1 [中]设$a$，$b$是有理数，定义$*$的一种运算如下：$a*b=(a+b)^{2}$，则下列结论：①$a*b = 0$，则$a = 0$且$b = 0$；②$a*b = b*a$；③$a*(b+c)=a*b+a*c$；④$a*b=(-a)*(-b)$.其中正确的有()

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

1. B 【解析】因为 $ a*b = 0 $，$ a*b=(a + b)^{2} $，所以 $ (a + b)^{2}=0 $，即 $ a + b = 0 $，所以 $ a $，$ b $ 互为相反数，故①不符合题意。$ a*b=(a + b)^{2} $，$ b*a=(b + a)^{2} $，所以 $ a*b = b*a $，故②符合题意。$ a*(b + c)=(a + b + c)^{2}=a^{2}+ab + ac + ab + b^{2}+bc + ac + bc + c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc $，$ a*b + a*c=(a + b)^{2}+(a + c)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}+a^{2}+2ac + c^{2}=2a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac $，故③不符合题意。因为 $ a*b=(a + b)^{2} $，$ (-a)*(-b)=(-a - b)^{2}=(a + b)^{2} $，所以 $ a*b = (-a)*(-b) $，故④符合题意。因此正确的有 2 个，故选 B。

2 [2025浙江宁波期末，较难]如图，将两张长为$a$、宽为$b$的长方形纸片按图(1)、图(2)两种方式放置在正方形$ABCD$中，图(1)和图(2)中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形$ABCD$中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图(1)和图(2)中阴影部分的面积分别记为$S_{1}$和$S_{2}$.若知道下列条件，仍不能求$S_{1}-S_{2}$值的是()



A.长方形纸片的周长和面积
B.长方形纸片长和宽的差
C.①和②的面积差
D.长方形纸片和①的面积差

2. D 【解析】如图，设正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ x $，则 $ S_{1}=(x - a)^{2}+(x - b)^{2} $，$ S_{2}=2(x - a)(x - b) $，所以 $ S_{1}-S_{2}=(x - a)^{2}+(x - b)^{2}-2(x - a)(x - b)=(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab $。因为长方形纸片的周长为 $ 2(a + b) $，面积为 $ ab $，所以若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，就能求出 $ S_{1}-S_{2} $ 的值，即选项 A、B 不符合题意；①的面积为 $ (b - x + a)^{2}=(a + b)^{2}-2x(a + b)+x^{2}=(a + b)^{2}-2ax - 2bx + x^{2} $，②的面积为 $ (2a - x)· (2b - x)=4ab - 2ax - 2bx + x^{2} $，所以①和②的面积差为 $ (a + b)^{2}-2ax - 2bx + x^{2}-(4ab - 2ax - 2bx + x^{2})=(a + b)^{2}-4ab $，所以若知道①和②的面积差，就能求出 $ S_{1}-S_{2} $ 的值，即选项 C 不符合题意；因为长方形纸片和①的面积差为 $ ab-(a + b)^{2}+2ax + 2bx - x^{2} $，所以若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出 $ S_{1}-S_{2} $ 的值，即选项 D 符合题意。故选 D。
　　

3 [中]若$25x^{2}+1$加上一个单项式能成为二次三项式，且是一个完全平方式，这个单项式是.

3. $ 10x $ 或 $ -10x $ 【解析】因为 $ 25x^{2} $ 是二次项，且为平方项，所以 $ 25x^{2}\pm 10x + 1=(5x\pm 1)^{2} $，所以可添加的项是 $ 10x $ 或 $ -10x $。故答案为 $ 10x $ 或 $ -10x $。

4 [2025福建漳州期中，较难]请运用$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$解决问题：已知$x$，$y$，$z$满足$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$，则$(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}$的最大值是.

4. 12 【解析】因为 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 $，所以 $ (x - y)^{2}+(y - z)^{2}+(z - x)^{2}=x^{2}+y^{2}+y^{2}+z^{2}+z^{2}+x^{2}-2xy - 2yz - 2xz=2(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy - yz - xz)=8 - 2(xy + yz + xz) $。因为 $ (x + y + z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy + 2xz + 2yz $，所以 $ 2xy + 2xz + 2yz=(x + y + z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2}) $，所以原式 $ =8 + x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x + y + z)^{2}=12-(x + y + z)^{2} $。因为 $ (x + y + z)^{2}≥ 0 $，所以原式 $ ≤ 12 $，故原式的最大值是 12。故答案为 12。

5 [2024浙江宁波期末，较难]如图，已知四边形$ABCD$，四边形$ECGF$都是正方形，$△ BCF$的面积为$5$，$BG$的长为$7$，则阴影部分的面积是.

5. 14.5 【解析】因为四边形 $ ABCD $，四边形 $ ECGF $ 都是正方形，所以 $ ∠ A=∠ G=∠ CEF = 90^{\circ} $，$ AD = AB = BC = CD $，$ EF = CE = CG = FG $，所以 $ S_{△ BCF}=\dfrac {1}{2}BC· FG = 5 $，所以 $ BC· FG = 10 $。因为 $ BG = BC + CG = 7 $，所以 $ BC^{2}+CG^{2}=(BC + CG)^{2}-2BC· CG = 49 - 2×10 = 29 $，所以 $ S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}=29 $。因为 $ S_{△ DEF}=\dfrac {1}{2}EF· DE=\dfrac {1}{2}CG· (AB - CG)=\dfrac {1}{2}CG· AB-\dfrac {1}{2}CG^{2}=5-\dfrac {1}{2}CG^{2} $，所以阴影部分的面积为 $ S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}+S_{△ DEF}-S_{△ ABD}-S_{△ BCF}=29 + 5-\dfrac {1}{2}CG^{2}-\dfrac {1}{2}AB^{2}-5=29-\dfrac {1}{2}(CG^{2}+AB^{2})=29-\dfrac {1}{2}×29 = 14.5 $。故答案为 14.5。

6 [2025江苏苏州期末，中]如图，分别以$a$，$b$，$m$，$n$为边长作正方形，已知$m ＞ n$且满足$am - bn = 2$，$an + bm = 4$.若图（1）中阴影部分的面积为$3$，图（2）中四边形$ABCD$的面积为$5$，求图（2）中阴影部分的面积.

6. 【解】因为 $ am - bn = 2 $，$ an + bm = 4 $，所以 $ (am - bn)^{2}=4 $，$ (an + bm)^{2}=16 $，所以 $ a^{2}m^{2}-2abmn + b^{2}n^{2}=4 $，$ a^{2}n^{2}+2abmn + b^{2}m^{2}=16 $，两式相加得 $ a^{2}m^{2}+b^{2}n^{2}+a^{2}n^{2}+b^{2}m^{2}=20 $。因为题图(1)中阴影部分的面积为 3，所以 $ a^{2}+b^{2}=3 $。因为 $ (a^{2}+b^{2})(m^{2}+n^{2})=a^{2}m^{2}+b^{2}n^{2}+a^{2}n^{2}+b^{2}m^{2}=20 $，所以 $ m^{2}+n^{2}=\dfrac {20}{3} $。因为题图(2)中四边形 $ ABCD $ 的面积为 5，所以题图(2)中阴影部分的面积为 $ 5-\dfrac {1}{2}m^{2}-\dfrac {1}{2}n^{2}=5-\dfrac {1}{2}×\dfrac {20}{3}=\dfrac {5}{3} $。

7 [2025广东汕头期末，较难]当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如：由下图可得等式$(a+2b)(a+b)=a^{2}+3ab+2b^{2}$.

（1）已知等式$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$，请仿照上图构造相应的图形.
（2）利用（1）中等式，解决下面的问题：
①已知$a + b + c = 11$，$ab + bc + ac = 38$，求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值；
②已知$(b - c)^{2}=4(a - b)(c - a)$，用等式表示$a$，$b$，$c$之间的关系，并验证.

7. 【解】(1) 以 $ (a + b + c) $ 为边，构造一个正方形，如图所示。

可得 $ (a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc $。
(2) ①由(1)可得，$ (a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab + ac + bc) $。当 $ a + b + c = 11 $，$ ab + bc + ac = 38 $ 时，$ 11^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2×38 $，即 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+76 = 121 $，所以 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}=45 $。
② $ 2a = b + c $。验证：由 $ (b - c)^{2}=4(a - b)(c - a) $，可得 $ (c - b)^{2}=4(a - b)(c - a) $，令 $ a - b = m $，$ c - a = n $，则 $ a - b + c - a = c - b = m + n $，所以 $ (m + n)^{2}=4mn $，即 $ (m - n)^{2}=0 $，所以 $ m = n $，即 $ a - b = c - a $，所以 $ 2a = b + c $。