1. 定义:在边长为1的小正方形方格纸中,把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形,请按要求画图.

(1)在图①中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形$ABC$;
(2)在图②中画出一个面积为13的格点正方形$DEFG$;
(3)在图③中画出一条长为5,且不与正方形方格纸的边平行的格点线段$HI$;
(4)在图④中画出一个三边均为无理数的格点直角三角形$JKL$.

(1)
∵$S_{△ ABC} = 2×1÷2 = 1$,
∴中的$△ ABC$即为所求.(合理即可)
(2)
∵$EF = FG = GD = DE = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$,$\therefore S_{正方形DEFG} = 13$,中的正方形$DEFG$即为所求.(合理即可)
(3)
∵$HI = \sqrt{3^2+4^2} = 5$,
∴中的线段$HI$即为所求.(合理即可)
(4)
∵$KL = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,$JL = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$,$JK = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$,且$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{8})^2 = (\sqrt{10})^2$,
∴$△ JKL$是直角三角形且三边均为无理数.中的$△ JKL$即为所求.(合理即可)

2. 线段 AB 的端点均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上.

(1)在图①中以 AB 为边画一个等腰三角形,使它的三边长均是无理数;
(2)在图②中以 AB 为边画一个直角三角形,使它的直角边之比为$1:2$;
(3)在图③中以 AB 为边画一个钝角三角形,使它的钝角为$135°$.

(1)、中的$△ ABC$即为所求.(画一个即可)
(2)中的$△ ABD$即为所求. 解析:假设小方格的边长为1,则AB的长度为$\sqrt{10}$,根据直角边之比为1:2及勾股定理可知$AD=\sqrt{2}$,为一个小方格的对角线,$BD=\sqrt{8}$,为4个小方格组成的正方形的对角线,即可作出三角形ABD.
(3)中的$△ ABE$即为所求.(合理即可) 解析:BE为一个小方格的对角线,由此可得到一个45°角,再加一个小方格的角,因此$∠ AEB=135°$,$△ ABE$符合要求.

3. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,点M也在格点上,按要求完成下列各题.
(1)△ABC的形状为三角形.
(2)利用无刻度的直尺作图:
①画出BC边上的高AD,并求AD的长;②将线段BD平移至MN,点B的对应点为M.

(1)直角 解析:由勾股定理,得$AC = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20}$,$BC = \sqrt{3^2+4^2} = 5$,$\therefore AC^2+AB^2 = BC^2$,$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(2)①中AD即为所求.$\because AD ⊥ BC$,由割补法可得$S_{△ ABC} = 4×4 - \frac{1}{2}×4×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×3×4 = 5$,$\therefore \frac{1}{2}×5×AD = 5$,解得$AD=2$.
解析:如图,取格点E,连接AE交BC于点D,AD即为所求.构造两个三边长为3,4,5的全等三角形:$△ BCH ≌ △ EAG$,$\therefore ∠ AEG = ∠ CBH$.又$\because ∠ AEG + ∠ BED = 90°$,$\therefore ∠ CBH + ∠ BED = 90°$,$\therefore ∠ BDE = 90°$,$\therefore BC ⊥ AE$.
②中MN即为所求.
解析:延长AE交格线于点J,将BD平移到MN,实际就是过点M作$MN ⊥ AJ$于点N,与①类似,先构造边长为3,4,5的三个全等三角形:$△ MFK ≌ △ EAG ≌ △ BMI$,$\therefore ∠ FMK = ∠ AEG$.又根据平行线的性质可得$∠ NJF = ∠ AEG$,$\therefore ∠ NJF = ∠ FMK$. 又$\because ∠ FMK + ∠ MFK = 90°$,$\therefore ∠ NJF + ∠ MFK = 90°$,$\therefore ∠ FNJ = 90°$,$\therefore AJ ⊥ MF$,$\therefore BD // MN$,同理可通过$△ BMI$证得$BM ⊥ MF$,$\therefore BM // DN$,四边形BMND为平行四边形,$\therefore BD = MN$.