高从小到大排序：159，161，163，164，164，166，169，171，173，174，取第5位和第6位的数值164、166，计算平均值得$\frac{1}{2}×(164+166)=165\ \mathrm{cm}$。
③ 众数：统计各身高出现次数，164出现2次，其余身高均只出现1次，因此众数为$164\ \mathrm{cm}$。
(2) 以选平均数为标准举例：
按照约定，身高$x$满足$166.4×(1-2\%)≤ x≤166.4×(1+2\%)$，计算得$163.072≤ x≤169.728$，比对所有身高，落在区间内的对应序号为⑦⑧⑨⑩。
也可选中位数作为标准，对应区间为$161.7≤ x≤168.3$，符合的序号为①⑦⑧⑩；选众数作为标准，对应区间为$160.72≤ x≤167.28$，符合的序号为①⑤⑦⑧⑩，三种任选其一即可。
(3) 若选平均数为标准，样本中符合普通身高的共4人，占比为$\frac{4}{10}$，因此估计九年级符合要求的男生人数为$280×\frac{4}{10}=112$名；若选中位数标准结果同样为112名，选众数标准结果为$280×\frac{5}{10}=140$名，和第(2)问所选标准对应即可。
【答案】
(1) 平均数为166.4cm，中位数为165cm，众数为164cm；
(2) 示例：选平均数作为标准，具有“普通身高”的是序号为⑦⑧⑨⑩的男生；也可选中位数作为标准对应序号①⑦⑧⑩，选众数作为标准对应序号①⑤⑦⑧⑩，任选其一即可；
(3) 对应所选标准，选平均数/中位数时估计人数为112名，选众数时估计人数为140名。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的基础应用题，结合新定义场景考察核心统计量的计算与实际应用，解题时注意计算中位数前必须先对数据排序，区间计算不要出错，三个可选标准任选其一作答即可，整体难度较低，适合巩固统计基础概念。
【难度系数】
0.7
我们可以按照题目三个小问的逻辑逐步推导：
1. 第一问计算三个统计量：求平均数直接将所有身高数据求和后除以总人数10即可；求中位数需要先把全部身高从小到大排序，因为数据总数是偶数，取排序后第5、第6个数据的平均值就是中位数；众数只需统计出现次数最多的身高数值即可。
2. 第二问选定统计量作为标准：可以任选平均数、中位数、众数其中一个，按照题目约定先算出该统计量±2%对应的身高取值区间，再逐一比对10名男生的身高，落在区间内的就是符合“普通身高”的对象。
3. 第三问估算总体人数：用样本中符合“普通身高”的人数占比，乘以九年级男生总人数280，即可得到总体的估计值。
【解析】
(1) 计算统计量：
① 平均数：将10个身高求和得$163+171+173+159+161+174+164+166+169+164=1664$，除以总人数10，得平均数为$\frac{1}{10}×1664=166.4\ \mathrm{cm}$。
② 中位数：先将身高从小到大排序：159，161，163，164，164，166，169，171，173，174，取第5位和第6位的数值164、166，计算平均值得$\frac{1}{2}×(164+166)=165\ \mathrm{cm}$。
③ 众数：统计各身高出现次数，164出现2次，其余身高均只出现1次，因此众数为$164\ \mathrm{cm}$。
(2) 以选平均数为标准举例：
按照约定，身高$x$满足$166.4×(1-2\%)≤ x≤166.4×(1+2\%)$，计算得$163.072≤ x≤169.728$，比对所有身高，落在区间内的对应序号为⑦⑧⑨⑩。
也可选中位数作为标准，对应区间为$161.7≤ x≤168.3$，符合的序号为①⑦⑧⑩；选众数作为标准，对应区间为$160.72≤ x≤167.28$，符合的序号为①⑤⑦⑧⑩，三种任选其一即可。
(3) 若选平均数为标准，样本中符合普通身高的共4人，占比为$\frac{4}{10}$，因此估计九年级符合要求的男生人数为$280×\frac{4}{10}=112$名；若选中位数标准结果同样为112名，选众数标准结果为$280×\frac{5}{10}=140$名，和第(2)问所选标准对应即可。
【答案】
(1) 平均数为166.4cm，中位数为165cm，众数为164cm；
(2) 示例：选平均数作为标准，具有“普通身高”的是序号为⑦⑧⑨⑩的男生；也可选中位数作为标准对应序号①⑦⑧⑩，选众数作为标准对应序号①⑤⑦⑧⑩，任选其一即可；
(3) 对应所选标准，选平均数/中位数时估计人数为112名，选众数时估计人数为140名。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，样本估计总体
【点评】
本题是统计模块的基础应用题，结合新定义场景考察核心统计量的计算与实际应用，解题时注意计算中位数前必须先对数据排序，区间计算不要出错，三个可选标准任选其一作答即可，整体难度较低，适合巩固统计基础概念。
【难度系数】
0.7
