1.(教材 P38T2)工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图,∠AOB 是一个任意角,在边 OA,OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点 M,N 重合,过角尺顶点 P 的射线 OP 便是∠AOB 的平分线,请说明理由.

解:在$△ OMP$ 和$△ ONP$ 中,$\begin{cases} OM=ON,\\ MP=NP,\\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌△ ONP(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ MOP=∠ NOP,$即 $OP$ 平分$∠ AOB.$

2.(教材P37例3变式)如图,在$△ ABC$中,点E在CA的延长线上,点M在AB上,$AM=AC$,$AB=AE$,$BC=EM$.
(1)求证:$AB⊥ CE$;
(2)求证:$EM⊥ BC$.

证明:(1)在$△ CAB$ 和$△ MAE$ 中,$\begin{cases} CA=MA,\\ CB=ME,\\ AB=AE, \end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ MAE(\mathrm{SSS}),∠ CAB=∠ MAE,$
又$\because ∠ CAB+∠ MAE=180°,$
$\therefore ∠ CAB=90°,\therefore AB⊥ CE;$
(2)延长 $EM$ 交 $BC$ 于 $D$ 点,
$\because △ CAB≌△ MAE,\therefore ∠ B=∠ E,$
$\therefore ∠ BDM=∠ BAE=90°,\therefore ME⊥ BC.$

3.(教材P46T18变式)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上,求证:BE=CE.

证明:在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AD=AD,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS}),$
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE,$
在$△ ABE$ 和$△ ACE$ 中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠ BAE=∠ CAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS}),\therefore BE=CE.$

4.如图，点E，F在BD上，AE=CF，AF=CE，CD//AB，求证：DF=BE.

证明:在$△ AEF$ 和$△ CFE$ 中,$\begin{cases} AE=CF,\\ AF=CE,\\ EF=FE, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ CFE(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ CFE=∠ AEF,$
$\because CD// AB,\therefore ∠ B=∠ D,$
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases} ∠ B=∠ D,\\ ∠ AEB=∠ CFD,\\ AE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore BE=DF.$

5.在如图所示的$3×3$的网格中,与$△ ABC$有一条公共边且全等(不含$△ ABC$)的所有格点三角形的个数是()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

D