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1. 如图，在平面直角坐标系中，$A_1(2,4), A_2(4,4), A_3(6,0), A_4(8,-4), A_5(10,-4), A_6(12,0)\dots\dots$按这样的规律，则点$A_{2026}$的坐标为（
A.$(4050,-4)$
B.$(4050,4)$
C.$(4052,-4)$
D.$(4052,4)$
C
）A.$(4050,-4)$
B.$(4050,4)$
C.$(4052,-4)$
D.$(4052,4)$
答案
1. C 解析:由题意,得点$A_n$($n$为正整数)的横坐标为$2n$,纵坐标每6个一组循环.所以点$A_{2026}$的横坐标为$2× 2\ 026=4\ 052$. 因为$2\ 026÷ 6=337······4$,所以点$A_{2026}$的纵坐标与点$A_4$的纵坐标相同.又$A_4(8,-4)$,所以点$A_{2026}$的坐标为$(4\ 052,-4)$.
2. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如：(0,1)，(-1,2)，(0,2)，(1,2)，(2,3)，(1,3)，(0,3)……根据这个规律，则第2026个点的坐标是（
A.(45,46)
B.(46,46)
C.(-45,46)
D.(-44,46)
C
）A.(45,46)
B.(46,46)
C.(-45,46)
D.(-44,46)
答案
2. C 解析:由题意,得纵坐标是1的点有1个,纵坐标是2的点有3个,纵坐标是3的点有5个,纵坐标是4的点有7个……所以纵坐标是$n$的点有$(2n-1)$个,且这$(2n-1)$个点的横坐标从左往右依次是$-n+1,-n+2,···,-1,0,1,···,n-1$.从点的排列方向看,纵坐标是1,3,5,7……的点是从右往左的方向,纵坐标是2,4,6……的点是从左往右的方向. 因为$45^2=2\ 025$,当纵坐标是45时,这样的点共有89个,且点是从右往左的方向,所以最左边点的坐标为$(-44,45)$.所以第2 026个点的坐标为$(-45,46)$.
3. 如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),一只电子蚂蚁从点B出发按B→A→D→C→B……的规律以每秒1个单位长度的速度爬行,则第2026秒时这只蚂蚁所在的位置是 (
A.点(0,-2)
B.点(1,0)
C.点(1,-1)
D.点(1,-2)
A
)A.点(0,-2)
B.点(1,0)
C.点(1,-1)
D.点(1,-2)
答案
3. A 解析: 因为$A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2)$,$D(1,-2)$,所以$AB=CD=2,AD=BC=3$. 所以$C_{长方形ABCD}=2(AB+AD)=10$. 因为$2\ 026=202×10+6$,所以第2 026秒时,蚂蚁在$CD$的中点处,即此时这只蚂蚁所在的位置是点$(0,-2)$.
4. 如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点$A_1(1,1)$；把点$A_1$先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点$A_2(-1,3)$；把点$A_2$先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点$A_3(-4,0)$；把点$A_3$先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点$A_4(0,-4)$……按此做法进行下去，则点$A_{10}$的坐标为
(-1,11)
。答案
4. (-1,11) 解析:由题意,得把点$A_4(0,-4)$先向右平移5个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到$A_5(5,1)$;把点$A_5$先向左平移6个单位长度,再向上平移6个单位长度,得到点$A_6(-1,7)$;把点$A_6$先向左平移7个单位长度,再向下平移7个单位长度,得到点$A_7(-8,0)$;把点$A_7$先向右平移8个单位长度,再向下平移8个单位长度,得到点$A_8(0,-8)$;把点$A_8$先向右平移9个单位长度,再向上平移9个单位长度,得到点$A_9(9,1)$;把点$A_9$先向左平移10个单位长度,再向上平移10个单位长度,得到点$A_{10}(-1,11)$.
5. 新素养 推理能力 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，我们把点$P'(-y+1,x+1)$叫作点$P$的伴随点。已知点$A_1$的伴随点为点$A_2$，点$A_2$的伴随点为点$A_3$，点$A_3$的伴随点为点$A_4$……这样依次得到点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$。若点$A_1$的坐标为$(a,b)$，则点$A_{2026}$的坐标为（
A.$(a,b)$
B.$(-b+1,a+1)$
C.$(-a,-b+2)$
D.$(b-1,-a+1)$
B
）A.$(a,b)$
B.$(-b+1,a+1)$
C.$(-a,-b+2)$
D.$(b-1,-a+1)$
答案
5. B 解析:由题意,得$A_2(-b+1,a+1),A_3(-a,-b+2),A_4(b-1,-a+1),A_5(a,b),A_6(-b+1,a+1)······$则点$A_n$($n$为正整数)的坐标按$(a,b)$,$(-b+1,a+1)$,$(-a,-b+2)$,$(b-1,-a+1)$依次循环. 又$2\ 026÷4=506······2$,所以点$A_{2026}$的坐标为$(-b+1,a+1)$.
6. 法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”.在平面直角坐标系中，我们定义点$P(a,b)$的“笛卡尔变换”如下：$P \to P_1(b+1, -a+1)$.已知点$A_0$的坐标为$(2,0)$，则经过2026次“笛卡尔变换”后得到的点$A_{2026}$的坐标为（
A.$(0,0)$
B.$(1,1)$
C.$(2,0)$
D.$(1,-1)$
A
）A.$(0,0)$
B.$(1,1)$
C.$(2,0)$
D.$(1,-1)$
答案
6. A 解析:由题意,得$A_0(2,0),A_1(1,-1),A_2(0,0)$,$A_3(1,1),A_4(2,0)······$按此规律,点$A_n$($n$为正整数)的坐标按$(1,-1),(0,0),(1,1),(2,0)$依次循环. 因为$2\ 026÷4=506······2$,所以第2 026次“笛卡尔变换”后的坐标与点$A_2$的坐标相同,即点$A_{2026}$的坐标为$(0,0)$.
