1. 下列函数中,是二次函数的是( )

A.$ y = x + 2 $
B.$ y = \frac{2}{x^{2}} $
C.$ y = (2x - 1)^{2} - 4x^{2} $
D.$ y = 2 - 3x^{2} $

D

A. $ y = x + 2 $是一次函数，不是二次函数；
B. $ y = \frac{2}{x^{2}} = 2x^{-2} $，自变量的次数是$-2$，不是二次函数；
C. $ y = (2x - 1)^{2} - 4x^{2} = 4x^{2} - 4x + 1 - 4x^{2} = -4x + 1 $，是一次函数，不是二次函数；
D. $ y = 2 - 3x^{2} = -3x^{2} + 2 $，符合二次函数的定义，是二次函数。
结论：D

2. 已知二次函数 $ y = -x^{2} + x + 2 $,自变量 $ x $ 的取值范围是______.

一切实数.

3. 二次函数 $ y = ax^{2} $ 中,当 $ x = 1 $ 时,$ y = 2 $,则 $ a = $______.

2.

解：将$x = 1$，$y = 2$代入$y = ax^{2}$，得$2 = a×1^{2}$，解得$a = 2$。
2

4. 边长为 $ 8 cm $ 的正方形铁片,中间剪去一个边长为 $ x cm $ 的小正方形铁片,则剩下的四方框铁片的面积 $ y(cm^{2}) $ 与 $ x(cm) $ 之间的函数关系式为______.

$y=64-x^{2}$.

5. 把函数 $ y = (2 + x)(1 - x) $ 化成一般式为______,其中二次项的系数是______,一次项的系数是______,常数项是______.

$y=-x^{2}-x+2$;$-1$;$-1$;2.

问题 如图,用长为 $ 30 m $ 的篱笆围一个矩形花圃. 设垂直于墙的一边长为 $ x m $,矩形的面积为 $ y m^{2} $.

(1)写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式.
(2)当 $ x = 3 $ 时,矩形的面积为多少平方米？
(3)求自变量 $ x $ 的取值范围.
名师指导
(1)矩形的面积 $ = $ 长 $ × $ 宽,这里设垂直于墙的一边长为 $ x m $,关键是求出平行于墙的一边长为 $ (30 - 2x) m $.
(2)当 $ x = 3 $ 时,求矩形的面积,就是已知自变量 $ x $ 的值,利用(1)中的函数关系式求对应的函数值.
(3)在有关几何面积的问题中,边长都是大于零的,从而得 $ x ＞ 0 $,$ 30 - 2x ＞ 0 $.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

$ (1) y = -2x^2 + 30x (2) 72 m^2 (3) 0 ＜ x ＜ 15$

解：
(1) 设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为 (30 - 2x) m。
矩形的面积 y 为：
$ y = x \cdot (30 - 2x) = -2x^2 + 30x (2) $当 x = 3 时，代入函数关系式：$ y = -2 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = -18 + 90 = 72 $
即矩形的面积为$ 72 m^2。$
(3) 自变量 x 的取值范围需满足：
x ＞ 0 30 - 2x ＞ 0
解得：
0 ＜ x ＜ 15 最终