【典例1】如图，等边△ABC中，点D在BC上，∠ADE=60°，CE//AB，AB=5，CD=2，求CE的长。

解:方法一:在 AC 上取点 M,使 CM=CD,连接 DM,
∴△CDM 为等边三角形,
∴CD=DM,
在△ADM 和△EDC 中,
$\begin{cases}∠ADM=∠EDC,\\DM=CD,\\∠AMD=∠DCE,\end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴CE=AM=3.

方法二:延长 EC 至 N,使 CN=CD,
∴△DCN 为等边三角形,
∴DN=CD,
在△ACD 和△END 中,
$\begin{cases}∠ADC=∠EDN,\\CD=DN,\\∠ACD=∠N,\end{cases}$
∴△ACD≌△END(ASA),
∴CE=BD=3.
方法三:过点 D 作 DM//AC 交 AB 于点 M,
∴△BDM 为等边三角形,
在△ADM 和△DEC 中,
$\begin{cases}∠AMD=∠DCE,\\AM=CD,\\∠MAD=∠CDE,\end{cases}$
∴△ADM≌△DEC(ASA),
∴CE=DM=3.

变式.如图,点 E 为等边△ABC 下方一点,∠AEB=60°,AE=10,BE=7,求 CE 的长.

备用图
备用图

解:方法一:延长 EB 至点 M,使 EM=AE,
∴△AEM 为等边三角形,
∴∠MAE=∠BAC=60°,
在△ABM 和△ACE 中,
$\begin{cases}AM=AE,\\∠MAB=∠CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
∴△ABM≌△ACE(SAS),
∴BM=CE=3.

方法二:在 AE 上取点 N,使 AN=BE,
∵∠BEA=∠ACB=60°,
∴∠CBE=∠CAE,
在△BCE 和△ACN 中,
$\begin{cases}BC=AC,\\∠CBE=∠CAN,\\BE=AN,\end{cases}$
∴△BCE≌△ACN(SAS),
∴CE=CN=3.

方法三:在 AE 上取点 F,使 EF=BE,
∴△BEF 为等边三角形,
∴∠EBF=∠ABC=60°,
在△ABF 和△CBE 中,
$\begin{cases}AB=BC,\\∠ABF=∠EBC,\\BE=BF,\end{cases}$
∴△ABF≌△CBE(SAS),
∴CE=AF=3.

【典例2】如图1，等边△ABC边长为5，D，E在AB，AC上，△DEF为等边三角形，且EF=CF，则AD的长为。

2.5

变式.如图2,$△ ABC$和$△ FPQ$都为等边三角形,$F,E$分别为$AC,BC$的中点,点$P$在AB上,连$EF,QE$,$AB=6$,$PB=1$,则$QE$的长为.

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