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1. 如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，点$O$是位似中心，若$OA=3AA'$，$S_{△ ABC}=9$，求$△ A'B'C'$的面积.
答案
1.
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，由OA=3AA'可得，两位似图形的位似比为3:4，
∴两位似图形的面积比为9:16。
又$S_{△ABC}=9$，
∴$S_{△A'B'C'}=16$。
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，由OA=3AA'可得，两位似图形的位似比为3:4，
∴两位似图形的面积比为9:16。
又$S_{△ABC}=9$，
∴$S_{△A'B'C'}=16$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确位似图形是特殊的相似图形，结合其性质逐步推导：第一步先根据已知的OA和AA'的数量关系，求出对应点A、A'到位似中心O的距离之比，得到两个三角形的位似比（即相似比）；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比；最后结合已知的△ABC的面积，即可求出△A'B'C'的面积。
【解析】
解：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比$OA:OA'$。
∵$OA=3AA'$，
∴$OA'=OA+AA'=3AA'+AA'=4AA'$，
∴位似比$OA:OA'=3AA':4AA'=3:4$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ A'B'C'}=3^2:4^2=9:16$。
又
∵$S_{△ ABC}=9$，
∴$9:S_{△ A'B'C'}=9:16$，解得$S_{△ A'B'C'}=16$。
【答案】
16
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查位似图形与相似三角形性质的综合应用，解题关键是准确求出位似比，注意不要误将$OA:AA'$当作位似比，牢记相关基础性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确位似图形是特殊的相似图形，结合其性质逐步推导：第一步先根据已知的OA和AA'的数量关系，求出对应点A、A'到位似中心O的距离之比，得到两个三角形的位似比（即相似比）；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比；最后结合已知的△ABC的面积，即可求出△A'B'C'的面积。
【解析】
解：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且位似比等于对应点到位似中心的距离之比$OA:OA'$。
∵$OA=3AA'$，
∴$OA'=OA+AA'=3AA'+AA'=4AA'$，
∴位似比$OA:OA'=3AA':4AA'=3:4$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ A'B'C'}=3^2:4^2=9:16$。
又
∵$S_{△ ABC}=9$，
∴$9:S_{△ A'B'C'}=9:16$，解得$S_{△ A'B'C'}=16$。
【答案】
16
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查位似图形与相似三角形性质的综合应用，解题关键是准确求出位似比，注意不要误将$OA:AA'$当作位似比，牢记相关基础性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=3$，$AD=2$，$DE=4$，$EF=7.5$. 求$BC$，$BE$的长.
答案
2.
∵$l_1// l_2// l_3$，
∴$\frac{FB}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{BF}{BE}=\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$，
∴$BC=6$，$BF=\frac{1}{2}BE$。
又$EF=7.5$，
∴$\frac{1}{2}BE+BE=7.5$，
∴$BE=5$。
∵$l_1// l_2// l_3$，
∴$\frac{FB}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{BF}{BE}=\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$，
∴$BC=6$，$BF=\frac{1}{2}BE$。
又$EF=7.5$，
∴$\frac{1}{2}BE+BE=7.5$，
∴$BE=5$。
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，解题思路如下：首先观察到$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，被平行线所截的截线对应线段成比例。第一步先找截线AE和FC的对应线段，利用已知的AD、DE、AB的长度求出BC的长；第二步再找截线FE的对应线段，得到FB和BE的比例关系，结合EF的总长度列方程求解BE的长。
【解析】
解：$\because l_1// l_2// l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}$，
将$AB=3$，$AD=2$，$DE=4$代入$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，得：
$\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$，解得$BC=6$。
将$AD=2$，$DE=4$代入$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}$，得$FB=\frac{1}{2}BE$，
又$\because EF=FB+BE=7.5$，
$\therefore \frac{1}{2}BE + BE =7.5$，
解得$BE=5$。
【答案】
$BC=6$，$BE=5$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理
2.比例式计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是掌握平行线分线段成比例定理的内容，解题时要注意准确识别被平行线所截的截线，找准对应线段的比例关系，避免因对应线段匹配错误导致解题出错，结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，解题思路如下：首先观察到$l_1// l_2// l_3$，根据平行线分线段成比例定理，被平行线所截的截线对应线段成比例。第一步先找截线AE和FC的对应线段，利用已知的AD、DE、AB的长度求出BC的长；第二步再找截线FE的对应线段，得到FB和BE的比例关系，结合EF的总长度列方程求解BE的长。
【解析】
解：$\because l_1// l_2// l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}$，
将$AB=3$，$AD=2$，$DE=4$代入$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$，得：
$\frac{3}{BC}=\frac{2}{4}$，解得$BC=6$。
将$AD=2$，$DE=4$代入$\frac{FB}{BE}=\frac{AD}{DE}$，得$FB=\frac{1}{2}BE$，
又$\because EF=FB+BE=7.5$，
$\therefore \frac{1}{2}BE + BE =7.5$，
解得$BE=5$。
【答案】
$BC=6$，$BE=5$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理
2.比例式计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是掌握平行线分线段成比例定理的内容，解题时要注意准确识别被平行线所截的截线，找准对应线段的比例关系，避免因对应线段匹配错误导致解题出错，结合方程思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$，$BD=14\ \mathrm{cm}$，点$P$在$BD$上由点$B$向点$D$方向移动，当点$P$移到离点$B$多远时，$△ APB$和$△ CPD$相似？
答案
3. 设$BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=(14-x)\ \mathrm{cm}$。
若$△ ABP ∽ △ PDC$，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{DC}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$。
整理，得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
经检验，$x_1=2$和$x_2=12$都是原方程的解。
∴当$BP=2\ \mathrm{cm}$或$12\ \mathrm{cm}$时，$△ ABP ∽ △ PDC$；
若$△ ABP ∽ △ CDP$，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$。
整理，得$10x=84$，解得$x=8.4$。
经检验，$x=8.4$是原方程的解。
∴$BP=8.4\ \mathrm{cm}$。
综上所述，当$BP$的长为$2\ \mathrm{cm}$或$12\ \mathrm{cm}$或$8.4\ \mathrm{cm}$时，$△ ABP$和$△ PDC$相似。
若$△ ABP ∽ △ PDC$，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{DC}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$。
整理，得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$。
经检验，$x_1=2$和$x_2=12$都是原方程的解。
∴当$BP=2\ \mathrm{cm}$或$12\ \mathrm{cm}$时，$△ ABP ∽ △ PDC$；
若$△ ABP ∽ △ CDP$，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$。
整理，得$10x=84$，解得$x=8.4$。
经检验，$x=8.4$是原方程的解。
∴$BP=8.4\ \mathrm{cm}$。
综上所述，当$BP$的长为$2\ \mathrm{cm}$或$12\ \mathrm{cm}$或$8.4\ \mathrm{cm}$时，$△ ABP$和$△ PDC$相似。
解析
【分析】
已知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，可得$∠ B=∠ D=90°$，两个三角形均为直角三角形。要使$△ APB$和$△ CPD$相似，除直角对应相等外，其余锐角的对应关系有两种情况：①$∠ A=∠ CPD$，对应$△ ABP ∽ △ PDC$；②$∠ A=∠ C$，对应$△ ABP ∽ △ CDP$。我们设$BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=(14-x)\ \mathrm{cm}$，分两种情况根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的实际要求即可。
【解析】
设$BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=(14-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$。
第一种情况：若$△ ABP ∽ △ PDC$，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{DC}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，
整理得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，
经检验，$x_1=2$和$x_2=12$都是原方程的解，且符合实际意义；
第二种情况：若$△ ABP ∽ △ CDP$，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，
整理得$10x=84$，解得$x=8.4$，
经检验，$x=8.4$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
当$BP$的长为$2\ \mathrm{cm}$、$12\ \mathrm{cm}$或$8.4\ \mathrm{cm}$时，$△ APB$和$△ CPD$相似。
【知识点】
相似三角形的性质，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形动点类的典型题，解题核心是明确直角三角形相似时对应角存在两种不同的匹配情况，避免漏解，同时求解后要验证解是否符合实际的线段长度要求。
【难度系数】
0.6
已知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，可得$∠ B=∠ D=90°$，两个三角形均为直角三角形。要使$△ APB$和$△ CPD$相似，除直角对应相等外，其余锐角的对应关系有两种情况：①$∠ A=∠ CPD$，对应$△ ABP ∽ △ PDC$；②$∠ A=∠ C$，对应$△ ABP ∽ △ CDP$。我们设$BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=(14-x)\ \mathrm{cm}$，分两种情况根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的实际要求即可。
【解析】
设$BP=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=(14-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ B=∠ D=90°$。
第一种情况：若$△ ABP ∽ △ PDC$，
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{DC}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，
整理得$x^2-14x+24=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=12$，
经检验，$x_1=2$和$x_2=12$都是原方程的解，且符合实际意义；
第二种情况：若$△ ABP ∽ △ CDP$，
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，
整理得$10x=84$，解得$x=8.4$，
经检验，$x=8.4$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
当$BP$的长为$2\ \mathrm{cm}$、$12\ \mathrm{cm}$或$8.4\ \mathrm{cm}$时，$△ APB$和$△ CPD$相似。
【知识点】
相似三角形的性质，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形动点类的典型题，解题核心是明确直角三角形相似时对应角存在两种不同的匹配情况，避免漏解，同时求解后要验证解是否符合实际的线段长度要求。
【难度系数】
0.6
[分类讨论]如图,在$△ ABC$中,$AB=4$,$AC=6$,$BC=8$,$D$为$AC$上一点,$AD=\frac{1}{3}AC$,在$AB$上取一点$E$,使得以点$A$,$D$,$E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,求$DE$的长.
精题详解
精题详解
答案
(1) 如图(1)所示，在$AB$上取一点$E$，使$∠ ADE=∠ B$，
则$△ ADE ∽ △ ABC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
由$BC=8$，$AD=\frac{1}{3}AC=2$，$AB=4$，得$ED=4$。
(2) 如图(2)所示，过点$D$作$DE// BC$，交$AB$于点$E$。由$△ ADE ∽ △ ACB$，
得$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{DE}$，即$DE=\frac{8}{3}$。
综上所述，$DE$的长为$4$或$\frac{8}{3}$。
【方法精解】以点$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似，可从相似的对应点考虑：(1)点$E$与点$C$对应；(2)点$E$与点$B$对应。两个三角形相似但没有给出具体的对应关系，因此结论具有不确定性，应分类讨论。
解析
【分析】
本题中仅说明△ADE与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分类讨论两种对应情况。首先先根据已知条件算出AD的长度：已知AC=6，AD=$\frac{1}{3}$AC，可得AD=2。两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再满足一组角对应相等即可判定相似，因此分两种情况：①∠ADE=∠B，此时△ADE∽△ABC；②∠ADE=∠C，此时△ADE∽△ACB。再分别根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵$AC=6$，$AD=\frac{1}{3}AC$，
∴$AD=\frac{1}{3}×6=2$。
由于△ADE和△ABC的相似对应关系不明确，分两种情况讨论：
1. 当∠ADE=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
将$BC=8$，$AD=2$，$AB=4$代入得：
$\frac{DE}{8}=\frac{2}{4}$，解得$DE=4$。
2. 当∠ADE=∠C时：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$。
将$BC=8$，$AD=2$，$AC=6$代入得：
$\frac{DE}{8}=\frac{2}{6}$，解得$DE=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如图(1)所示，在$AB$上取一点$E$，使$∠ ADE=∠ B$，
则$△ ADE ∽ △ ABC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
由$BC=8$，$AD=\frac{1}{3}AC=2$，$AB=4$，得$ED=4$。
(2) 如图(2)所示，过点$D$作$DE// BC$，交$AB$于点$E$。由$△ ADE ∽ △ ACB$，
得$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{DE}$，即$DE=\frac{8}{3}$。
综上所述，$DE$的长为$4$或$\frac{8}{3}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的常考易错题，解题的核心是明确无明确对应关系的相似三角形问题需分类讨论，避免漏解，重点考查学生对相似三角形判定和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
本题中仅说明△ADE与△ABC相似，未明确对应顶点，因此需要分类讨论两种对应情况。首先先根据已知条件算出AD的长度：已知AC=6，AD=$\frac{1}{3}$AC，可得AD=2。两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再满足一组角对应相等即可判定相似，因此分两种情况：①∠ADE=∠B，此时△ADE∽△ABC；②∠ADE=∠C，此时△ADE∽△ACB。再分别根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵$AC=6$，$AD=\frac{1}{3}AC$，
∴$AD=\frac{1}{3}×6=2$。
由于△ADE和△ABC的相似对应关系不明确，分两种情况讨论：
1. 当∠ADE=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
将$BC=8$，$AD=2$，$AB=4$代入得：
$\frac{DE}{8}=\frac{2}{4}$，解得$DE=4$。
2. 当∠ADE=∠C时：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$。
将$BC=8$，$AD=2$，$AC=6$代入得：
$\frac{DE}{8}=\frac{2}{6}$，解得$DE=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) 如图(1)所示，在$AB$上取一点$E$，使$∠ ADE=∠ B$，
则$△ ADE ∽ △ ABC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
由$BC=8$，$AD=\frac{1}{3}AC=2$，$AB=4$，得$ED=4$。
(2) 如图(2)所示，过点$D$作$DE// BC$，交$AB$于点$E$。由$△ ADE ∽ △ ACB$，
得$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{DE}$，即$DE=\frac{8}{3}$。
综上所述，$DE$的长为$4$或$\frac{8}{3}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形的常考易错题，解题的核心是明确无明确对应关系的相似三角形问题需分类讨论，避免漏解，重点考查学生对相似三角形判定和性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
