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三、解答题
15. 解方程(组).
(1) $\begin{cases}7x + 2y = 16, \\2x + 5y = 9;\end{cases}$
(2) $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = 1.$
15. 解方程(组).
(1) $\begin{cases}7x + 2y = 16, \\2x + 5y = 9;\end{cases}$
(2) $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = 1.$
答案
15. (1) $\begin{cases}x=2, \\y=1\end{cases}$ (2)$x=\frac{2}{3}$
解析
【分析】
(1) 该题为二元一次方程组求解，解题核心是消元思想，将二元转化为一元求解。可选择加减消元法，给两个方程乘合适的系数，使其中一个未知数的系数相等，两式相减消去该未知数，求出剩余未知数的值后，代入原方程即可求出另一个未知数的值。
(2) 该题为分式方程求解，解题思路是先去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程分母不为0，排除增根。首先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，解整式方程后验根即可。
【解析】
(1) 给方程组标注序号：
$\begin{cases}7x + 2y = 16&① \\2x + 5y = 9&② \end{cases}$
消去$y$：①$×5$，得$35x + 10y = 80$ ③；②$×2$，得$4x + 10y = 18$ ④
用③$-$④，得$31x=62$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$7×2 + 2y =16$，解得$y=1$
故方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=1 \end{cases}$
(2) 分式方程$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = 1$的最简公分母为$x(x-1)$，且$x≠0$且$x≠1$
方程两边同时乘$x(x-1)$，去分母得：
$x^2 + 2(x-1) = x(x-1)$
展开整理：$x^2 +2x -2 = x^2 -x$
移项合并同类项：$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$
检验：将$x=\frac{2}{3}$代入$x(x-1)$，得$\frac{2}{3}×(\frac{2}{3}-1)=-\frac{2}{9}≠0$，故$x=\frac{2}{3}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$ (2) $x=\frac{2}{3}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是解方程的基础常规题型，(1)考查二元一次方程组的消元思想，熟练掌握加减消元法、代入消元法即可轻松求解；(2)考查分式方程的求解步骤，要特别注意解分式方程必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
(1) 该题为二元一次方程组求解，解题核心是消元思想，将二元转化为一元求解。可选择加减消元法，给两个方程乘合适的系数，使其中一个未知数的系数相等，两式相减消去该未知数，求出剩余未知数的值后，代入原方程即可求出另一个未知数的值。
(2) 该题为分式方程求解，解题思路是先去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原方程分母不为0，排除增根。首先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，解整式方程后验根即可。
【解析】
(1) 给方程组标注序号：
$\begin{cases}7x + 2y = 16&① \\2x + 5y = 9&② \end{cases}$
消去$y$：①$×5$，得$35x + 10y = 80$ ③；②$×2$，得$4x + 10y = 18$ ④
用③$-$④，得$31x=62$，解得$x=2$
把$x=2$代入①，得$7×2 + 2y =16$，解得$y=1$
故方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\y=1 \end{cases}$
(2) 分式方程$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = 1$的最简公分母为$x(x-1)$，且$x≠0$且$x≠1$
方程两边同时乘$x(x-1)$，去分母得：
$x^2 + 2(x-1) = x(x-1)$
展开整理：$x^2 +2x -2 = x^2 -x$
移项合并同类项：$3x=2$，解得$x=\frac{2}{3}$
检验：将$x=\frac{2}{3}$代入$x(x-1)$，得$\frac{2}{3}×(\frac{2}{3}-1)=-\frac{2}{9}≠0$，故$x=\frac{2}{3}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$ (2) $x=\frac{2}{3}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是解方程的基础常规题型，(1)考查二元一次方程组的消元思想，熟练掌握加减消元法、代入消元法即可轻松求解；(2)考查分式方程的求解步骤，要特别注意解分式方程必须验根，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
16. 已知 $ x - y = -1 $，$ xy = 3 $，求 $ x^3y - 2x^2y^2 + xy^3 $ 的值。
答案
16. 解:原式$=xy(x-y)^2$,当$xy=3,x-y=-1$时,原式=3.
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现各项都含有公因式$xy$，因此第一步先提取公因式$xy$；提取公因式后剩下的多项式$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的特征，可将其因式分解为$(x-y)^2$，此时所求代数式就转化为仅含已知条件$x-y$和$xy$的形式，最后将已知值整体代入计算即可，无需单独求出$x$、$y$的具体值，能大幅简化运算过程。
【解析】
解：先对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - 2x^2y^2 + xy^3 &= xy(x^2 - 2xy + y^2) \\&= xy(x - y)^2\end{aligned}$
将$xy=3$，$x-y=-1$代入化简后的式子，可得：
原式$=3×(-1)^2=3×1=3$
【答案】
$3$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解把所求代数式转化为含已知条件的整式乘积形式，利用整体代入的思想计算，有效降低了运算量，是代数式求值类问题的常用解法。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现各项都含有公因式$xy$，因此第一步先提取公因式$xy$；提取公因式后剩下的多项式$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的特征，可将其因式分解为$(x-y)^2$，此时所求代数式就转化为仅含已知条件$x-y$和$xy$的形式，最后将已知值整体代入计算即可，无需单独求出$x$、$y$的具体值，能大幅简化运算过程。
【解析】
解：先对所求代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}x^3y - 2x^2y^2 + xy^3 &= xy(x^2 - 2xy + y^2) \\&= xy(x - y)^2\end{aligned}$
将$xy=3$，$x-y=-1$代入化简后的式子，可得：
原式$=3×(-1)^2=3×1=3$
【答案】
$3$
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过因式分解把所求代数式转化为含已知条件的整式乘积形式，利用整体代入的思想计算，有效降低了运算量，是代数式求值类问题的常用解法。
【难度系数】
0.7
17. 某校七、八两个年级的学生参加社会实践活动.原计划租用48座的客车若干辆,但还有24人无座位.
(1)设原计划租用48座客车x辆,试用含x的代数式表示这两个年级学生的总人数;
(2)现决定租用60座客车,则可比原计划租用48座客车少2辆,且所租60座客车中有一辆没有坐满,但这辆车已坐的座位超过36位.请你求出这两个年级学生的总人数.
(1)设原计划租用48座客车x辆,试用含x的代数式表示这两个年级学生的总人数;
(2)现决定租用60座客车,则可比原计划租用48座客车少2辆,且所租60座客车中有一辆没有坐满,但这辆车已坐的座位超过36位.请你求出这两个年级学生的总人数.
答案
17. 解:(1)$48x+24$;(2)根据题意得:$60(x-3)+36＜48x+24＜60(x-2)$,解得$12＜x＜14$,$\because x$取整数,$\therefore x=13$,此时,$48x+24=48×13+24=648$(人).故这两个年级学生的总人数是648人.
解析
【分析】
（1）第一问根据“总人数=48座客车坐满的人数+无座位的24人”即可直接列出代数式；
（2）第二问先分析60座客车的租用数量：比原计划少2辆，即租用$(x-2)$辆，其中$(x-3)$辆是坐满60人的，剩余1辆乘坐人数超过36、不足60，由此得到不等关系：总人数大于$(x-3)$辆60座坐满的人数加36，总人数小于$(x-2)$辆60座坐满的人数，列不等式组求解得到$x$的取值范围，再结合$x$是正整数确定$x$的值，最后代入第一问的代数式即可求出总人数。
【解析】
解：(1) 原计划租用48座客车$x$辆，坐满可乘坐$48x$人，还有24人无座位，因此两个年级学生总人数为$48x + 24$；
(2) 租用60座客车的数量为$(x-2)$辆，其中$(x-3)$辆坐满，剩余1辆乘坐人数在36到60之间（不含两端），据此列不等式：
$60(x-3) + 36 ＜ 48x + 24 ＜ 60(x-2)$
分别解两个不等式：
左边：$60x-144 ＜ 48x+24$，解得$x＜14$；
右边：$48x+24 ＜ 60x-120$，解得$x＞12$；
因此不等式的解集为$12＜x＜14$。
∵$x$为正整数，
∴$x=13$，
将$x=13$代入$48x+24$得：$48×13 + 24 = 648$（人）。
【答案】
(1)$48x+24$；(2)648人
【知识点】
列代数式，一元一次不等式组的应用，整数解求解
【点评】
本题结合生活实际考察代数式与不等式组的应用，解题核心是准确提取题目中的等量关系和不等关系，同时要注意车辆数为正整数这一隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据“总人数=48座客车坐满的人数+无座位的24人”即可直接列出代数式；
（2）第二问先分析60座客车的租用数量：比原计划少2辆，即租用$(x-2)$辆，其中$(x-3)$辆是坐满60人的，剩余1辆乘坐人数超过36、不足60，由此得到不等关系：总人数大于$(x-3)$辆60座坐满的人数加36，总人数小于$(x-2)$辆60座坐满的人数，列不等式组求解得到$x$的取值范围，再结合$x$是正整数确定$x$的值，最后代入第一问的代数式即可求出总人数。
【解析】
解：(1) 原计划租用48座客车$x$辆，坐满可乘坐$48x$人，还有24人无座位，因此两个年级学生总人数为$48x + 24$；
(2) 租用60座客车的数量为$(x-2)$辆，其中$(x-3)$辆坐满，剩余1辆乘坐人数在36到60之间（不含两端），据此列不等式：
$60(x-3) + 36 ＜ 48x + 24 ＜ 60(x-2)$
分别解两个不等式：
左边：$60x-144 ＜ 48x+24$，解得$x＜14$；
右边：$48x+24 ＜ 60x-120$，解得$x＞12$；
因此不等式的解集为$12＜x＜14$。
∵$x$为正整数，
∴$x=13$，
将$x=13$代入$48x+24$得：$48×13 + 24 = 648$（人）。
【答案】
(1)$48x+24$；(2)648人
【知识点】
列代数式，一元一次不等式组的应用，整数解求解
【点评】
本题结合生活实际考察代数式与不等式组的应用，解题核心是准确提取题目中的等量关系和不等关系，同时要注意车辆数为正整数这一隐含条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
18. 某超市购进A，B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1260元，A，B两种糖果的质量比是1：3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元.A，B两种糖果各购进多少千克？
答案
18. 解:设A种糖果购进$x$千克,则B种糖果购进$3x$千克,根据题意列方程,得:
$\frac{480}{x}-2=\frac{1260}{3x}$
解得$x=30$.
经检验,$x=30$是原方程的解,且符合题意.
$3x=90$.
答:A种糖果购进30千克,B种糖果购进90千克.
$\frac{480}{x}-2=\frac{1260}{3x}$
解得$x=30$.
经检验,$x=30$是原方程的解,且符合题意.
$3x=90$.
答:A种糖果购进30千克,B种糖果购进90千克.
解析
【分析】
本题是分式方程实际应用问题，解题时首先抓住题干给出的两个核心条件：①A、B两种糖果的质量比为1:3；②A种糖果每千克进价比B种多2元。第一步我们可根据质量比设未知数，设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克；第二步利用“单价=总进价÷质量”分别表示出A、B两种糖果的单价，再根据两种糖果的进价差关系列出分式方程；第三步求解分式方程并检验解的合理性，最后计算出B种糖果的质量即可。
【解析】
解：设A种糖果购进$x$千克，则B种糖果购进$3x$千克，根据题意列方程，得：
$\frac{480}{x}-2=\frac{1260}{3x}$
化简方程右边得$\frac{480}{x}-2=\frac{420}{x}$，
移项得$\frac{480}{x}-\frac{420}{x}=2$，
合并得$\frac{60}{x}=2$，
解得$x=30$。
经检验，$x=30$时，原方程分母不为0，是原方程的解，且符合实际题意。
则B种糖果购进的质量为$3x=3×30=90$（千克）。
【答案】
A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的检验；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题型，解题关键是找准题干中的数量关系，合理设元建立方程，求解后需注意分式方程必须检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程实际应用问题，解题时首先抓住题干给出的两个核心条件：①A、B两种糖果的质量比为1:3；②A种糖果每千克进价比B种多2元。第一步我们可根据质量比设未知数，设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克；第二步利用“单价=总进价÷质量”分别表示出A、B两种糖果的单价，再根据两种糖果的进价差关系列出分式方程；第三步求解分式方程并检验解的合理性，最后计算出B种糖果的质量即可。
【解析】
解：设A种糖果购进$x$千克，则B种糖果购进$3x$千克，根据题意列方程，得：
$\frac{480}{x}-2=\frac{1260}{3x}$
化简方程右边得$\frac{480}{x}-2=\frac{420}{x}$，
移项得$\frac{480}{x}-\frac{420}{x}=2$，
合并得$\frac{60}{x}=2$，
解得$x=30$。
经检验，$x=30$时，原方程分母不为0，是原方程的解，且符合实际题意。
则B种糖果购进的质量为$3x=3×30=90$（千克）。
【答案】
A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的检验；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题型，解题关键是找准题干中的数量关系，合理设元建立方程，求解后需注意分式方程必须检验，既要验证解是否满足原方程，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
